Вывод уравнения Шредингера

Вывод уравнения Шредингера

Содержание

1.      Введение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.      Функция Ψ. Нормировка вероятности. . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

3.      Получение уравнения Шрёдингера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4.      Основные свойства уравнения Шрёдингера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5.      О квантово-механическом представлении движения микрочастиц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

6.   Заключение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .  . . . . . . .14

7.   Литература. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1. Введение

Квантовая теория родилась в 1900 г., когда Макс Планк предложил теоретический вывод о соотношении между температурой тела и испускаемым этим телом излучением - вывод, который долгое время ускользал от других ученых, Как и его предшественники, Планк предположил, что излучение испускают атомные осцилляторы, но при этом считал, что энергия осцилляторов (и, следовательно, испускаемого ими излучения) существует в виде небольших дискретных порций, которые Эйнштейн назвал квантами. Энергия каждого кванта пропорциональна частоте излучения. Хотя выведенная Планком формула вызвала всеобщее восхищение, принятые им допущения оставались непонятными, так как противоречили классической физике.
В 1905 г. Эйнштейн воспользовался квантовой теорией для объяснения некоторых аспектов фотоэлектрического эффекта - испускания электронов поверхностью металла, на которую падает ультрафиолетовое излучение. Попутно Эйнштейн отметил кажущийся парадокс: свет, о котором на протяжении двух столетий было известно, что он распространяется как непрерывные волны, при определенных обстоятельствах может вести себя и как поток частиц.

Примерно через восемь лет Нильс Бор распространил квантовую теорию на атом и объяснил частоты волн, испускаемых атомами, возбужденными в пламени или в электрическом заряде. Эрнест Резерфорд показал, что масса атома почти целиком сосредоточена в центральном ядре, несущем положительный электрический заряд и окруженном на сравнительно больших расстояниях электронами, несущими отрицательный заряд, вследствие чего атом в целом электрически нейтрален. Бор предположил, что электроны могут находиться только на определенных дискретных орбитах, соответствующих различным энергетическим уровням, и что "перескок" электрона с одной орбиты на другую, с меньшей энергией, сопровождается испусканием фотона, энергия которого равна разности энергий двух орбит. Частота, по теории Планка, пропорциональна энергии фотона. Таким образом, модель атома Бора установила связь между различными линиями спектров, характерными для испускающего излучение вещества, и атомной структурой. Несмотря на первоначальный успех, модель атома Бора вскоре потребовала модификаций, чтобы избавиться от расхождений между теорией и экспериментом. Кроме того, квантовая теория на той стадии еще не давала систематической процедуры решения многих квантовых задач.

Новая существенная особенность квантовой теории проявилась в 1924 г., когда де Бройль выдвинул радикальную гипотезу о волновом характере материи: если электромагнитные волны, например свет, иногда ведут себя как частицы (что показал Эйнштейн), то частицы, например электрон при определенных обстоятельствах, могут вести себя как волны. В формулировке де Бройля частота, соответствующая частице, связана с ее энергией, как в случае фотона (частицы света), но предложенное де Бройлем математическое выражение было эквивалентным соотношением между длиной волны, массой частицы и ее скоростью (импульсом). Существование электронных волн было экспериментально доказано в 1927 г. Клинтоном Дэвиссоном и Лестером Джермером в Соединенных Штатах и Джоном-Паджетом Томсоном в Англии.

Под впечатлением от комментариев Эйнштейна по поводу идей де Бройля Шрёдингер предпринял попытку применить волновое описание электронов к построению последовательной квантовой теории, не связанной с неадекватной моделью атома Бора. В известном смысле он намеревался сблизить квантовую теорию с классической физикой, которая накопила немало примеров математического описания волн. Первая попытка, предпринятая Шрёдингер в 1925 г., закончилась неудачей.

Скорости электронов в теории II Шрёдингер были близки к скорости света, что требовало включения в нее специальной теории относительности Эйнштейна и учета предсказываемого ею значительного увеличения массы электрона при очень больших скоростях.

Одной из причин постигшей Шрёдингер неудачи было то, что он не учел наличия специфического свойства электрона, известного ныне под названием спина (вращение электрона вокруг собственной оси наподобие волчка), о котором в то время было мало известно.

Следующую попытку Шрёдингер предпринял в 1926 г. Скорости электронов на этот раз были выбраны им настолько малыми, что необходимость в привлечении теории относительности отпадала сама собой.

Вторая попытка увенчалась выводом волнового уравнения Шрёдингера, дающего математическое описание материи в терминах волновой функции. Шрёдингер назвал свою теорию волновой механикой. Решения волнового уравнения находились в согласии с экспериментальными наблюдениями и оказали глубокое влияние на последующее развитие квантовой теории.

Незадолго до того Вернер Гейзенберг, Макс Борн и Паскуаль Иордан опубликовали другой вариант квантовой теории, получивший название матричной механики, которая описывала квантовые явления с помощью таблиц наблюдаемых величин. Эти таблицы представляют собой определенным образом упорядоченные математические множества, называемые матрицами, над которыми по известным правилам можно производить различные математические операции. Матричная механика также позволяла достичь согласия с наблюдаемыми экспериментальными данными, но в отличие от волновой механики не содержала никаких конкретных ссылок на пространственные координаты или время. Гейзенберг особенно настаивал на отказе от каких-либо простых наглядных представлений или моделей в пользу только таких свойств, которые могли быть определены из эксперимента.

Шрёдингер показал, что волновая механика и матричная механика математически эквивалентны. Известные ныне под общим названием квантовой механики, эти две теории дали долгожданную общую основу описания квантовых явлений. Многие физики отдавали предпочтение волновой механике, поскольку ее математический аппарат был им более знаком, а ее понятия казались более "физическими"; операции же над матрицами - более громоздкими.

2.       Функция Ψ. Нормировка вероятности.

Обнаружение волновых свойств микрочастиц свидетельствовало о том, что классическая механика не может дать правильного описания поведения подобных частиц. Возникла необходимость создать механику микрочастиц, которая учитывала бы также и их волновые свой­ства. Новая механика, созданная Шрёдингером, Гайзен­бергом, Дираком и другими, получила название волно­вой или квантовой  механики.

Плоская волна де Бройля

                                             (1)

является весьма специальным волновым образованием, соот­ветствующим свободному равномерному движению частицы в определенном направлении и с определенным импульсом. Но частица, даже в свободном пространстве и в особенности в си­ловых полях, может совершать и другие движения, описываемые более сложными волновыми функциями. В этих случаях полное описание состояния частицы в квантовой меха­нике дается не плоской волной де Бройля, а какой-то более сложной комплексной функцией , зависящей от коорди­нат и времени. Она называется волновой функцией. В частном случае свободного движения частицы волновая функция пере­ходит в плоскую волну де Бройля (1). Сама по себе волно­вая функция вводится как некоторый вспомогательный символ и не относится к числу непосредственно наблюдаемых величин. Но ее знание позволяет статистически предсказывать значения величин, которые получаются экспериментально и потому имеют реальный физический смысл.

Через волновую функцию определяется относительная ве­роятность обнаружения частицы в различных местах простран­ства. На этой стадии, когда говорится только об отношениях вероятностей, волновая функция принципиально определена с точностью до произвольного постоянного множителя. Если во всех точках пространства волновую функцию умножить на одно и то же постоянное (вообще говоря, комплексное) число, отличное от нуля, то получится новая волновая функция, описываю­щая в точности то же состояние. Не имеет смысла говорить, что Ψ равна нулю во всех точках пространства, ибо такая «вол­новая функция» никогда не позволяет заключить об относи­тельной вероятности обнаружения частицы в различных местах пространства. Но неопределенность в определении Ψ можно значительно сузить, если от относительной вероятности перейти к абсолютной. Распорядимся неопределенным множителем в функции Ψ так, чтобы величина |Ψ|2dV давала абсолютную вероятность обнаружения частицы в элементе объема простран­ства dV. Тогда |Ψ|2 = Ψ*Ψ (Ψ* - комплексно сопряжённая с Ψ функция) будет иметь смысл плотности ве­роятности, которую следует ожидать при попытке обнаружения частицы в пространстве. При этом Ψ будет определена все еще с точностью до произвольного постоянного комплексного мно­жителя, модуль которого, однако, равен единице. При таком определении  должно быть выполнено условие нормировки:

                                                                                              (2)

где интеграл берется по всему бесконечному пространству. Оно означает, что во всем пространстве частица будет обнаружена с достоверностью. Если интеграл от |Ψ|2 берётся по определённому объёму V1 – мы вычисляем вероятность нахождения частицы в пространстве объёма V1.

Нормировка (2) может оказаться невозможной, если ин­теграл (2) расходится. Так будет, например, в случае пло­ской волны де Бройля, когда вероятность обнаружения частицы одинакова во всех точках пространства. Но такие случаи сле­дует рассматривать как идеализации реальной ситуации, в ко­торой частица не уходит на бесконечность, а вынуждена нахо­диться в ограниченной области пространства. Тогда нормиров­ка не вызывает затруднений.

Итак, непосредственный физический смысл связывается не с самой функцией Ψ, а с ее модулем Ψ*Ψ. Почему же в квантовой теории оперируют с волновыми функциями Ψ, а не непосредственно с экспериментально наблюдаемыми величина­ми Ψ*Ψ? Это необходимо для истолкования волновых свойств вещества - интерференции и дифракции. Здесь дело обстоит совершенно так же, как во всякой волновой теории. Она (во всяком случае в линейном приближении) принимает справед­ливость принципа суперпозиции самих волновых полей, а не их интенсивностей и, таким образом, достигает включения в тео­рию явлений интерференции и дифракции волн. Так и в кван­товой механике принимается в качестве одного из основных по­стулатов принцип суперпозиции волновых функций, заключающийся в следующем.

Если – волновые функ­ции, описывающие какие-то два состояния частицы, то всякая их линейная комбинация с постоянными коэффициентами с1Ψ1 + с2Ψ2    представляет также волновую функцию той же ча­стицы, описывающую какое-то ее состояние. Найдя Ψ указан­ным путем, можно в дальнейшем определить и плотность ве­роятности Ψ*Ψ в состоянии Ψ.

Оправданием такого принципа суперпозиции является согла­сие с опытом вытекающих из него следствий. Является ли прин­цип суперпозиции точным законом природы, или он верен толь­ко в линейном приближении, этот вопрос не может считаться выясненным.

Подчеркнем особо, что физический смысл волновой функции Ψ связан не только с ее модулем, но и с ее фазой, определяемой мнимой частью этой функции. Если бы речь шла о волновой функции только одного состояния, то можно было бы ограничиться од­ним только модулем. Но если речь идет о наложении состояний, то происходит их интерференция, а она определяется относи­тельной разностью фаз волновых функций, описывающих эти состояния.

Частота волны де Бройля ω и вообще частота волновой функции относятся к принципиально ненаблюдаемым величи­нам. Этим можно воспользоваться, чтобы перейти к квантовой механике в нерелятивистской форме. И в классической меха­нике обширная область явлений охватывается в нерелятивист­ском приближении. То же может быть сделано и в квантовой механике. К тому же здесь переход к релятивистскому рас­смотрению осложняется следующим обстоятельством. В сильных полях, когда энергия поля (например, γ-кванта) превосходит 2mес2, начинается рождение пар электрон-позитрон. То же наблюдается в аналогичных случаях и для других частиц. По этой причине последовательная релятивистская квантовая меха­ника не может быть теорией одного тела (одной частицы). Теория одного тела возможна только в нерелятивистском прибли­жении. Поэтому в дальнейшем мы ограничимся только нереля­тивистской квантовой механикой.

В нерелятивистской квантовой механике мы будем по-преж­нему пользоваться соотношениями:                      

                   E=ħω,                                                               (3)

(Здесь и далее: Е – энергия объекта (кинетическая), -импульс, - волновой вектор,  ħ – постоянная Планка, делённая на 2π, ħ = 1,05459∙10-34 Дж∙с, ω – частота (волн де Бройля)).

Однако собственную энергию частицы m0c2 учитывать не будем. Это значит, что, начиная с этого места, мы вводим новую ча­стоту, отличающуюся от прежней частоты на постоянную. Для новой частоты сохраним прежнее обозначение ω. В частности, в случае свободного движения

E = р2/2m, и закон дисперсии записывается в виде

 ω=(ħ/2m)∙k2                                   (4)

Это приводит к выражению для фазовой скорости волн де Бройля:

                                    υф = ω/k = ħk/2m = υ/2             (5)           (здесь k=2π/λ, - волновое число)           

Однако это не может отразиться на физических выводах тео­рии, так как фазовая скорость, как и сама частота ω волны де Бройля, относится к числу принципиально ненаблюдаемых величин. Существенно, что физически наблюдаемые величины - плотность вероятности Ψ*Ψ и групповая скорость (групповая скорость волн де Бройля равна скорости частицы) - при новом выборе частоты остаются неизменными. Остаются неизменными и все величины, доступные измерению на опыте.

3.  Получение уравнения Шрёдингера

Основная задача вол­новой механики состоит в нахождении волновых функ­ций и связанных с ними физических следствий в самых разно­образных условиях. Для ее решения служит волновое уравнение, найденное Шрёдингером в 1926 г. Это - основное уравнение квантовой механики, но оно справедливо только в нереляти­вистской квантовой механике, т. е. в случае движений, медлен­ных по сравнению со скоростью света в вакууме.

Уравнение Шрёдингера должно быть общим уравнением, т. е. должно быть пригодно для решения всех, а не только частных задач. Поэтому в него не должны входить значения параметров (например, начальные условия, конкретный вид си­ловых полей и пр.), выделяющие частные виды движения. В него могут входить мировые постоянные, например постоян­ная Планка. Могут входить массы и импульсы частиц, но их численные значения не должны быть конкретизированы. Сило­вые поля, в которых движется частица, также должны быть представлены в общем виде. Здесь дело обстоит так же, как с уравнениями Ньютона или Максвелла, которые приспособ­лены для решения всех, а не только частных механических или электродинамических задач. Кроме того, надо потребовать, что­бы уравнение Шрёдингера было линейно и однородно по Ψ. Этим будет обеспечена справедливость принципа суперпозиции волновых функций, необходимость которого диктуется интерфе­ренцией и дифракцией волн вещества.

При отыскании уравнения Шрёдингера заметим, что од­ним из решений его в свободном пространстве должна быть плоская волна де Бройля (1). Найдем дифференциальное уравнение,   удовлетворяющее перечисленным  выше условиям, решением которого является  эта  волна.  

Дифференцирование  (1) по x, y, z даст:

Сложением полученных вторых производных найдем:

Учитывая соотношения (3) найдём, что k2=p2/ħ2, таким образом, имеем:

                                                                                     (6)

Это дифференциальное уравнение, но не то, которое мы ищем. Действительно, при выводе величина  p предполагалась постоянной, а потому уравнение (6) описывает конкретное движение с заданным постоянным импульсом.

Продифференцируем теперь (1) по времени при постоянной ω:

Учитывая (3), находим что , таким образом можно записать:

                                                                                                               (7)

Это уравнение также не годится. Оно описывает движение частицы в свободном пространстве с постоянной кинетической энергией E. Однако, выразим из (7) энергию, а из (6) – квадрат импульса p2:

                                                (7*)

Учтём, что в нерелятивистской механике, в отсутствии потенциальных сил,  E= p2/2m. Подставив в эту формулу полученные выражения для энергии и импульса, придём к однородному линейному уравнению

                                                                                              (8)

Это уравнение уже не содержит никаких индивидуальных параметров, выделяющих конкретное движение. Это уравнение и есть уравнение Шрёдингера в отсутствии силовых полей.

Обобщим теперь полученное уравнение (8) на случай движений в си­ловых полях. Ограничимся случаем потенциальных силовых полей, которые, как и в классической механике, характеризуют­ся потенциальной функцией или потенциальной энергией U(). Заметим теперь, что ħ/дt имеет размерность энергии,  Значит,  одинаковую  размерность  имеют

и величины и U()Ψ. Поэтому прибавление в правой ча­сти уравнения (8) слагаемого U()Ψ не меняет размерности этого уравнения. Можно думать, что полученное таким путем уравнение

                                           (9)

будет правильно учитывать влияние потенциального силового поля на движение частицы. Это и есть уравнение Шрёдингера. Это так называемое уравнение Шрёдингера, зависящее от времени. Его также называют общим уравнением Шрёдингера.

Путь, которым мы пришли к уравнению Шрёдингера, ко­нечно, не может служить доказательством этого уравнения. Но уравнение Шрёдингера – существенно новый принцип. Его нельзя логически вывести из старых принципов, в которых он не содержится. Единственным доказательством уравнения Шрёдингера является только опыт – опытная проверка всех выво­димых из него следствий. Такую проверку уравнение Шрёдингера выдержало.

В уравнении  (9) в неявной форме уже заложена двой­ственная – корпускулярно-волновая –природа    вещества.    Со­гласно интерпретации волновой функции Ψ частица не локали­зована.   Она,   как принято говорить, с определенной вероят­ностью «размазана» в пространстве. Казалось бы, что при на­писании уравнения   (9)  это обстоятельство с самого начала должно быть принято во внимание, т. е. под U следовало бы понимать потенциальную энергию частицы с учетом всех воз­можных  положений  ее  и  их  вероятностей.  На  самом  деле  в уравнении  (9)  это не предполагается. Потенциальная функция U()  рассматривается в нем так же,  как в классической физике, т. е. как функция локализованной, в частности точеч­ной, частицы в силовом поле. Например, в атоме водорода для электрона в поле ядра полагают U(r) = -е2/r, т. е. поступают так же, как если бы обе эти частицы были локализованы.

Уравнение Шрёдингера – первого  порядка по времени. Отсюда следует, что заданием  волновой функции Ψ  во всем пространстве в какой-либо момент времени (например, принимаемый за начальный) однозначно определяется   функция Ψ также во всем пространстве во все последующие моменты времени. Не следует смотреть на это утверждение как на выражение принципа  причинности в квантовой механике.  Ибо вы­ражаемая им «причинность» относится к волновой функции Ψ. А волновая функция связана с реально наблюдаемыми объектами  вероятностными  соотношениями.  Поэтому квантовая механика, по крайней мере в  современной ее форме, является принципиально статистической теорией.

Страницы: 1, 2