Физика

луч проходит через ряд сопряженных точек, следующих одна за другой через

бесконечно малые расстояния.

[pic]

В случае отсутствия в среде эфирного ветра каждая из рассмотренных

бесконечно малых элементарных волн представляет собой бесконечно малую

сферу радиуса c1t, с центром, расположенным в соответствующей точке P, где

c1 - локальная скорость света в точке P среды. Для неоднородной среды

скорость света является заданной функцией с1=с1(x,y,z) точки среды и

поэтому различные элементарные волны будут иметь разные радиусы, см. рис.

В случае наличия в среде эфирного ветра элементарные волны тоже

являются бесконечно малыми сферическими поверхностями, но эти поверхности

теперь непрерывно сносятся движением эфира, и поэтому центры их в момент

времени t+dt располагаются не в точках P испускания волн, а в бесконечно

мало сдвинутых точках Q, которые находятся на бесконечно малых,

прямолинейных отрезках PR, вдоль точки P эфира перемещаются при его

движении за интервал времени t, t+dt. Отрезок PR имеет длину v·dt, где v -

скорость эфира в точке P и он направлен вдоль вектора скорости v эфирного

ветра в этой точке P. Радиусы сфер элементарных волн, однако, все равно

равны c1·dt, как в неподвижной среде, см. рис.

Точка Q может находиться и в начале (Q=P), и в конце (Q=R) отрезка PQ,

а также может лежать и внутри этого отрезка. Соответственно Лоренц

пользуется одной из следующих гипотез.

а) Если Q=P, то эфир не увлекается движущейся средой.

б) Если Q=P, то эфир полностью увлекается движущейся средой.

в) Если PQ=(1/n2)PR, то эфир частично увлекается движущейся средой;

здесь n - локальный показатель преломления для неподвижной среды в точке P.

Рассмотрим теперь важный частный случай движения Земли и прозрачной

Среды, когда они движутся в мировом пространстве поступательно равномерно

прямолинейно вдоль некоторого направления с некоторой постоянной скоростью

v.

Длина отрезка PQ теперь равна[pic]причем направления отрезков PR и

скорости v во всех точках P будут одинаковы.

Для частного случая поступательного равномерного прямолинейного

движения Земли и прибора сквозь мировой эфир Лоренц доказал следующую

замечательную теорему.

Теорема Лоренца. С точностью до членов первого порядка включительно по

отношению скоростей v/c, где v - поступательно равномерного прямолинейного

движения оптического прибора через неподвижный эфир, с - скорость света в

пустоте, геометрический ход лучей в оптическом приборе не зависит от

движения среды.

[pic]

Приступим к доказательству сформулированной теоремы. Рассмотрим ход

лучей в приборе относительно декартовых прямоугольных осей координат Oxyz,

жестко связанных с ним. Прибор движется равномерно прямолинейно

поступательно с постоянной скоростью v через неподвижный эфир.

Обратимся еще раз к рассмотренному выше рисунку. Обозначим РP1PQ между

направление светового луча, исходящего из точки P, и направлением движения

среды - через q, см. рис.

На рисунке полупрямая QP направлена вдоль направления эфирного ветра.

Согласно теореме косинусов, примененной к DP1PQ, имеем следующее

соотношение[pic]. Отрезок P1Q, согласно лоренцеву принципу Гюйгенса, равен

c1·dt, где c1 - локальная скорость света в точке P. Отрезок PQ, согласно

тому же принципу, равен k·v·dt, где k=1/n2, n - локальный показатель

преломления в точке P, v - скорость эфирного ветра. Отрезок PP1 равен

с1дв·dt, где с1дв - локальная скорость света в точке P для Среды с эфирным

ветром. Таким образом, приведенное соотношение можно представить в

следующем виде:

[pic]или в виде квадратного уравнения [pic]из которого можно определить

скорость с1дв. Решая это квадратное уравнение получим[pic]очевидно перед

корнем надо взять знак плюс, иначе получили бы отрицательное значение для

скорости с1дв. Считая скорость v движения среды через неподвижный эфир или,

что то же самое, скорость эфирного ветра малой по сравнению со скоростью

света с и разлагая корень в ряд по малости v2, имеем[pic]Следовательно, с

точностью до членов третьего порядка малости по v/c получаем приближенную

формулу[pic]. Из этой формулы сразу выведем еще одну приближенную формулу,

которая нам понадобится в дальнейшем: [pic]или [pic]справедливо с точностью

ло членов порядка малости v3/c31.

Определив, с помощью лоренцева обобщенного принципа Гюйгенса, скорость

с1дв распространения света по лучу для поступательно равномерно

прямолинейно движущейся прозрачной среды, воспользуемся теперь принципом

Ферма для определения хода лучей в оптическом приборе, жестко связанном с

движущейся Землей и перемещающимся вместе с ней. Согласно принципу Ферма,

для истинного пути L светового луча, выходящего из какой-то фиксированной

точки А и приходящего в другую фиксированную точку В, криволинейный

интеграл [pic]представляющий собой время распространения света по лучу,

должен принять минимальное значение. Здесь ds - длина элемента дуги кривой

ALB.

Пренебрегая членами второго порядка малости v2/c21 в вышеприведенной

формуле для 1/ с1дв, получаем следующую простую формулу для времени t для

любого мысленно воображаемого пути ALB: [pic]

Множитель v мы вынесли из-под знака интеграла, так как скорость

движения среды - постоянна. Учтем далее, что показатель преломления Среды

определяется формулой [pic]из которой сразу получаем с1n=c, где с -

скорость света в пустоте, - некоторая универсальная константа. Таки м

образом, множитель [pic]имеет постоянное значение, и его тоже можно вынести

из-под знака интеграла. Так приходим к формуле для времени распространения

света по лучу ALB [pic]Легко видеть, что второй интеграл не зависит от

формы пути ALB, так как он равен длине проекции прямолинейного отрезка АВ

на направление эфирного ветра в нашей прозрачной среде. Первый интеграл не

зависит от скорости движения среды, так как с1 - это линейная скорость

света в неподвижной среде.

При отыскании минимума времени t для различных путей ALB, соединяющих

фиксированные точки А и В, второй интеграл, не зависящий от формы пути ALB,

можно поэтому игнорировать. А так как первый интеграл не зависит от

скорости движения нашей среды, т.е. оптического прибора, то мы видим, что

форма пути истинного луча между точками А и В в движущемся оптическом

приборе будет в точности такой же, как и в покоящемся приборе.

Тем самым теорема Лоренца доказана.

4.7. Теория аберрации Стокса.

В 1845 г. Стокс опубликовал знаменитую работу “Об аберрации света”, в

которой изложил свою теорию аберрации. В момент написания этой работы Стокс

не знал еще работы Френеля 1818 г. по теории аберрации, о чем

свидетельствует отсутствие ссылок на работу Френеля в его работе 1845 г. и

его статья, появившаяся через несколько месяцев, уже в 1846 г., в которой

Стокс подробно излагает по-своему теорию Френеля, называет ее

“замечательной” и дает ей интересное дальнейшее развитие. Однако здесь же,

в этой статье 1846г. Стокс отмечает, что теперь “мы столкнулись с

любопытным случаем существования двух совершенно различных теорий,

одинаково хорошо объясняющих явление”. И здесь же говорит о том, что не

может проверить “без хорошего доказательства”, что эфир может свободно

проходить через твердую массу Земли.

В работе 1845 г. Стокс пишет упоминает только об известном элементарном

объяснении аберрации с помощью корпускулярной теории света, говорили о

больших успехах волновой теории света, которая “просто и красиво объяснила

многие сложные явления”, об отсутствии объяснения аберрации в рамках

волновой теории.

Приступим к изложению содержания работы Стокса 1845 г. Однако несколько

формализуем рассуждения Стокса, для лучшего понимания их сути.

Стокс предполагает, что Земля, двигаясь с постоянной скоростью в

межпланетном пространстве переносит какую-то часть эфира с собой,

вследствие того, что эфир вблизи её поверхности покоится относительно её

поверхности, как бы “прилипает” к ней, причём скорость эфира нарастает при

удалении от поверхности Земли, пока на не очень большом расстоянии, она не

станет равной скорости эфира, покоящегося в межпланетном пространстве,

относительно Земли. Таким образом, можно предположить, что в системе

отсчёта, жёстко связанной с Землёй, эфир натекает на Землю стационарным

сплошным потоком, обтекая её со всех сторон, с некоторым полем скоростей

[pic], не зависящим от времени t.

Предположим, что положение фронта световой волны, распространяющейся в

стационарно движущемся эфире, в момент времени t, даётся уравнением вида

[pic]составим дифференциальное уравнение, которое позволило бы определить

последовательные положения фронта световой волны в различные моменты

времени, т.е. определить эволюцию волнового фронта. Для этого надо найти

функцию ¦.

Возмущение эфира, каковым является световая волна, в случае

покоящегося эфира перемещается за интервал времени t, t+dt из точки x,y,z

в точку с координатами [pic]где с — скорость света в покоящемся эфире и где

[pic] считаем, что возмущение распространяется по нормали к поверхности

¦=0, взятой в точке x,y,z. Возмущение в движущемся эфире, с заданным полем

скоростей, по определению Стокса, за интервал времени t, t+dt из точки

x,y,z перемещается в точку с координатами [pic] т.е. Стокс считает, что

распространяющееся в эфире возмущение просто сносится движением эфира.

Таким образом, положение фронта в движущемся эфире в момент времени t+dt

даётся уравнением [pic]. Разлагая последнее уравнение по малости dt,

получаем искомое уравнение, описывающее эволюцию волнового фронта

оптической волны, распространяющейся в движущемся эфире: [pic] или [pic];

Хотя этого рассуждения Стокс и не приводит, но оно неявно содержится в

его рассуждениях. Знак ± соответствует неопределённости направления

нормали, задаваемой вектором с компонентами [pic]

Будем теперь считать, что скорость эфира, т.е. величины u, u, w малы

по сравнению со скоростью света с и построим частное приближённое решение

дифференциального уравнения, которое Стокс фактически и рассматривает в

своей работе 1845 г. по теории аберрации.

Нулевое приближение. Положим u = u = w = 0 в приведённом уравнении для

¦, т.е. рассмотрим покоящийся эфир. Тогда легко убедиться, что уравнение

нулевого приближения имеет следующее частное решение: [pic], это решение

описывает оптическую плоскую волну, распространяющуюся в отрицательном

направлении оси z. Действительно, уравнение нулевого приближения имеет вид

[pic] здесь мы взяли знак минус перед корнем, причём для приведенной

нулевой функции справедливы соотношения: [pic] перед корнем мы берём знак

“-”.

Первое приближение. Считая теперь скорости u, u, w малыми величинами,

первого порядка малости, найдём приближённое решение приведённого полного

уравнения, со знаком “-” перед корнем, переходящее при пренебрежении

величинами u, u, w в решение ¦0 , в виде функции [pic] где [pic] является

малой величиной первого порядка малости по u, u, w . Следуя Стоксу,

считаем, что поправочная функция z зависит только от координат x, y и не

зависит от координаты z. Это предположение, разумеется, несколько

ограничивает произвол отыскиваемого решения. Но если нам удастся его

построить, то всё в порядке. Из полного уравнения, которому удовлетворяет

функция ¦, со знаком “-” перед корнем, имеем следующее приближённое

уравнение для определение функции z : [pic] из которого непосредственно

получаем приближённое уравнение [pic] для определения функции z. Интегрируя

полученное уравнение по t, приходим к соотношению [pic]

Таким образом, окончательно приходим к следующему приближённому

уравнению для определения положения фронта рассматриваемой волны в момент

времени t: [pic]

Составим выражения для компонент ненормированной нормали к этой

поверхности волнового фронта в точке x,y,z = - ct в момент времени t. Имеем

[pic]

Обозначим через [pic] направляющие косинусы для нормали, взятой к

найденной приближённо волновой поверхности. Так как величина w /c мала, то

углы [pic] так что приближённо можно положить [pic].

В этом месте своих рассуждений Стокс прибегает к гипотезе о

потенциальности поля скоростей эфира.

Гипотеза Стокса. Поле скоростей эфира потенциально, т.е. существует

такая функция j(x,y,z), что [pic]

Согласно гипотезе Стокса имеем следующие очевидные простые соотношения

для компонент поля скоростей: [pic] используя которые, выведенные

приближённые формулы для углов a и b можно записать в виде [pic]

Следовательно для изменения углов a и b от момента времени t=t1 до

момента времени t=t2 имеем следующие очень простые формулы: [pic]

Из этих формул нетрудно получить общеизвестный закон аберрации. Пусть

свет от звезды идёт по направлению, строго перпендикулярному направлению

движения Земли. Первый момент времени t=t1 возьмём таким, чтобы фронт

световой волны находился на столь большом удалении от Земли, чтобы для

скорости эфира в точках этого фронта можно было считать, что [pic]

предполагаем, что Земля движется в положительном направлении оси x с

постоянной скоростью u . Второй момент времени t=t2 возьмём в тот самый

момент, когда волновой фронт дошёл до Земли, тогда [pic]

Следовательно, фронт, идущий от звезды плоской волны, поворачивается по

приближению к Земле таким образом, что угол, составленной его нормалью с

осью х, станет равным [pic] где u — скорость движения Земли, с — скорость

света в покоящемся эфире. См. рис.

[pic]

Наблюдателю на Земле будет казаться, что звезда сместилась на небе в

сторону направления движения Земли на угол аберрации равный [pic].

В 1880 г. Стокс опубликовал важное дополнение к изложенной нами сейчас

работе 1845 г. Он обратил внимание на то, что в работе 1845 г. он проследил

лишь за изменениями направления нормали к фронту волны, по мере

распространения волны от звезды до Земли. Когда эфир покоится, траектории

волновых нормалей совпадают с траекториями лучей. Когда эфир движется, с

заданным полем скоростей, траектории волновых нормалей и траектории лучей

перестают совпадать.

Обозначим через n — единичный вектор нормали в некоторой точке фронта

волны в момент времени t и через s — единичный вектор направления луча в

этой точке волнового фронта, рассматриваемого в момент времени t . Пусть

a, b — углы вектора нормали n с осями x, y, причём все эти углы мало

отличаются от прямых [pic]

Стокс считает, что [pic] где v(u,u,w) — поле скоростей эфира в

рассматриваемой точке волнового фронта в момент времени t. Следовательно:

[pic] или [pic] окончательно [pic] Приращение этих углов за интервал

времени t, t+dt, когда dz= - cdt, таким образом равно [pic]

Выше мы показали, что

[pic] [pic]

так что окончательно

[pic] [pic]

Принимая гипотезу Стокса о потенциальности поля скоростей эфира,

таким образом, заключаем, что правые части приведенных равенств равны нулю.

Итак, изменение направления луча по мере распространения равно нулю;

лучи света в увлекаемом Землей эфире - приближенно прямолинейные.

4.8. Механический принцип относительности.

Инвариантность относительно преобразований Галилея.

Галилей еще в XVII в. сформулировал принцип относительности в

механике, или механический принцип относительности.

Механический принцип относительности. Механические явления во всех

инерциальных системах отсчета происходят совершенно одинаково. Нельзя с

помощью механических экспериментов, производимых в движущейся инерциальной

системе отсчета, определить скорость ее движения (если не производить

наблюдений тел из системы отсчета, относительно которой мы хотим определить

скорость движения).

[pic]

Покажем, что уравнения механики математически записываются совершенно

одинаково во всех инерциальных системах отсчета. Для простоты рассмотрим

движение материальной точки, т.е. тела, размерами которого можно пренебречь

в рассматриваемой ситуации. Пусть это движение описывается в двух каких-

нибудь инерциальных системах - в “покоящейся” системе K и в “движущейся”

системе K'. Пусть в начальный момент времени декартовы оси этих систем

совпадали и пусть система K движется вдоль оси x с постоянной скоростью v.

Координаты точки M, отсчитываемые относительно движущейся и

относительно покоящейся систем отсчета K и K' связаны следующими формулами

преобразования:

[pic]

которые называют формулами преобразования Галилея. Время при

преобразованиях Галилея никак не преобразуем, так что следует положить, что

[pic].

Эту формулу тоже будем относить к формулам преобразования Галилея.

Рассмотрим движение материальной точки M массы m относительно той и

другой систем, происходящее, к примеру, вдоль оси x, под действием

некоторой заданной силы F (действующей только вдоль оси x). Тогда в

системах K и K' имеем следующие уравнения движения:

[pic] [pic]

которые математически совершенно одинаковы (инвариантны). При этом одно

уравнение получается из другого с помощью преобразований Галилея.

Действительно, согласно этим преобразованиям:

[pic]

так как очевидно dv/dt = 0 (скорость v постоянна).

Самыми фундаментальными объектами в физике являются точки и волны.

Поэтому интересно посмотреть, а будет ли инвариантно относительно

преобразований Галилея волновое уравнение, скажем, для простоты, одномерное

волновое уравнение (уравнение Даламбера) для плоских волн,

распространяющихся вдоль оси x. Пусть u = u(x,t) - волновая функция и c -

скорость волны. Тогда имеем уравнение

[pic]

Совершим в нем преобразование Галилея, другими словами - перейдем от

независимых переменных x,t к переменным x',t', считая, что неизвестная

волновая функция u теперь выражена в переменных x',t', т.е.

[pic]

где

[pic] [pic]

Таким образом,

[pic]

Следовательно,

[pic]

Далее,

[pic]

Следовательно,

[pic]

Подставим полученные выражения для вторых производных в исходное

волновое уравнение. Тогда получим, что

[pic]

или

[pic]

Как видим, получили совсем не Даламбера, а другое уравнение (в которое

входит v).

Таким образом, мы доказали, что одномерное волновое уравнение не

инвариантно относительно преобразований Галилея.

Остановимся на выяснении физического смысла полученного результата.

Для определенности представим себе обычные звуковые волны в воздухе. Они

являются малыми возмущениями плотности и давления малых частиц воздуха, и в

так называемом акустическом приближении (когда амплитуды этих возмущений

малы) описываются волновым уравнением Даламбера

[pic]

когда речь идет о плоских волнах, распространяющихся вдоль оси x.

Это уравнение, однако, математически описывает звуковую волну только

в покоящемся воздухе. Если мы хотим описать звуковую волну в движущемся

воздухе (движущемся равномерно прямолинейно со скоростью v вдоль оси x в

отрицательном направлении оси x в лабораторной системе отсчета), то мы

должны использовать не приведенное волновое уравнение, а только что

выведенное более сложное уравнение

[pic]

Таким образом, волновое уравнение для звука в движущейся среде

отличается по виду от волнового уравнения для звука в покоящейся среде. И

нет ничего удивительного в том, что волновое уравнение не инвариантно

относительно преобразований Галилея. Мы неявно предположили, что исходная

система K - это система отсчета, в которой среда (воздух) покоится.

Поясним сказанное подробнее. Пусть у нас имеется тело, движущееся со

скоростью v вдоль оси x и пусть в этом теле распространяется волна в

положительном или отрицательном направлении оси x.

[pic]

Рассмотрим волну, распространяющуюся в положительном направлении оси x.

Относительно взятой системы отсчета она имеет скорость cдв = c + v. Таким

образом, если форма волны в нулевой момент времени дается функцией f(x),

которая может быть взята произвольной, то в момент времени t она будет

описываться функцией

[pic]

Найдем вид уравнения, которому удовлетворяет эта функция. Очевидно

[pic] [pic]

Поэтому функция u удовлетворяет следующему уравнению

[pic]

которое можно представить в виде

[pic]

Подействуем на это уравнение справа и слева дифференциальным оператором

[pic]

и получим уравнение

[pic]

Следовательно, раскрывая скобки, имеем уравнение

[pic]

члены со смешанной производной, пропорциональные c, взаимно

сокращаются. Разделив на c2, окончательно приходим к уравнению

[pic]

которое в точности совпадет с уравнением, полученным выше.

Рассмотрим теперь волну, распространяющуюся в отрицательном

направлении оси x. Относительно нашей системы отсчета волна будет двигаться

со скоростью cдв = c - v.

Если форма волны в нулевой момент времени t = 0 дается функцией g(x),

которая может быть совершенно произвольной, то в момент времени t она будет

описываться функцией

[pic]

Найдем вид уравнения, которому удовлетворяет эта функция. Очевидно

[pic] [pic]

[pic]

Поэтому имеем уравнение

[pic]

которое можно записать в следующем виде

[pic]

Подействуем на это уравнение справа и слева дифференциальным оператором

[pic]

и получим уравнение

[pic]

Следовательно, раскрывая скобки, имеем уравнение

[pic]

члены со смешанной производной, пропорциональные c, взаимно

сокращаются. Разделив на c2, окончательно приходим к уравнению

[pic]

т.е. в точности к такому уравнению, которое мы получили для волны,

распространяющейся в положительном направлении оси x.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5