Анализ погрешностей волоконно-оптического гироскопа

Подставив в (2.4) выражение для электрического поля в гауссовом приближении рассмотренном в [1], получим следующее выражение для плотности тока, если на неоднородность в круглом световоде падает основная мода, поляризованная вдоль оси x :              

   ,  (2.5)

где - фундаментальное решение скалярного волнового уравнения для поля основной моды, определяемой в зависимости от профиля показателя преломления .

Вследствие того что, волоконные световоды, используемые в волоконной гироскопии, являются слабонаправляющими, т.е. относительная разность между максимальным и минимальным значениями профиля показателя преломления n ( r ) мала, векторы Е и H аппроксимируются решениями скалярного волнового уравнения. Постоянная распространения b основной моды, направляемой по световоду, ограничивается интервалом между двумя экстремумами, которые определяются значениями b для плоских волн. В бесконечных средах с показателями преломления n1 и n2 :

     ,                                                     (2.6)

где n1 , n2 - максимальное и минимальное значения показателя преломления n ( r );  - длина волны в вакууме.

В силу слабой канализации волн в световодах, т.е. n1 »n2 из (2.6) следует b » 2 p n / l, что совпадает с постоянной распространения плоской волны в направлении Z в бесконечной среде с показателем преломления n2 £ n £ n1 .

Таким образом, основная мода волоконного световода является квазипоперечной электромагнитной (Т) волной. В простейшем случае - это волна, однородно поляризованная только в одном направлении в отличии от мод высших порядков. Если обозначить направление поляризации через Х, поле в световоде можно представить в виде

                              ,                                     (2.7)

где  - магнитная проницаемость среды;

        =  -  диэлектрическая проницаемость среды;

        - диэлектрическая проницаемость вакуума.

Здесь неявно подразумеваем временную зависимость  . Компоненты поля Ey , Ez , Hx , Hz не учитываются поскольку они пренебрежимо малы, Y описывает пространственное изменение поля в плоскости, перпендикулярной оси световода. Следует отметить, что отражение плоской волны от границы раздела диэлектрических сред с близкими параметрами практически не чувствительно к поляризации падающей волны. Соответственно, и пространственное изменение поля Y должно быть нечувствительно к поляризационным эффектам, поэтому Y - решение скалярного волнового уравнения, т.е.

            ,                   (2.8)

где:

n ( r ) - профиль показателя преломления; l - длина волны в вакууме.

Таким образом, основная мода описывается решением уравнения (2.8), соответствующим наибольшему b и , не зависящей от угла . Для регулярного световода n ( r ) не зависит от длины, в случае нерегулярного световода n=n(x,y,z).

В практически интересных случаях применяют в одномодовых световодах оптические волокна как со ступенчатым, так и градиентным профилем. При этом наибольшее распространение получили оптические волокна с гауссовым и ступенчатым профилями.  Эти волокна целесообразно применять и в волоконной гироскопии поэтому остановимся на их анализе подробнее.

При изготовлении световодов в следствии диффузии границы между оболочкой и сердцевиной реальные профили могут отличаться как от ступенчатого, так и от гауссова, занимая некоторое промежуточное положение (сглаженный ступенчатый профиль). При этом профиль показателя преломления представляют в виде  :

                                                               (2.9)

            где   - параметр высоты профиля.

Численные решения волнового уравнения  для ступенчатого и степенного профилей волокна [2] показывают, что форма Y (r) примерно гауссова. В соответствии с этими исследованиями поле моды HE11 можно представить в виде:

                                         (2.10)

где r0 - размер светового пятна, определенный вариационным методом в [2].

Для решения волнового уравнения умножим его на

и воспользуемся тождеством:

            (2.11)

После интегрирования в пределах от 0 до ¥ получаем

                                    (2.12)                      

Кроме (2.12) появляется дополнительный член   ,

который вычисляется при значениях r = 0 и ¥. Этот член равен нулю, поскольку  конечно при r = 0 и экспоненциально стремиться к нулю при r ® ¥.

            Размер пятна r0 выбирается из условия обеспечения наибольшего b, которое соответствует основной моде. Подставляя приближенное выражение (2.10) в (2.12), можно определить r0 из условия db2/ dr0 = 0. Приближение для постоянной распространения b получается далее подстановкой найденного r0 в выражение (2.12). Таким образом, зная r0 и b можно полностью характеризовать поле с помощью формул (2.7) и (2.10). Используем полученную методику для определения параметров r0 и b для профилей применяемых в волокнах для оптической гироскопии.

В случае гауссова профиля показателя преломления:

             ,                   (2.13)

                        где  .

            Таким образом, n(r) с ростом r от 0 до ¥ уменьшается плавно от n1 до n2. Поскольку чёткой границы между сердцевиной и оболочкой нет, то форму профиля определяет радиус сердцевины a. Такая форма профиля показателя преломления представляет практический интерес, так как является хорошим приближением реального случая, когда в процессе изготовления волоконных световодов происходит взаимная диффузия материала сердцевины и оболочки.

            Подставляя (2.13) в (2.10) и (2.12), из условия db2/dr0 = 0 находим величину

                                                                                   (2.14)

Выражение (2.14) имеет физический смысл только при V >>1 (r0 - положительно), однако это не уменьшает его практической ценности, так как при V £ 1 вблизи оси световода распространяется лишь малая доля мощности основной моды. Подставляя r0 в (2.12) получаем выражение для

                                                  ,               (2.15)

где

                      (2.16)             

                Размер пятна r0 и постоянная распространения b полностью характеризуют поле основной моды, а следовательно, и передаточные свойства одномодовых световодов.

            Распределение плотности мощности или профиль интенсивности S(r) имеет вид :

            ,      (2.17)

где e,m - относительная диэлектрическая и магнитная проницаемость вакуума.

С увеличением расстояния от оси световода интенсивность падает экспоненциально. При меньших значениях V спад происходит медленнее, поэтому чем меньше V, тем меньшая часть полной мощности распространяется вблизи оси волокна. Доля мощности, распространяющейся в интервале от 0 до r, равна

       (2.18)

Таким образом в световодах с малым V распространяющееся излучение захватывает большую область поперечного сечения. Поскольку в практических ситуациях такое положение нежелательно, ограничение на V >1 (2.14) не важно. Практический интерес представляет определить ширину a профиля показателя преломления, при которой мощность пучка света будет наиболее сильно концентрироваться вблизи оси волокна при фиксированных значениях D и длины волны излучения, т.е. определить значение радиуса сердцевины, обеспечивающего минимальный размер пятна r0.  Дифференцируя (2.14) по a и учитывая, что согласно (2.16) V пропорционально a, получим оптимальное значение a, соответствующее V=2, т.е.

                        )    (2.19)

При V = 2 имеем r0 = a, т.е. распределение интенсивности S(r) совпадает с формой профиля показателя преломления.

В случае световода со ступенчатым профилем показателя преломления:

                                                                                 (2.20)

( S =1, f = 0 при r £ a и S =0, f =1 при r > a).

Следуя методике определения r0  и b для световодов с гауссовым профилем, получаем

                                                                (2.21)

                                               (2.22)

Все физические процессы имеющие место в волокнах с гауссовым профилем преломления, справедливы и для волокна со ступенчатым профилем. Радиус сердцевины a, обеспечивающий максимальную концентрацию света в волокне, определим в данном случае из условия  V = exp(1/2) » 1.65 что соответствует

     (2.23)                                      

Таким образом, плотность мощности в ступенчатом волоконном световоде выше на 17%. Доля мощности, распространяющейся в пределах радиуса r, будет равна

                                       (2.24)

            Получим основные характеристики одномодовых световодов на основе выводов сделанных ранее. Рассмотрим амплитуду излучения и мощность распространяющихся мод.

Для j - й вперёд и назад распространяющихся мод полная мощность определяется соотношениями :

                                                                           (2.25)

                   ,                                                   (2.26)

где Nj , N-j - параметры нормировки.

Полная мощность, возбуждённая во всех направляемых модах, будет равна

                        (2.27)

                Если световод является слабонаправляющим и круглым, а источники тока излучают вдоль оси x поперечного сечения световода, то мощность в каждой моде равна

      (2.28)

            где bl - скалярные постоянные распространения;

                   Yl- решение скалярного волнового уравнения (2.11).

            Для определения мощности излучения воспользуемся приближением свободного пространства, суть которого сводится к замене слабонаправляющего световода неограниченной однородной средой с показателем преломления оболочки n2 . В большинстве практических случаях излученная мощность достаточно точно описывается в рамках этого приближения.

            Решение уравнений Максвелла для полного поля в световоде с произвольным показателем преломления, согласно методике, приведённой в [2], можно выразить через векторный потенциал А, декартовы составляющие которого удовлетворяют уравнению

                                  ,                          (2.29)

         где           - распределение плотности тока; Ñ2 - скалярный оператор Лапласа. Решение уравнения (2.29) для каждой составляющей выражается через функцию Грина в виде

                        ,                           (2.30)

где V - объём, в котором распределены источники тока;

- радиусы-векторы точки наблюдения поля и точки расположения источника соответственно (рис 2.1.а).

Функция Грина находится путём решения соответствующего уравнения для свободного пространства с показателем преломления n2 и имеет вид

,    (2.31) 

где  , а c - угол между векторами  и .

Подстановка (2.31) в (2.30) приводит к выражению

,              (2.32)

            где

a)

            б)        

Рис 2.1.  Возмущение поля в точке P  источником с плотностью тока J в точке Q (а) и сферические полярные координаты точек Р и Q (б).

Достаточно далеко в оболочке поля всех источников являются локально плоскими и имеют вид .

                                               (2.33)

                            (2.34)

Отсюда запишем полную мощность излучения в виде

            ,       (2.35)

где с - скорость света; S¥ - сферическая поверхность с радиусом ¥; W - пространственный угол; S = | r | - радиус среды;- единичный вектор, параллельный радиальному вектору.

Если векторы P и Q выразить в сферической системе координат (S,Q,j) (рис 1.б), которая ориентирована так, что если угол j равен нулю, радиус-вектор расположен в плоскости Z, то уравнение (2.35) с использованием (2.32) и (2.33) можно записать так

  ,      (2.36)

где Mq и Mj , q и j - составляющие вектора  в точке Р

 В случае поперечно-ориентированного источника (токи параллельны оси x) вектор  будет иметь только составляющую Мх. Полную излученную мощность можно определить подстановкой в (2.36):

                                                 (2.37)

Здесь  q0 - угол, под которым происходит излучение источника к оси световода. Из рис 2.1.б следует, что

,        (2.38)

где a = S/ sin (q/) и z = S/ cos (q/) на трубке.

Подставляя (2.38) и (2.37) в (2.33) получаем

               (2.39)

Интеграл по j/ является интегральным представлением функций Бесселя первого рода, нулевого порядка и тогда

,              (2.40)

где J0(...) - функция Бесселя первого рода нулевого порядка.

Запишем величину плотности тока трубчатого источника (2.5) с учетом выражения полученного в [2]

                                                                  (2.41)

где DS(r,z) - отклонение функции профиля показателя преломления вследствие нерегулярностей.

       (2.42)

Подставив (2.41) в (2.40) получим

,     (2.43)

где B =

Поскольку Мx является случайной величиной, в (2.36) необходимо подставить средний квадрат <| Мx |2>. Воспользовавшись результатами полученными в [3] запишем

,                       (2.44)

где DDS - дисперсия функции профиля показателя преломления; rDS (t) - нормированная корреляционная функция распределения неоднородностей по длине световода DS (r,z).

При радиусе корреляции  l0<<l

,                           (2.45)

где GDS (0) - спектральная плотность распределения неоднородностей по длине световода, определяемая соотношением :

    (2.46)

Поскольку аргумент спектральной плотности должен быть равен нулю, находим величину угла, под которым в среднем происходит излучение

                                                          (2.47)

Полная средняя излученная мощность будет равна

    (2.48)

Таким образом, мы получили выражение для нахождения характеристик излученной мощности по известным статистическим характеристикам функций профиля показателя преломления, определяющих трубчатый источник тока DDS  и GDS (0) или rDS (t).

Мощность основной моды P(z) на длине световода при наличии нерегулярностей затухает вследствие потерь на излучение. Если нерегулярный участок разделить на элементарные участки длиной dz, малые по сравнению с длиной z, то можно записать выражение для потери мощности моды на участке длиной dz:

            ,                     (2.49)

в котором использовались соотношения (2.25),(2.26)

                        ,                                              (2.50)

где a1 - амплитуда моды; N - параметр нормировки.

Интегрируя (50) по длине l, получаем:

  [Нп/км],        (2.51)

где a - коэффициент затухания мощности.

Подстановка выражения для N   с произвольным профилем,

        ,                    

где R0 = r0 / a и использование выражения (2.51) дают

                             (2.52)

Полученное выражение даёт возможность, подставляя R0  для различных профилей показателя преломления, определять коэффициенты затухания вследствие потерь мощности на излучение для любого профиля показателя преломления.

В практике волоконно-оптических гироскопов интерес представляют волокна с различными  профилями показателя преломления. Определим необходимые для разработчиков устройства параметры волокон используемых в этой области.

Рассмотрим световод со ступенчатым профилем показателя преломления, в котором граница между сердцевиной и оболочкой по длине деформирована случайным образом, т.е.

r(z) = a + F(z) ,                                                  (2.53)                       

где а - радиус сердцевины регулярного световода;

F(z) - функция искажения границы, которая может отражать изгибы оси, изменение радиуса сердцевины или эллиптичность поперечного сечения.

            При этом в случаях

            искривления оси:

                        F(z) = f(z) / a                                                       (2.54)

                        отклонения радиуса:

                                    F(z) = - x(z) / a,                                                  (2.55)

                        эллиптичности:

                                    F(z) = - h(z) cos 2j / a.                                      (2.56)

На рис 2.2. показано изменение радиуса сердцевины. Отклонение показателей преломления регулярного и нерегулярного световодов Dn = n -   изменяется как ± (n1 - n2) в области нерегулярностей и равно нулю во всех остальных областях. Поскольку отклонения F(z) малы, можно предположить , что вынужденные токи сосредоточены в области границы сердцевины с оболочкой, поэтому имеем:

                        Dn = (n1 - n2) d (r-a) F(z),                                   (2.57)

a

                        DS = F(z).                                                           (2.58)

Рис 2.2. Нерегулярный ступенчатый световод со случайными колебаниями радиуса сердцевины и эквивалентное распределение токов.

Таким образом, нерегулярный световод заменяем регулярным, возбуждаемым трубчатым источником тока, радиус которого равен радиусу сердцевины световода, ток направлен параллельно оси x, а амплитуда его определяется выражением (2.57).

Корреляционная функция DS будет равна

            ,                                                 

где rF (t) - нормированная корреляционная функция распределения неоднородностей по длине.

            Дисперсия DS равна

                        DDS = KDS(0) = DF,                                         

а соответствующая rF (t) спектральная плотность имеет вид:

            В случае гауссова профиля отклонение функции профиля показателя преломления определяется выражениями полученными в [2]:

                        изменения радиуса сердцевины

            DS(r,z) = (2 r2 / a3) x(z) exp [-(r/a)2]                               

                        случайные изгибы оси

            DS(r,z) = (2 r / a2) x(z) exp [-(r/a)2]                                

                        эллиптичность сердцевины

            S(r,z) = exp [-(r/(a+h(z)cos 2j)]                                              

Определим статистические характеристики DS

                        для изменения радиуса сердцевины

            DDS = ( 4r4/ a6 )Dx exp [-2(r/a)2]                                  (2.59)

                        rDS (t) = rx (t)                                                

                        для случайных изгибов оси:

                    DDS = ( 4r2/a4Dfexp [-2(r/a)2]                              

            rDS (t) = rf(t)                                                             

                        для эллиптичности

                        DDS = ( 2r4/a6Dhexp [-2(r/a)2]                            

                        rDS (t) = rh(t)                                                   

Для световодов со степенным профилем показателя преломления отклонение функции профиля преломления описывается выражением :

            DS(r,z) = - [q (r/a)q x(z)]/a                 

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10