Курсовая работа: Інтерполювання функцій
,
тобто , і, взагалі, . (1.
2. 1)
Таким чином, на кінцеві різниці можна
дивитись як на деякий аналог похідних. Звідси справедливість багатьох їх властивостей,
однакових зі властивостями похідних.
Відмітимо лише найпростіші
властивості кінцевих різниць:
1.
кінцеві
різниці сталої дорівнюють нулю;
2.
сталий
множник у функції можна виносити за знак кінцевої різниці;
3.
кінцева
різниця від суми двох функцій дорівнює сумі їх кінцевих різниць в одній і тій
же точці.
Враховуючи роль, яку відіграють
многочлени в теорії інтерполювання, подивимось, що представляють собою кінцеві
різниці многочленна.
Так як многочлен в своїй канонічній
формі є лінійна комбінація степеневих функцій, покладемо спочатку . Використовуючи
біноміальне розвинення п-ого степеня двочлена, отримаємо:
тобто перша кінцева різниця
степеневої функції є многочлен степеня п-1 зі
старшим членом . Якщо взяти тепер кінцеву різницю
від функції
, (1. 2. 2)
то в силу лінійних властивостей , можна записати . Перший доданок в цій сумі, як
з’ясовано, є многочлен (п-1)-го степеня, другий, аналогічно, - многочлен
степеня п-2, і т. д. отже, перша кінцева різниця многочленна (1. 2. 2) в точці з короком є многочлен зі старшим членом ,
друга кінцева різниця – многочлен зі старшим членом , …, -та різниця –
многочлен зі старшим членом .
При отримуємо постійну різницю п-го
порядку для многочлена (1. 2. 2), кінцеві
різниці більш високих порядків дорівнюють нулю.
Тобто, головний висновок із
попередніх роздумів: п-і кінцеві різниці многочленна п-ого степеня постійні, а
(п+1)-ші і всі наступні рівні нулю.
Однак, більш важливим для розуміння
суті поліноміального інтерполювання є твердження, обернене зробленому вище
висновку. А саме, що якщо кінцеві різниці п-го порядку деякої функції постійні
в будь-якій точці при різних фіксованих кроках , то
ця функція є многочлен степеня п.
Для функції , заданої таблицею своїх
значень у вузлах , де , кінцеві
різниці різних порядків зручно поміщати в одну загальну таблицю з вузлами і
значеннями функції. Цю загальну таблицю називають таблицею кінцевих різниць.
1.2.1 Перша інтерполяційна формула
Ньютона
Нехай для функції задані значення для рівновіддалених значень
незалежної змінної: , де - крок інтерполяції. Необхідно
підібрати поліном степені не вище п, який
приймає в точках значення
(1. 2. 3)
Умови (1. 2. 3) еквівалентні тому, що .
Слідуючи Ньютону, будемо шукати поліном у вигляді
Використовуючи загальний степінь,
вираз (1. 2. 3)
запишемо так:
Наша задача заклечається у визначенні
коефіцієнтів полінома . Покладаючи у вираз (1. 2. 5), отримаємо .
Щоб знайти коефіцієнт , складемо
першу кінцеву різницю . Припускаючи в останньому виразі , отримаємо: ; звідки . Для визначення коефіцієнта складемо кінцеву різницю другого
порядку .
Покладаючи , отримаємо: ; звідки . Послідовно продовжуючи цей процес,
ми виявимо, що , де .
Підставляючи знайдені значення
коефіцієнтів у вираз (1. 2. 5) отримаємо
інтерполяційний поліном Ньютона
. (1. 2. 6)
Легко побачити, що поліном (1. 2. 6.)
повністю задовольняє вимогам поставленої задачі. Дійсно, по-перше, степінь
поліному не вище п, по-друге, і
Замітимо, що при формула (1. 2.
6) перетворюється в ряд Тейлора для функції . Дійсно, Крім того, очевидно, .
Звідси при формула (1. 2. 6) приймає вид поліному
Тейлора: .
Для практичного використання
інтерполяційну формулу Ньютона (1. 2. 6) зазвичай записують в дещо
перетвореному вигляді. Для цього введемо нову змінну за формулою ; тоді
підставляючи ці вирази у формулу (1.
2. 6), отримаємо:
, (1. 2. 7)
де являє собою кількість кроків,
необхідних для досягнення точки , виходячи із точки . Це і є
кінцевий вигляд першої інтерполяційної формули Ньютона.
Формулу (1. 2. 7) вигідно
використовувати для інтерполювання функції в околі початкового значення , де мале
за абсолютною величиною.
Якщо у формулі (1. 2. 7) покласти
п=1, то отримаємо формулу лінійного інтерполювання: . При п=2 будемо мати формулу
параболічного або квадратичного інтерполювання
.
Якщо дана необмежена таблиця значень , то
число в інтерполяційній формулі (1. 2.
7) може бути довільним. Практично в цьому випадку число обирають так, щоб
різниця була постійною із заданою
точністю. За початкове значення можна приймати довільне табличне
значення аргументу .
Якщо таблиця значень функції
скінчена, то - число обмежене, а саме: не
може бути більше числа значень функції , зменшеного на одиницю.
Відзначимо, що при застосуванні
першої інтерполяційної формули Ньютона зручно використовувати горизонтальну
таблицю різниць, так як потрібні значення різниць функції знаходяться у
відповідному горизонтальному рядку таблиці.
1.2.2 Друга інтерполяційна
формула Ньютона
Перша інтерполяційна формула Ньютона
практично незручна для інтерполювання функції поблизу вузлів таблиці. В такому
випадку зазвичай застосовують другу інтерполяційну формулу Ньютона. Виведемо цю
формулу.
Нехай маємо систему значень функції для
рівновіддалених значень аргументу , де - крок інтерполяції.
Побудуємо поліном наступного вигляду:
або, використовуючи узагальнену
степінь, отримуємо:
. (1. 2. 8)
Наша задача полягає у визначенні
коефіцієнтів таким чином, щоб виконувались умови
(1. 2. 3). Для цього необхідно і достатньо, щоб
(1. 2. 9)
Покладемо у формулі (1. 2. 8). Тоді будемо
мати: ,
отже .
Далі беремо від лівої і правої
формули (1. 2. 8) кінцеві різниці першого порядку
.
Звідси, вважаючи і враховуючи відношення
(1. 2. 9) будемо мати:
. Отже .
Покладаючи знаходимо: . І таким чином .
Характер закономірності коефіцієнтів достатньо
зрозумілий. Застосовуючи метод математичної індукції, можна строго довести, що
(1. 2. 10)
Підставляючи ці значення у формулу (1.
2. 8) будемо мати остаточно
(1. 2. 11)
Формула (1. 2. 11) носить назву другої
інтерполяційної формули Ньютона.
Введемо більш зручний запис формули (1.
2. 11). Нехай , тоді
і т. д.
Підставивши ці значення у формулу (1.
2. 11), отримаємо:
. (1.2.12)
Це і є загальний вигляд другої
інтерполяційної формули Ньютона. Для наближеного обчислення значень функції вважають,
що .
Як перша, так и друга інтерполяційні
формули Ньютона можуть бути використані для екстраполяції, тобто, для
знаходження значень функції для значень аргументів ,
котрі лежать за межами таблиці. Якщо і близько до , то
вигідно використовувати першу інтерполяційну формулу Ньютона, причому тоді . Якщо
ж і
близько
до ,
то зручніше використовувати другу інтерполяційну формулу Ньютона, причому тоді .
Таким чином, перша інтерполяційна формула Ньютона використовується для
інтерполяції вперед і екстраполяції назад, а друга інтерполяційна формула
Ньютона, навпаки, – для інтерполяції назад і екстраполяції вперед (див. [8]).
Відмітимо, що операція екстраполяції,
взагалі кажучи, менш точна, ніж операція інтерполяції у вузькому значенні
слова.
1.2.3 Оцінка похибок
інтерполяційних формул Ньютона
Для функції ми побудували
інтерполяційний поліном Ньютона , який приймає в точках задані
значення . Виникає питання, наскільки
близько побудований поліном наближається до функції в інших точках, тобто
наскільки великий залишковий член . Для визначення цього степеня наближення накладемо на функцію
додаткові
обмеження. А саме, ми будемо припускати, що в області зміни : ,
котра містить вузли інтерполювання, функція має всі похідні до (п+1)-го порядку
включаючи.
Введемо допоміжну функцію
, (1. 2. 12) де і
- постійний коефіцієнт, котрий буде
обрано нижче.
Функція , очевидно, має п+1 корінь в точках . Підберемо тепер коефіцієнт таким
чином, щоб мала (п+2)-ий корінь в будь-якій,
але фіксованій точці відрізка , яка не співпадає з вузлами
інтерполювання (мал. 1). Для цього достатньо покласти
.
Звідси, так як , то
(1. 2. 13)
При цьому значення множника функції має п+2 кореня на
відрізку і буде обертатись в нуль на
кінцях кожного з відрізків
. Застосовуючи теорему Ролля [11] до кожного із цих відрізків,
переконуємось, що похідна має не менше п+1 кореня на
відрізку .
Малюнок 1. Графік функції
Застосовуючи теорему Ролля до
похідної , ми
переконаємося, що друга похідна перетворюється в нуль не менше п
разів на відрізку .
Продовжуючи ці роздуми, прийдемо до
висновку, що на відрізку похідна має хоча б один корінь,
котрий позначимо через , тобто .
Із формули (1. 2. 11) так як , маємо: . При , отримуємо: Звідси
.
(1. 2. 14)
Порівнюючи праві частини формул (1. 2. 13) і (1. 2. 14), будемо мати:
, тобто
. (1. 2. 15)
Так як довільне, то формулу (1. 2. 15) можна записати і так:
, (1. 2. 16)
де залежить від і лежить всередині відрізка .
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5
|