Вывод уравнения Шредингера

Уравнение   Шрёдингера,    как    это требовалось с самого начала    для    выполнения   принципа  суперпозиции, линейно  и однородно относительно функции Ψ. В точной математической форме принцип  суперпозиции сводится  к двум утверждениям.

Во-первых, если Ψ1 и Ψ2 — какие-либо два решения уравнения Шрёдингера, то и всякая линейная комбинация их α1Ψ1  + α2Ψ2  с постоянными  (вообще говоря, комплексными) коэффициентами α1 и α2 есть также решение того же уравнения. Во-вторых, если волновые функции Ψ1  и  Ψ2 описывают какие-либо два со­стояния системы, то и линейная комбинация α1Ψ1  + α2Ψ2  также описывает какое-то состояние той же системы. Конечно, состояние частицы определяется не самими коэффициентами α1 и α2, а только их отношением α1/α2 . Состояние не изменится, если оба коэффициента умножить на одну и ту же веществен­ную или комплексную постоянную. Это позволяет, например, функцию Ψ = α1Ψ1  + α2Ψ2 нормировать (если интеграл ,  взятый по всему пространству, сходится).

Особое значение в квантовой механике имеют стационар­ные состояния. Это – такие состояния, в которых все наблюдае­мые физические параметры не меняются с течением времени. Сама волновая функция Ψ не относится к этим параметрам. Она принципиально не наблюдаема. Не должны меняться во времени только физически наблюдаемые величины, которые мо­гут быть образованы из Ψ по правилам квантовой механики.

Как следует из уравнения (9), вид волновой функ­ции Ψ определяется потенциальной энергией U, т. е., в конечном счете, характером тех сил, которые действуют на частицу. Вообще говоря, U есть функция координат и времени. Для стационарного (не меняющегося со време­нем) силового поля U не зависит явно от времени. В по­следнем случае волновая функция Ψ распадается на два множителя, один из которых зависит только от времени, второй – только от координат:

                                                                                            (10)

(Е — полная энергия частицы, (E/ħ) = ω ).

Учтём, что дифференциал                       (11)

Подстановка функции  (10)  в урав­нение (9) с учётом (11) дает:

Сокращая все члены этого уравнения на общий множи­тель e-i(E/ħ)t  и произведя соответствующие преобразования, получим дифференциальное уравнение, определяющее функцию ψ:

                                                                                     (12)

Если функция U зависит от времени явно, то и решение последнего уравнения  – функция ψ – будет зависеть от времени, что противоречит предположению (10).

Уравнение (12) называется уравнением Шрёдингера для стационарных состояний (или уравнением Шрёдингера без времени).

К уравнению Шрёдингера можно прийти и следующим путем сле­дующих рассуждений. Из опытов по дифракции микро­частиц вытекает, что параллельный пучок частиц обла­дает свойствами плоской волны, распространяющейся в направлении движения частиц. Уравнение плоской вол­ны, распространяющейся в направлении оси x, имеет, как известно, вид:

Это выражение часто пишут в комплексном виде:

                                                                                                    (13)

подразумевая, что надо принимать во внимание веще­ственную часть этого выражения.

Согласно гипотезе де Бройля свободному движению частицы соответствует плоская волна с частотой ω=Е/ħ и длиной волны λ = 2πħ/р. Заменяя ω и λ  в выражении (13) соответствующими выражениями, получим волновую функцию для свободной частицы, движущейся в направлении оси х:

                                                                            (14) 

Чтобы найти дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет функция (14), воспользуемся соотноше­нием между Е и p:

                                                     E= p2/2m.                                                (15)

Продифференцировав функцию (14) один раз по t, a второй раз дважды по x, получим:

Из этих соотношений можно выразить Е и р2 через функ­цию Ψ и ее производные:

Как видим прослеживается полная аналогия с (7*). Подставляя полученные выражения в соотношение (15) получим дифференциальное уравнение:

Если направление волны не совпадает с осью х (или у, или z), фаза колебаний будет зависеть от всех коор­динат: х, у и z. В этом случае диф­ференциальное уравнение имеет вид:

Полученное уравнение совпадает с уравнением Шрёдингера (8) (частица по условию свободна, U=0). Подстановка (10) в это уравнение (такая подстановка правомерна, так как U = 0, т. е. не зависит от t) приводит к уравнению Шрёдингера для стационар­ных состояний:

                                                                  (16)

Это уравнение совпадает с уравнением (12) для случая U = 0.

Таким образом, мы получили уравнение Шрёдингера для свободно движущейся частицы. Теперь следует об­общить уравнение (16) на случай частицы, движущейся в потенциальном поле сил, когда полная энергия Е сла­гается из кинетической энергии Т и потенциальной энергии U.

В случае свободной частицы полная энергия Е сов­падает с кинетической Т, так что величину Е в уравне­нии (16) можно трактовать либо как полную, либо как кинетическую энергию частицы. Обобщая уравнение (16) на случай движения частицы в поле сил, нужно решить вопрос о том, что следует подразумевать для та­кой частицы под величиной Е: полную или только кине­тическую энергию. Если принять, что Е – полная энер­гия частицы, обобщенное уравнение, определяющее ψ, а значит, и сама ψ не будет зависеть от вида функции U, т. е. от характера силового поля. Это, очевидно, не может соответствовать действительному положению вещей. По­этому следует признать, что при наличии сил, действую­щих на частицу, вместо Е в уравнение (16) нужно ввести кинетическую энергию частицы Т = Е –U. Про­изведя такую замену, мы придем к уравнению (12).

Приведенные нами рассуждения не могут рассматри­ваться как вывод уравнения Шрёдингера. Их цель — пояснить, каким образом можно было прийти к установ­лению вида волнового уравнения для микрочастицы. До­казательством же правильности уравнения Шрёдингера может служить лишь согласие с опытом тех результатов, которые получаются с помощью этого уравнения.

4.        Основные свойства уравнения Шрёдингера

Условия, которым должны удовлетворять решения уравнения Шрёдингера, имеют весьма общий характер. Прежде всего волно­вая функция должна быть однозначной и непрерывной во всем пространстве. Требование непрерывности сохраняется и в тех случаях, когда само поле

U (х, у, z) имеет поверхности разрыва. На такой поверхности должны оставаться непрерывными как волновая функция, так и ее производные. Непрерывность послед­них, однако, не имеет места, если за некоторой поверхностью потенциальная энергия U обращается в бесконечность. В область пространства, где U = ∞, частица вообще не может проникнуть, т. е. в этой области должно быть везде ψ = 0. Непрерывность ψ требует, чтобы на границе этой области ψ обращалось в нуль; производные же от ψ в этом случае испытывают, вообще говоря, скачок.

Вид волнового уравнения физической системы определяется ее гамильтонианом, приобретающим в силу этого фундаменталь­ное значение во всем математическом аппарате квантовой меха­ники.

Вид гамильтониана свободной частицы устанавливается уже общими требованиями, связанными с однородностью и изотро­пией пространства и принципом относительности Галилея. В клас­сической механике эти требования приводят к квадратичной за­висимости энергии частицы от ее импульса: Е = р2/2т, где по­стоянная т называется массой частицы. В квантовой механике те же требования приводят к такому же соотношению для собственных значений энергии и импульса – одновременно измеримых сохраняющихся (для свободной   частицы) величин.

Но для того чтобы соотношение Е = р2/2т имело место для всех собственных значений энергии и импульса, оно должно быть справедливым и для их операторов:

                                                                              (17)

Подставив сюда оператор импульса , получим гамильтониан свободно движущейся

частицы в виде:

где Δ= д2/дх2 + д2/ду2 + д2/дz2 — оператор Лапласа.

В классической (нерелятивистской) механике взаимодействие с внешним полем описывается аддитивным членом в функции Гамильтона – потенциальной энергией взаимодействия U. являю­щейся функцией координат. Прибавлением такой же функции к гамильтониану системы описывается и взаимодействие в квантовой механике – гамильтониан для частицы, находящейся во внешнем поле:

                                                   (18)

где U(x,y,z) – потенциальная энергия частицы во внешнем поле.

Если поле U (х, у, г) нигде не обращается в бесконечность, то волновая функция тоже должна быть конечной во всем прост­ранстве. Это же условие должно соблюдаться и в тех случаях, когда U обращается в некоторой точке в бесконечность, но не слишком быстро - как l/rs с s < 2.

Пусть Umin есть минимальное значение функции U(х, у, г). Поскольку   гамильтониан   частицы  есть  сумма   двух   членов – операторов кинетической  и потенциальной U энергий, то среднее значение энергии в произвольном состоянии равно сумме Ē =  + Ū. Но все собственные значения оператора  (совпадаю­щего с гамильтонианом свободной частицы) положительны; по­этому и среднее значение > 0. Имея также в виду очевидное не­равенство Ū > Umin, найдем, что и Ē > Umln . Поскольку это неравенство имеет место для любого состояния, то ясно, что оно справедливо и для всех собственных значений энергии:

                                                               En>Umin.                             (19)

Рассмотрим частицу, движущуюся  в силовом поле, исчезаю­щем на бесконечности; функцию U(х, у, z), как обычно принято, определим так, чтобы на бесконечности она обращалась в нуль. Легко видеть, что спектр отрицательных собственных значений энергии будет тогда дискретным, т. е. все состояния с Е < 0 в исчезающем на бесконечности поле являются связанными. Дей-ствительно, в стационарных состояниях непрерывного спектра, соответствующих инфинитному движению, частица находится на бесконечности. Но на достаточно больших расстояниях наличием поля можно пренебречь, и движение частицы может рас­сматриваться как свободное; при свободном, же движении энер­гия может быть только положительной.

Напротив, положительные собственные значения образуют непрерывный спектр и соответствуют инфинитному движению; при Е > 0 уравнение Шрёдингера, вообще говоря, не имеет (в  рассматриваемом  поле)  решений, для   которых бы интеграл  сходился.

Обратим внимание на то, что в квантовой механике при фи­нитном движении частица может находиться и в тех областях пространства, в которых Е < V; вероятность |ψ|2 нахождения частицы хотя и стремится быстро к нулю в глубь такой области, но на всех конечных расстояниях все же отлична от нуля. В этом отношении имеется принципиальное отличие от классической ме­ханики, в которой частица вообще не может проникнуть в область, где U > Е. В классической механике невозможность проникно­вения в эту область связана с тем, что при Е < U кинетическая энергия была бы отрицательной, т. е. скорость – мнимой. В кван­товой механике собственные значения кинетической энергии тоже положительны; тем не менее, мы не приходим здесь к противо­речию, так как если процессом измерения частица локализуется в некоторой определенной точке пространства, то в результате этого же процесса состояние частицы нарушается таким образом, что она вообще перестает обладать какой-либо определенной ки­нетической энергией.

Если во всем пространстве U (х, у, z) > 0 (причем на бесконеч­ности U → 0), то в силу неравенства (19) имеем Еп > 0. По­скольку, с другой стороны, при Е > 0 спектр должен быть непре­рывным, то мы заключаем, что в рассматриваемом случае дискрет­ный спектр вообще отсутствует, т. е. возможно только инфинитное движение частицы.

Предположим, что U в некоторой точке (которую выберем в качестве начала координат)

обращается в – ∞ по закону

                                          U≈ –α/rs    (a > 0).                                             (20)

Рассмотрим волновую функцию, конечную в некоторой малой области (радиуса r0) вокруг начала координат и равную нулю вне ее. Неопределенность в значениях координат частицы в таком волновом пакете порядка r0 ; поэтому неопределенность в значении импульса ~ħ/r0. Среднее значение кинетической энергии в этом состоянии порядка величины ħ2/ , а среднее значение потен­циальной энергии ~ – α /. Предположим сначала, что s > 2.

Тогда сумма

при достаточно малых r0 принимает сколь угодно большие по абсо­лютной величине отрицательные значения. Но если средняя энер­гия может принимать такие значения, то это во всяком случае означает, что существуют отрицательные собственные значения энергии, сколь угодно большие по абсолютной величине. Уровням энергии с большим |Е|  соответствует движение частицы в очень малой области пространства вокруг начала координат. «Нормаль­ное» состояние будет соответствовать частице, находящейся в са­мом начале координат, т. е. произой-дет «падение» частицы в точку r = 0.

Если же s < 2, то энергия не может принимать сколь угодно больших по абсолютной величине отрицательных значений. Ди­скретный спектр начинается с некоторого конечного отрицательного значения. Падения частицы на центр в этом случае не про­исходит. Обратим внимание на то, что в классической механике падение частицы на центр в принципе возможно во всяком поле притяжения (т. е. при любом положительном s). Далее, исследуем характер энергетического спектра в зависи­мости от поведения поля на больших расстояниях. Предположим, что при r→ ∞ потенциальная энергия, будучи отрицательной, стремится к нулю по степенному закону (20) (в этой формуле теперь r велико). Рассмотрим волновой пакет, «заполняющий» шаровой слой большого радиуса r0 и толщины Δr << r0. Тогда снова порядок величины кинетической энергии будет ħ2/т (Δr)2, а потенциальной: – α/. Будем увеличивать r0 , увеличивая одно­временно и Δr (так, чтобы Δr росло пропорционально r0 ). Если s < 2, то при достаточно больших r0 сумма

ħ2/т (Δr)2 – a/ станет отрицательной. Отсюда следует, что существуют стационар­ные состояния с отрицательной энергией, в которых частица может с заметной вероятностью находиться на больших расстояниях от начала координат. Но это означает, что существуют сколь угодно малые по абсолютной величине отрицательные уровни энергии (надо помнить, что в области пространства, где U > Е, волновые функции быстро затухают). Таким образом, в рассма­триваемом случае дискретный спектр содержит бесконечное мно­жество уровней, которые сгущаются по направлению к уровню Е = 0.

Если же на бесконечности поле спадает, как – 1/rs с s > 2, то сколь угодно малых по абсолютной величине отрицательных уровней нет. Дискретный спектр кончается уровнем с отличным от нуля абсолютным значением, так что общее число уровней конечно.

Уравнение Шрёдингера для волновых функций ψ стационар­ных состояний, как и накладываемые на его решения условия, – вещественно. Поэтому его решения всегда могут быть выбраны вещественными (хотя это не справедливо для систем, находящихся в магнитном поле). Что касается собственных функций невырож­денных значений энергии, то они автоматически оказываются вещественными с точностью до несущественного фазового множи­теля. В самом деле, ψ* удовлетворяет тому же уравнению, что и ψ, и потому тоже есть собственная функция для того же значения энергии; поэтому если это значение не вырождено, то ψ и ψ* должны быть по существу одинаковыми, т. е. могут отличаться лишь постоянным множителем (с модулем, равным единице). Волновые же функции, соответствующие одному и тому же вырож­денному уровню энергии, не обязательно вещественны, но путем соответствующего выбора их линейных комбинаций всегда можно получить набор вещественных  функций.

Полные же (зависящие от времени) волновые функции Ψ опре­деляются уравнением, в коэффициенты которого входит i. Это уравнение, однако, сохраняет свой вид, если в нем заменить i на – i и одновременно перейти к комплексно сопряженному. Поэтому можно всегда выбрать функции Ψ такими, чтобы Ψ  и Ψ* отличались только знаком у  времени.

Как известно, уравнения классической механики не меняются при обращении времени, т. е. при изменении его знака. В кван­товой механике симметрия по отношению к обоим направлениям времени выражается, как мы видим, в неизменности волнового уравнения при изменении знака i и одновременной замене Ψ на Ψ*. Надо, однако, помнить, что эта симметрия относится здесь только к уравнениям, но не к самому понятию измерения, играю­щему фундаментальную роль в квантовой механике.

5. О квантово-механическом представлении движения микрочастиц

Квантовая механика не позволяет определить местонахождение частицы в пространстве или траекторию, по которой движется частица. С помощью волновой функции можно лишь предсказать, с какой веро­ятностью частица может быть обнару­жена в различных точках пространства. На первый взгляд может показаться, что квантовая меха­ника дает значительно менее точное и исчерпывающее описание движе­ния частицы, чем классическая механика, которая опре­деляет «точно» местоположение и скорость частицы в каждый момент времени. Однако в действительности это не так. Квантовая механика гораздо глубже вскрывает истинное поведение микрочастиц. Она лишь не опреде­ляет того, чего нет на самом деле. В применении к ми­крочастицам понятия определенного местоположения и траектории вообще теряют смысл. Движение по опреде­ленной траектории несовместимо с волновыми свойства­ми, что становится совершенно очевидным, если про­анализировать существо опытов по дифракции.

Рассмотрим дифракцию от двух близко расположен­ных отверстий (рис. 1). Вследствие интерференции волн, распространяющихся от отверстий, дифракцион­ная картина не будет тождественна наложению дифрак­ционных картин, получающихся от каждого из отверстий в отдельности (картина, получающаяся в случае рис. 1, а, не совпадает с наложением картин, получаю­щихся в случаях б и в). Следовательно, вероятность по­падания электрона (или какой-либо другой микрочасти­цы) в различные точки экрана при прохождении пучка через оба отверстия также не будет равна сумме вероят­ностей для случаев прохождения пучка через каждое из отверстий в отдельности. Отсюда неизбежно следует вы­вод, что на характер движения каждого электрона ока­зывают влияние оба отверстия. Такой вывод не совме­стим с представлением о траекториях. Если бы электрон в каждый момент времени находился в определенной точке пространства и двигался по траектории, он прохо­дил бы через определенное отверстие - первое или вто­рое. Явление же дифракции доказывает, что в прохожде­нии каждого электрона участвуют оба отверстия – и пер­вое, и второе.

Не следует, однако, представлять дело так, что какая-то часть электрона проходит через одно отверстие, а другая часть – через второе. Электрон, как и другие микрочастицы, всегда обнаруживается как целое, с при­сущей ему массой, зарядом и другими характерными для него величинами. Таким образом, электрон, протон, атом­ное ядро представляют собой частицы с весьма своеоб­разными свойствами. Обычный шарик, даже и очень ма­лых размеров (макроскопическая частица), не может служить прообразом микрочастицы. С уменьшением раз­меров начинают проявляться качественно новые свой­ства, не обнаруживающиеся у макротел.

В ряде случаев утверждение об отсутствии траекто­рий у микрочастиц, казалось бы, противоречит опытным фактам. Так, например, в камере Вильсона путь, по кото­рому движется микрочастица, обнаруживается в виде узких следов (треков), образованных капельками тума­на; движение электронов в электроннолучевой трубке превосходно рассчитывается по классическим законам, и т. п. Это кажущееся противоречие объясняется тем, что при известных условиях понятия траектории и опреде­ленного местоположения оказываются применимыми к микрочастицам, но только с некоторой степенью точ­ности.

Положение оказывается опять-таки точно таким, как и в оптике. Если размеры преград или отверстий велики по сравнению с длиной волны, распространение света происходит как бы вдоль определенных лучей (траекто­рий). При определенных условиях понятия положения в пространстве и траектории оказываются приближенно применимыми к движению микрочастиц, подобно тому, как оказывается справедливым закон прямолинейного распространения света.

6.       Заключение

Данный реферат не ставит перед собой цели полного описания уравнения Шрёдингера.

Значение уравнения Шрёдингера далеко не исчерпы­вается тем, что с его помощью можно найти вероятность нахождения частицы в различных точках пространства. Из этого уравнения и из условий, налагаемых на волно­вую функцию, непосредственно вытекают правила кван­тования энергии.

Условия состоят в том, что волновая функция ψ в соответствии с ее физическим смыслом дол­жна быть однозначной, конечной и непрерывной во всей области изменения переменных х, у и z. В уравнение Шрёдингера входит в качестве параметра полная энер­гия частицы Е. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что уравнения такого вида, как уравне­ние Шрёдингера, имеют решения, удовлетворяющие сформулированным выше условиям (т. е. однозначные, конечные и непрерывные), не при любых значениях па­раметра Е, а лишь при некоторых избранных значениях. Эти избранные значения называются собственными значениями параметра, а соответствующие им решения уравнения – собственными функциями задачи. Эти решения определяют принцип квантования энергии.

В общем можно заключить, что уравнение Шрёдингера (9) справедливо для любой частицы со спином равным 0, двигающейся со скоростью, малой по сравнению со скоростью света в вакууме (v<<с). Оно дополняется условиями, накладываемыми на волновую функцию:

1)      волновая функция должна быть конечной, однозначной и непрерывной;

2)      производные  должны быть непрерывны;

3)      функция |Ψ|2 должна быть интегрируема, в простейших случаях это условие сводится к условию нормировки вероятностей (2).

7.  Литература

1)  Д. В. Сивухин Общий курс физики. Атомная и ядерная физика. Часть 1. – М.: «Наука»,

     1986 г.

2)      Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц. Теоретическая физика в десяти томах. Том III. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. –М.: «Наука», 1989 г.

3)       И. В. Савельев. Курс общей физики. Том III. Оптика, атомная физика, физика атомного ядра и элементарных частиц. – М.: «Наука», 1973 г.

4)      Т. И. Трофимова. Курс физики. –М.: «Академия», 2004 г.

5)      Лекции по физике проф. С. Б. Раевского (НГТУ)

6)      В. Г. Сербо и И. Б. Хриплович. Конспект лекций по квантовой механике. Учебное пособие. – Новосибирск, НГУ, 1999 г.

7)      Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс. Фейнмановские лекции по физике Том 8. Квантовая механика (1). –М.: «Мир», 1966 г.

8)      Г. П. Чуйко. Квантова Механiка. Конспективний навчальний курс квантовоï механiки.

–Херсон, ХДПУ, 2000 г.

9)      Лауреаты Нобелевской премии: Энциклопедия. Пер. с англ. - М.: «Прогресс», 1992.

è    Powered by FIST, NNSTU, 03-R-3 group, Alex V. Tertychnyi

è    © 03-R-3 Использование в коммерческих целях не рекомендуется

è    ФИСТ – лучший факультет!! НГТУ – Политех лучше всех!

Страницы: 1, 2