Курсовая работа: Інтерполювання функцій

Відмітимо, що формула (1. 2. 16) справедлива для всіх точок відрізка , в тому числі і для вузлів інтерполювання.

На основі формули (1. 2. 16) отримаємо залишковий член першої інтерполяційної формули Ньютона:

, (1. 2. 17)

де  - деяка внутрішня точка найменшого проміжку, що містить всі вузли  і точку .

Аналогічно, покладаючи в формулі (1. 2. 17) , отримаємо залишковий член другої інтерполяційної формули Ньютона:

, (1. 2. 18)

де  - деяка внутрішня точка найменшого проміжку, що містить всі вузли  і точку .

Зазвичай при практичних обчисленнях інтерполяційна формула Ньютона обривається на членах, що містять такі різниці, які в межах заданої точності можна вважати постійними.

Вважаючи, що  майже постійними для функції  і  достатньо малим, і враховуючи, що , наближено можна покласти:

.

В цьому випадку залишковий член першої інтерполяційної формули Ньютона наближено рівний

.

При таких самих умовах для залишкового члена другої інтерполяційної формули Ньютона отримаємо вираз

.

1.3 Інтерполяційні формули Гауса

При побудові інтерполяційних формул Ньютона використовуються лише значення функції, що лежать з однієї сторони початкового наближення, тобто, ці формули носять односторонній характер (див.[3]).

В багатьох випадках виявляються корисними інтерполяційні формули, що містять як наступні, так і попередні значення функції по відношенню до її початкового наближеного значення. Найбільш вживаними серед них являються ті, що містять різниці, розміщені у горизонтальному рядку діагональної таблиці різниць даної функції, що відповідає початковим значенням  і , або в рядках, що безпосередньо примикають до неї. Ці різниці  називаються центральними різницями, причому  і т. д.

Відповідні їм формули називають інтерполяційними формулами із центральними різницями. До їх числа відносяться формули Гауса, Стірлінга і Бесселя.

Постановка задачі. Нехай маємо 2п+1 рівновіддалені вузли інтерполяції:

,

де , і для функції  відомі її значення в цих вузлах , потрібно побудувати такий поліном  степені не вище 2п, що . Із останньої умови випливає, що

 (1. 3. 1)

для всіх відповідних значень і та k.

Будемо шукати поліном у вигляді:

Вводячи узагальнені степені (див [3]), отримаємо:

Застосовуючи для обчислення коефіцієнтів  такий же спосіб, що і при виведенні інтерполяційних формул Ньютона, і враховуючи формулу (1. 3. 1), послідовно знаходимо:

Далі вводячи змінну  і зробивши відповідну заміну у формулі (1. 3. 3), отримаємо першу інтерполяційну формулу Гауса:

або, коротше,

де .

Перша інтерполяційна формула Гауса містить центральні різниці

 .

Аналогічно можна отримати другу інтерполяційну формулу Гауса, котра містить центральні різниці  . Друга інтерполяційна формула Гауса має вигляд:

або, в скорочених позначеннях,

де .

Формули Гауса застосовуються для інтерполювання в середині таблиці поблизу . При цьому перша формула Гауса застосовується при , а друга – при .

1.4 Інтерполяційна формула Бесселя

Для того, щоб вивести формулу Бесселя використаємо другу інтерполяційну формулу Гауса (1. 3. 6).

Візьмемо  рівновіддалених вузлів інтерполювання  з кроком , і нехай  - задані значення функції .

Якщо обрати за початкове значення  і , то, використовуючи вузли , будемо мати:

прикладний задача інтерполяційний формула

Візьмемо тепер за початкове значення  і  і використаємо вузли . Тоді , причому відповідно індекси всіх різниць в правій частині формули (1. 4. 1) зростуть на одиницю. Якщо замінити в правій частині формули (1. 4. 1)  на  і збільшивши індекси всіх різниць на 1, отримаємо допоміжну інтерполяційну формулу:

Взявши середнє арифметичне формул (1. 4. 1) і (1. 4. 2), після нескладних перетворень отримаємо інтерполяційну формулу Бесселя:

де .

Тобто, інтерполяційна формула Бесселя (1. 4. 3), як слідує із способу отримання її, представляє собою поліном, який співпадає з даною функцією  в  точках .

В окремому випадку, при п=1, нехтуючи різницею , маємо формулу квадратичної інтерполяції по Бесселю:

або , де .

У формулі Бесселя всі члени, котрі містять різниці непарного порядку, мають множник , тому при  формула (1. 4. 3) значно спрощується:

Цей спеціальний випадок формули Бесселя називається формулою інтерполювання на середину. Якщо у формулі (1. 4. 3) зробити заміну змінної за формулою , то вона приймає більш симетричний вигляд:

де .

Формула Бесселя використовується для інтерполювання всередині таблиці при значеннях q, близьких до 0.5. Практично вона використовується при .

1.5 Інтерполяційна формула Стірлінга

Якщо взяти середнє арифметичне першої інтерполяційної формули Гауса (1. 3. 4) та другої формули Гауса (1. 3. 6), то отримаємо формулу Стірлінга:

де .

Легко бачити, що  при .

Формула Стірлінга використовується для інтерполювання в середині таблиці при значеннях , близьких до нуля. Практично її використовують при .

1.6 Оцінки похибок центральних інтерполяційних формул

Приведемо залишкові члени для формул Гауса, Стірлінга і Бесселя [12].

1.  Залишковий член інтерполяційних формул Гауса (1. 3. 4) і (1. 3. 6) та інтерполяційної формули Стірлінга (1. 5. 1).

Якщо 2п – порядок максимальної різниці таблиці, яка використовується

і , то ,

де .

Якщо ж аналітичний вираз функції  невідомий, то при  малому покладають [2]: .

2.  Залишковий член інтерполяційної формули Бесселя (1. 4. 3).

Якщо 2п+1 – порядок максимальної використовуваної різниці таблиці і , то

,

де .

Якщо ж функція  задана таблично і крок h малий, то приймають:

.

Найбільш простий вигляд формула має при q=0.5, так як всі члени, що містять різниці непарного порядку зникають. Цей спеціальний випадок формули Бесселя називається формулою інтерполювання на середину. Її використовують для ущільнення таблиць [4], тобто для складання таблиць з більш малим кроком. Для залишкового члена при q=0.5 маємо:

.

1.7 Інтерполяційна формула Ньютона для нерівновіддалених вузлів

Для побудови інтерполяційних формул у випадку довільного розташування упорядкованих не співпадаючих вузлів  на проміжку , замість кінцевих різниць використовують розділені різниці, або інакше, різницеві відношення.

Через значення функції  спочатку визначають розділені різниці першого порядку:

 (1. 7. 1)

На різницях (1. 7. 1) шукаються розділені різниці другого порядку:

і т.д. Таким чином, якщо визначені k-ті різницеві відношення , то - ті визначаються завдяки ним рівністю:

 (1. 7. 2)

Нехай  - деяка функція із відомими значеннями у вузлах , а  - довільна фіксована точка. За означенням розділеної різниці першого порядку (1. 7. 1) маємо: звідки

 (1. 7. 3)

Для розділеної різниці другого порядку по точкам  записуємо представлення:  наслідком якого являється вираз  Підставляючи його у формулу (1. 7. 2), приходимо до рівності

Формально, на основі рекурентного відношення (1. 7. 2) цей процес може бути продовжений. В результаті можна записати формулу, яка описує своєрідне розкладання  по добуткам різниць , коефіцієнтами якого являються розділені різниці різних порядків:

 (1. 7. 4)

Якщо  - многочлен степені п, то процес подібного розкладання вичерпується. Розкладання буде складатись з п+1 доданка, і всі вони будуть мати конкретні коефіцієнти, так як остання, яка містить , розділена різниця в (1. 7. 4), тобто  має (п+1)-ий порядок і, значить, дорівнює нулю. Таким чином, для довільного многочленна степені п справедлива тотожність

Припустимо, що цей многочлен  являється інтерполяційним для деякої функції . Тоді у всіх вузлах  він повинен мати однакові з нею значення, а отже повинні бути однаковими і їх розділені різниці. Звідси приходимо до інтерполяційної формули Ньютона для нерівновіддалених вузлів:

Підставивши  замість  у формулу (1. 7. 4), з урахуванням (1. 7. 5) отримуємо точну рівність

другий доданок якої може розглядатись в якості залишкового члена, тобто

, (1. 7. 6)

де .

Так як для обчислення різниці  необхідно знання значення  поряд з відомими значеннями , представлений формулою (1. 7. 5) вираз  фактично можна використовувати тільки для оцінювання похибки інтерполювання за формулою (1. 7. 5) через максимальні величини модулів розділених різниць (п+1)-го порядку або для одержання інших виразів залишкового члена при тих чи інших припущеннях про дану функцію. Зокрема, якщо функція  має (п+1)-шу похідну, то залишковий член (1. 7. 6) може бути приведений до вигляду .

При практичному використання інтерполяційної формули (1. 7. 5) доводиться покладатися на зменшення модулів доданків  при збільшенні номера доданка. Таке зменшення відбувається до деяких пір; потім починається зростання їх модулів із-за впливу похибок заокруглення.

1.8 Приклади застосування інтерполяційних формул

1.8.1 Приклад 1

Використовуючи першу і другу інтерполяційну формулу Ньютона і Гауса, а також інтерполяційні формули Стірлінга і Бесселя необхідно знайти значення функції , заданої таблицею (табл. 1) при значенні аргументу . При цьому крок .

Таблиця 1. Значення функції

Розв’язання:

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5