Развитие и взаимное влияние математики, философии и искусства

Îäíèì èç ïåðâûõ, êòî îñîçíàë âàæíîñòü èçó÷åíèÿ  ïðîöåññà Ôåð­õþëüñòà, áûë áèîëîã Ðîáåðò Ì. Ìýé. Åùå â 1976 ãîäó îí ïèñàë:

Ïîýòîìó ÿ íàñòîÿòåëüíî ñîâåòóþ, ÷òîáû ëþäè  çíàêîìèëèñü, ñêà­æåì (ñ óðàâíåíèåì Ôåðõþëüñòà), íà ðàííåì ýòàïå ñâîåãî îáó÷åíèÿ ìà­òåìàòèêå. Ýòî óðàâíåíèå ìîæíî èçó÷àòü  ôåíîìåíîëîãè÷åñêè, èòåðèðóÿ åãî íà êàëüêóëÿòîðå èëè äàæå âðó÷íóþ. Åãî èçó÷åíèå äàæå íå òðåáóåò âñåãî ìíîæåñòâà ñëîæíûõ ïîíÿòèé, êàêèå èñïîëüçóþòñÿ â ýëåìåíòàðíîì àíàëèçå. Òàêîå èçó÷åíèå î÷åíü îáîãàùàëî áû èíòóèòèâíûå ïðåäñòàâëå­íèÿ ó÷àùåãîñÿ î íåëèíåéíûõ ñèñòåìàõ.

Äëÿ âñåõ íàñ áûëî áû ëó÷øå, åñëè áû íå òîëüêî â íàó÷íîé ðàáî­òå, íî è â ïîâñåäíåâíîé ïîëèòè÷åñêîé  è  ýêîíîìè÷åñêîé  æèçíè  êàê ìîæíî áîëüøå ëþäåé ïîíÿëî, ÷òî ïðîñòûå íåëèíåéíûå ñèñòåìû íå âñåã­äà îáëàäàþò ïðîñòûìè äèíàìè÷åñêèìè ñâîéñòâàìè.

Ãëàâà 4

ÏÎÃÐÀÍÈ×ÍÛÅ ÑÒÛ×ÊÈ:
ÕÀÎÑ, ÂÎÇÍÈÊÀÞÙÈÉ ÈÇ ÊÎÍÊÓÐÅÍÖÈÈ

Äëÿ ïîíèìàíèÿ íåëèíåéíûõ ÿâëåíèé áèôóðêàöèîííûé ñöåíàðèé ïðè­îáðåòàåò  ôóíäàìåíòàëüíîå  çíà÷åíèå.  Àíàëèç  ïðîöåññà  Ôåðõþëüñòà ïðåâðàòèë èäåþ äåòåðìèíèðîâàííîãî õàîñà â âàæíûé  ïðåäìåò îáñóæäå­íèÿ è âûÿâèë íåêîòîðûå óíèâåðñàëüíûå ñâîéñòâà ñëîæíûõ äèíàìè÷åñêèõ ïðîöåññîâ. Óíèâåðñàëüíîñòü ñëåäóåò èñòîëêîâûâàòü ïðàâèëüíî. Êîíå÷­íî, ñóùåñòâóþò è äðóãèå ïóòè ê õàîñó; íà ñàìîì äåëå áûëè îòêðûòû è äðóãèå ñöåíàðèè ñòîëü æå îáùåãî õàðàêòåðà. Ïîíÿòèå óíèâåðñàëüíîñòè îò÷àñòè îòðàæàåò òåíäåíöèþ ôèçèêîâ è ìàòåìàòèêîâ èñïîëüçîâàòü ñëî­âà, çâó÷àùèå ìíîãîçíà÷èòåëüíî.

Íà ñàìîì äåëå îíî îçíà÷àåò, ÷òî íåêîòîðîå  ïîâåäåíèå ÿâëÿåòñÿ òèïè÷íûì, è ýòî áîëåå èëè ìåíåå óäèâèòåëüíàÿ íàõîäêà  ñðåäè  âñåãî ìíîãîîáðàçèÿ ñèñòåì.

Êðàéíå æåëàòåëüíî óñòàíîâèòü ïðèíöèïû,  õàðàêòåðèçóþùèå ñîîò­íîøåíèÿ ìåæäó èíäèâèäóàëüíûìè ñöåíàðèÿìè.  Áåíóà  Á.  Ìàíäåëüáðîòó ýòî óäàëîñü ñäåëàòü â 1980 ãîäó, êîãäà îí îáíàðóæèë ìíîæåñòâî, íî­ñÿùåå òåïåðü åãî èìÿ. Ýòî íå ïðîñòî  ïðè÷óäëèâàÿ  ôèãóðà,  êîòîðàÿ êîìó-òî êàæåòñÿ ïðåêðàñíîé, à êîìó-òî áåçîáðàçíîé;  ìíîæåñòâî Ìàíäåëüáðîòà âîïëîùàåò â ñåáå áîëåå îáùèé,  ÷åì  óíèâåðñàëüíîñòü Ôåé­ãåíáàóìà, ïðèíöèï ïåðåõîäà îò ïîðÿäêà ê õàîñó. Çäåñü, êàê ýòî ÷àñ­òî áûâàåò â ìàòåìàòèêå, îáíàðóæèâàåòñÿ ñâÿçü  ýñòåòè÷åñêîé ïðèâëå­êàòåëüíîñòè ñ ôóíäàìåíòàëüíûì çíà÷åíèåì.

Èäåÿ, èñïîëüçîâàííàÿ Ìàíäåëüáðîòîì,  ñîñòîÿëà  â  òîì,  ÷òîáû âìåñòî äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë ðàññìîòðåòü  êîìïëåêñíûå  è  íàáëþäàòü ïðîöåññ ... íå íà ïðÿìîé, à â ïëîñêîñòè. Äàæå ÷åëîâåêó,  íå çíà­êîìîìó ñ êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè, íå ñëîæíî ïîíÿòü ñóòü ýòîãî ïðîöåññà: äîñòà­òî÷íî ëèøü ïðåäñòàâèòü ñåáå, ÷òî ïðàâèëî  óêàçûâàåò,  êóäà äîëæíà ïåðåìåñòèòüñÿ òî÷êà â ïëîñêîñòè, à íå íà ïðÿìîé. Êîíêðåòíûé âèä ïðàâèëà íå ÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâåííûì, ïîñêîëüêó,  êàê  ìû  óâèäèì, ðàçëè÷íûå ïðàâèëà  ìîãóò  ïîðîæäàòü  òî  æå  ñàìîå  ìíîæåñòâî Ìàí­äåëüáðîòà. Áîëåå âàæíûì ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî ïåðåõîä îò ïîðÿäêà ê õàî­ñó îïèñûâàåòñÿ ñ áîëåå îáùåé òî÷êè çðåíèÿ.  öåíòðå  âíèìàíèÿ îêà­çàëàñü ïðèðîäà ãðàíèö ìåæäó ðàçëè÷íûìè  îáëàñòÿìè.  Ìîæíî ïðåäñòà­âèòü ñåáå öåíòðû - àòòðàêòîðû - êîòîðûå âåäóò áîðüáó çà âëèÿíèå íà ïëîñêîñòè; ëþáàÿ íà÷àëüíàÿ òî÷êà  ëèáî â òå÷åíèå ïðîöåññà ïðèõî­äèò ê òîìó èëè äðóãîìó öåíòðó, ëèáî ëåæèò íà ãðàíèöå  è  íå  ìîæåò ïðèíÿòü îïðåäåëåííîå ðåøåíèå. Ñ èçìåíåíèåì ïàðàìåòðà  èçìåíÿþòñÿ è îáëàñòè, ïðèíàäëåæàùèå àòòðàêòîðàì, à âìåñòå ñ íèìè è ãðàíèöû. Ìî­æåò ñëó÷èòüñÿ, ÷òî ãðàíèöà ïðåâðàòèòñÿ  â  ïûëü,  è  òàêîé  ðàñïàä ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îäèí èç íàèáîëåå âàæíûõ ñöåíàðèåâ.

Ïðîöåññ Ìàíäåëüáðîòà ìàòåìàòè÷åñêè ýêâèâàëåíòåí ïðîöåññó Ôåð­õþëüñòà. Ôîðìóëà òàêàÿ æå ïðîñòàÿ:

Âûáðàâ ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî , âîçâåäåì åãî â êâàäðàò è ïðèáà­âèì êîíñòàíòó ñ äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîëó÷èòü ; çàòåì ïîâòîðèì âû÷èñ­ëåíèÿ äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîëó÷èòü  è ò. ä. Ýòî ïîä  ñèëó êàæ­äîìó. Íî íèêòî íå îæèäàë, ÷òî  â  òàêîì  èòåðèðîâàíèè  ìîæåò ñêðû­âàòüñÿ ñòîëüêî çàãàäî÷íîé êðàñîòû.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24