Методология и методы принятия решения

знания об исследуемом объекте расширяются и уточняются, а первоначально

построенная модель постепенно совершенствуется. Таким образом, в

методологии моделирования заложены большие возможности

самосовершенствования.

Перейдем теперь непосредственно к процессу экономико-математического

моделирования, т.е. описания экономических и социальных систем и процессов

в виде экономико-математических моделей. Эта разновидность моделирования

обладает рядом существенных особенностей, связанных как с объектом

моделирования, так и с применяемым аппаратом и средствами моделирования.

Поэтому целесообразно более детально проанализировать последовательность и

содержание этапов экономико-математического моделирования, выделив

следующие шесть этапов: постановка экономической проблемы, ее качественный

анализ; построение математической модели; математический анализ модели;

подготовка исходной информации; численное решение; анализ численных

результатов и их применение. Рассмотрим каждый из этапов более подробно.

3.2.1. Постановка экономической проблемы и ее качественный анализ.

На этом этапе требуется сформулировать сущность проблемы, принимаемые

предпосылки и допущения. Необходимо выделить важнейшие черты и свойства

моделируемого объекта, изучить его структуру и взаимосвязь его элементов,

хотя бы предварительно сформулировать гипотезы, объясняющие поведение и

развитие объекта.

3.2.2. Построение математической модели.

Это этап формализации экономической проблемы, т. е. выражения ее в виде

конкретных математических зависимостей. Построение модели подразделяется в

свою очередь на несколько стадий. Сначала определяется тип экономико-

математической модели, изучаются возможности ее применения в данной задаче,

уточняются конкретный перечень переменных и параметров и форма связей. Для

некоторых сложных объектов целесообразно строить несколько разноаспектных

моделей; при этом каждая модель выделяет лишь некоторые стороны объекта, а

другие стороны учитываются, агрегировано и приближенно. Оправдано

стремление построить модель, относящуюся к хорошо изученному классу

математических задач, что может потребовать некоторого упрощения исходных

предпосылок модели, не искажающего основных черт моделируемого объекта.

Однако возможна и такая ситуация, когда формализация проблемы приводит к

неизвестной ранее математической структуре.

3.2.3. Математический анализ модели.

На этом этапе чисто математическими приемами исследования выявляются

общие свойства модели и ее решений. В частности, важным моментом является

доказательство существования решения сформулированной задачи. При

аналитическом исследовании выясняется, единственно ли решение, какие

переменные могут входить в решение, в каких пределах они изменяются, каковы

тенденции их изменения и т.д. Однако модели сложных экономических объектов

с большим трудом поддаются аналитическому исследованию; в таких случаях

переходят к численным методам исследования.

3.2.4. Подготовка исходной информации.

В экономических задачах это, как правило, наиболее трудоемкий этап

моделирования, так как дело не сводится к пассивному сбору данных.

Математическое моделирование предъявляет жесткие требования к системе

информации; при этом надо принимать во внимание не только принципиальную

возможность подготовки информации требуемого качества, но и затраты на

подготовку информационных массивов. В процессе подготовки информации

используются методы теории вероятностей, теоретической и математической

статистики для организации выборочных обследований, оценки достоверности

данных и т.д. При системном экономико-математическом моделировании

результаты функционирования одних моделей служат исходной информацией для

других.

3.2.5. Численное решение.

Этот этап включает разработку алгоритмов численного решения задачи,

подготовку программ на ЭВМ и непосредственное проведение расчетов;

при этом значительные трудности вызываются большой размерностью

экономических задач. Обычно расчеты на основе экономико-математической

модели носят многовариантный характер. Многочисленные модельные

эксперименты, изучение поведения модели при различных условиях возможно

проводить благодаря высокому быстродействию современных ЭВМ. Численное

решение существенно дополняет результаты аналитического исследования, а для

многих моделей является единственно возможным.

3.2.6. Анализ численных результатов и их применение.

На этом этапе, прежде всего, решается важнейший вопрос о правильности и

полноте результатов моделирования и применимости их как в практической

деятельности, так и в целях усовершенствования модели. Поэтому в первую

очередь должна быть проведена проверка адекватности модели по тем

свойствам, которые выбраны в качестве существенных (другими словами, должны

быть произведены верификация и валидация модели). Применение численных

результатов моделирования направлено на решение практических задач.

Перечисленные этапы экономико-математического моделирования находятся в

тесной взаимосвязи, в частности, могут иметь место возвратные связи этапов.

Так, на этапе построения модели может выясниться, что постановка задачи или

противоречива, или приводит к слишком сложной математической модели; в этом

случае исходная постановка задачи должна быть скорректирована. Наиболее

часто необходимость возврата к предшествующим этапам моделирования

возникает на этапе подготовки исходной информации. Если необходимая

информация отсутствует или затраты на ее подготовку слишком велики,

приходится возвращаться к этапам постановки задачи и ее формализации, чтобы

приспособиться к доступной исследователю информации.

Выше уже сказано о циклическом характере процесса моделирования.

Недостатки, которые не удается исправить на тех или иных этапах

моделирования, устраняются в последующих циклах. Однако результаты каждого

цикла имеют и вполне самостоятельное значение. Начав исследование с

построения простой модели, можно получить полезные результаты, а затем

перейти к созданию более сложной и более совершенной модели, включающей в

себя новые условия и более точные математические зависимости.

Понятие “модель” и “моделирование”.

С понятием “моделирование экономических систем” (а также математических

и др.) связаны два класса задач:

1) задачи анализа, когда система подвергается глубокому изучению ее

свойств, структуры и параметров, то есть исследуется предметная

область будущего моделирования.

2) Задачи, связанные с задачами синтеза (получения ЭММ данной системы).

Модель – изображение, представление объекта, системы, процесса в

некоторой форме, отличной от реального существования.

Различают физическое и математическое моделирование.

Таблица 4 Классификация моделей.

Модели

Этапы практического моделирования.

1) Анализ экономической системы, ее идентификация и определение

достаточной структуры для моделирования.

2) Синтез и построение модели с учетом ее особенностей и математической

спецификации.

3) Верификация модели и уточнение ее параметров

4) Уточнение всех параметров системы и соответствие параметров модели, их

необходимая валидация (исправление, корректирование).

Этап подгонки модели многократный.

Таблица 5 Формальная классификация моделей.

|Признак классификации |Модель |

|1. Целевое назначение |Прикладные, теоретико-аналитические |

|2. По типу связей |Детерминированные, стохастические |

|3. По фактору времени |Статические, динамические |

|4. По форме показателей |Линейные, нелинейные |

|5. По соотношению экзогенных и |Открытые, закрытые |

|эндогенных переменных | |

|6. По типу переменных |Дискретные, непрерывные, смешанные |

|7. По степени детализации |Агрегированные (макромодели), |

| |детализированные (микромодели) |

|8. По количеству связей |Одноэтапные, многоэтапные |

|9. По форме представления |Матричные, сетевые |

|информации | |

|10. По форме процесса |Аналитические, графические, логические |

|11. По типу математического |Балансовые, статистические, |

|аппарата |оптимизационные, имитационные, |

| |смешанные |

3.3. Классификация экономико-математических методов и моделей

Суть экономико-математического моделирования заключается в описании

социально-экономических систем и процессов в виде экономико-математических

моделей. Выше кратко рассмотрен смысл понятий «метод моделирования» и

«модель». Исходя из этого экономико-математические методы следует понимать

как инструмент, а экономико-математические модели — как продукт процесса

экономико-математического моделирования.

Рассмотрим вопросы классификации экономико-математических методов. Эти

методы представляют собой комплекс экономико-математических дисциплин,

являющихся сплавом экономики, математики и кибернетики. Поэтому

классификация экономико-математических методов сводится к классификации

научных дисциплин, входящих в их состав. Хотя общепринятая классификация

этих дисциплин пока не выработана, с известной степенью приближения в

составе экономико-математических методов можно выделить следующие разделы:

• экономическая кибернетика: системный анализ экономики, теория

экономической информации и теория управляющих систем;

• математическая статистика: экономические приложения данной дисциплины

— выборочный метод, дисперсионный анализ, корреляционный анализ,

регрессионный анализ, многомерный статистический анализ, факторный анализ,

теория индексов и др.;

• математическая экономия и изучающая те же вопросы с количественной

стороны эконометрия: теория экономического роста, теория производственных

функций, межотраслевые балансы, национальные счета, анализ спроса и

потребления, региональный и пространственный анализ, глобальное

моделирование и др.;

• методы принятия оптимальных решений, в том числе исследование операций

в экономике. Это наиболее объемный раздел, включающий в себя следующие

дисциплины и методы: оптимальное (математическое) программирование, в том

числе методы ветвей и границ, сетевые методы планирования и управления,

программно-целевые методы планирования и управления, теорию и методы

управления запасами, теорию массового обслуживания, теорию игр, теорию и

методы принятия решений, теорию расписаний. В оптимальное (математическое)

программирование входят в свою очередь линейное программирование,

нелинейное программирование, динамическое программирование, дискретное

(целочисленное) программирование, дробно-линейное программирование,

параметрическое программирование, сепарабельное программирование,

стохастическое программирование, геометрическое программирование;

• методы и дисциплины, специфичные отдельно как для централизованно

планируемой экономики, так и для рыночной (конкурентной) экономики. К

первым можно отнести теорию оптимального функционирования экономики,

оптимальное планирование, теорию оптимального ценообразования, модели

материально-технического снабжения и др. Ко вторым — методы, позволяющие

разработать модели свободной конкуренции, модели капиталистического цикла,

модели монополии, модели индикативного планирования, модели теории фирмы и

т.д. Многие из методов, разработанных для централизованно планируемой

экономики, могут оказаться полезными и при экономико-математическом

моделировании в условиях рыночной экономики;

• методы экспериментального изучения экономических явлений. К ним

относят, как правило, математические методы анализа и планирования

экономических экспериментов, методы машинной имитации (имитационное

моделирование), деловые игры. Сюда можно отвести также и методы экспертных

оценок, разработанные для оценки явлений, не поддающихся непосредственному

измерению. Перейдем теперь к вопросам классификации экономико-

математических моделей, другими словами, математических моделей социально-

экономических систем и процессов. Единой системы классификации таких

моделей в настоящее время также не существует, однако обычно выделяют более

десяти основных признаков их классификации, или классификационных рубрик.

Рассмотрим некоторые из этих рубрик.

По общему целевому назначению экономико-математические модели делятся на

теоретико-аналитические, используемые при изучении общих свойств и

закономерностей экономических процессов, и прикладные, применяемые в

решении конкретных экономических задач анализа, прогнозирования и

управления.

По степени агрегирования объектов моделирования модели разделяются на

макроэкономические и микроэкономические. Хотя между ними и нет четкого

разграничения, к первым из них относят модели, отражающие функционирование

экономики как единого целого, в то время как микроэкономические модели

связаны, как правило, с такими звеньями экономики, как предприятия и фирмы.

Экономико-математические модели могут классифицироваться также по

характеристике математических объектов, включенных в модель, другими

словами, по типу математического аппарата, используемого в модели. По этому

признаку могут быть выделены матричные модели, модели линейного и

нелинейного программирования, корреляционно-регрессионные модели, модели

теории массового обслуживания, модели сетевого планирования и управления,

модели теории игр и т.д.

4. Метод линейного программирования в задачах оптимизации плана

производства

Линейное программирование – это метод выбора не отрицательных значений

переменных минимизирующих или максимизирующих значения линейной целевой

функции, при наличии ограничений.

При небольшой размерности переменных до 10-ти в задачах линейного

программирования (ЛП) используются итерационные процедуры ввиде конечного

числа шагов, пи решении системы линейных уравнений, которые получили

название симплексный метод.

Симплекс – многогранник.

Симплексный метод – это совокупность итерации, совершаемая ЛПР от

отправного наихудшего варианта целевой функции к экстремальному значению

целевой функции, при заданной системе ограничений; в качестве экстремума

минимальное или максимальное значение целевой функции. При этом целевая

функция и задача ЛП обладают свойством двойственности (т.е. минимум целевой

функции может быть всегда заменен максимумом, путем смены знаков самой

целевой функции).

Использование графического способа удобно только при решении задач ЛП

с двумя переменными. При большем числе переменных необходимо применение

алгебраического аппарата. Рассмотрим общий метод решения задач ЛП,

называемый симплекс-методом.

Информация, которую можно получить с помощью симплекс-метода, не

ограничивается лишь оптимальными значениями переменных. Симплекс-метод

фактически позволяет дать экономическую интерпретацию полученного решения и

провести анализ модели на чувствительность.

Процесс решения задачи линейного программирования носит итерационный

характер: однотипные вычислительные процедуры в определенной

последовательности повторяются до тех пор, пока не будет получено

оптимальное решение. Процедуры, реализуемые в рамках симплекс-метода,

требуют применения вычислительных машин - мощного средства решения задач

линейного программирования.

Симплекс-метод - это характерный пример итерационных вычислений,

используемых при решении большинства оптимизационных задач.

Рассмотрим использование симплексного метода ЛП на примере задач

оптимизации плана производства.

Пример №1:

Условие задачи (постановка):

Найти план производства предприятия обеспечивающий максимум прибыли.

Предприятие производит два вида продукции в трех цехах:

А 80

Б 60

В 100

Установлено соответственно: 80;60 и 100 единиц оборудования.

Нормы использования оборудования для производства за 1 час единицы

продукции представлены в таблице в машино/часах:

| |ВИДЫ ПРОДУКЦИИ |

|ЦЕХ | |

| |1 |2 |

|А |4 |2 |

|Б |1 |3 |

|В |2 |3 |

Прибыль первого вида продукции 10 рублей

Прибыль единицы второй продукции 8 рублей

Требуется определить объем выпуска первого и второго вида продукции

доставляющего максимум прибыли.

Решение:

1. Составляем модель.

Пусть х1 искомый объем (1 продукции первого вида;

х2 - (2 объем выпуска второго вида продукции.

Цель: максимальная прибыль.

Модель:

10х1 – прибыль от реализации ( первого вида продукции

8х2 – прибыль от реализации ( второго вида.

Целевая функция L(х1х2) = С1х1 + С2х2 = 10х1 + 8х2

С1 = 10; С2 = 8 – коэффициенты при переменных в целевой функции.

Планируемое использование машин по цехам не должно превышать наличие

этого оборудования в цехах (по цехам) ( отсюда система неравенств.

А – 4х1 + 2х2 ( 80 ограничение по

Б – 1х1 + 3х2 ( 60 использованию

В – 2х1 + 3х2 ( 100 оборудования,

условие не отрицательности.

х1 ( 0; х2 ( 0.

Для решения задачи симплексным методом в условиях ограничений

принимается работа каждой машины в цехе в машино/часах.

Система неравенств приводится к каноническому виду, путем добавления

дополнительных переменных и перевода неравенств в уравнение:

4х1 + 2х2 + х3 ( 80

х1 + 3х2 + х4 ( 60

2х1 + 3х2 + х5 ( 100

Переведем систему неравенств в уравнение:

х3 = 80 – (4х1 + 2х2) сколько машин

х4 = 60 – (х1 + 3х2) нужно

х5 = 100 – (2х1 + 3х2) (машино/часов)

Дополнительные переменные должны быть введены в целевую функцию,

которая будет иметь вид:

L(х1х2) = С1х1 + С2х2 + С3х3 + С4х4 + С5х5 = 10х1 + 8х2 + 0х3 + 0х4 +

0х5

стремится к максимуму

х1 ( 0; х2 ( 0; х3 = 0; х4 = 0; х5 = 0.

Выразим х3; х4 и х5 через х1 и х2

х3 = 80 – 4х1 - 2х2

х4 = 60 – х1 - 3х2

х5 = 100 – 2х1 - 3х2

Модель составлена и в этой модели имеются: х1; х2 – независимые

(свободные) переменные; х3; х4; х5 – базисные переменные.

По составленной модели используют итерационные процедуры метода,

составим альтернативные варианты решения системы уравнений с пятью

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5