Создание анимационно-обучающей программы по физике

Это приводит к тому, что при возрастании «амплитуды» колебаний атомов вследствие нагревания кристалла рост сил отталкивания между атомами преобладает над ростом сил притяжения. Другими словами, атому «легче» удалиться от соседа, чем приблизиться к другому. Это, конечно, должно привести к увеличению среднего расстояния между атомами, т. е. к увеличению объема тела при его нагревании.

Отсюда следует, что причиной теплового расширения твердых тел является ан гармоничность колебаний атомов в кристаллической решетке.

Количественно тепловое расширение характеризуется коэффициентами линейного и объемного расширения, которые определяются следующим образом. Пусть тело длиной I при изменении температуры на DТ градусов изменяет свою длину на Dt. Коэффициент линейного расширения определяется из соотношения

т. е. коэффициент линейного расширения равен относительному изменению длины при изменении температуры на один градус. Точно так же коэффициент объемного расширения Ә5 определяется формулой

т. е. коэффициент р равен относительному изменению объема DV/V, отнесенному к одному градусу.

Из этих формул следует, что длина lТ и объем VT при некоторой температуре, отличающейся от начальной на DТ градусов, выражаются формулами (при малом DT):

 и

где /о и V0 — начальные длина и объем тела.

Вследствие анизотропии кристаллов коэффициент линейного расширения а может быть различным в разных направлениях. Это означает, что если из данного кристалла выточить шар, то после его нагревания он потеряет свою сферическую форму. Можно показать, что в самом общем случае такой шар при нагревании превращается в трехосный эллипсоид, оси которого связаны с кристаллографическими осями кристалла.

Коэффициенты теплового расширения по трем осям этого эллипсоида называются главными коэффициентами расширения кристалла.

Если их обозначить соответственно через a1, a2 и a3, то коэффициент объемного расширения кристалла

b = a1 + a2 + a3.

Для кристаллов с кубической симметрией, так же как и для изотропных тел,

a1 = a2 = a3 = a и b = 3a.

Шар, выточенный из таких тел, остается шаром и после нагревания (разумеется, большего диаметра).

В некоторых кристаллах (например, гексагональных)

a1 = a2 и b = a1 + a3.

Коэффициенты линейного и объемного расширения практически остаются постоянными, если интервалы температур, в которых они измеряются, малы, а сами температуры высокие. Вообще же коэффициенты теплового расширения зависят от температуры и притом так же, как теплоемкость, т. е. при низких температурах коэффициенты a и b уменьшаются с понижением температуры пропорционально кубу температуры, стремясь, как и теплоемкость, к нулю при абсолютном нуле. Это неудивительно, так как и теплоемкость, и тепловое расширение связаны с колебаниями решетки: теплоемкость дает количество теплоты, необходимое для увеличения средней энергии тепловых колебаний атомов, зависящей от амплитуды колебаний, коэффициент же теплового расширения непосредственно связан со средними расстояниями между атомами, которые тоже зависят от амплитуды атомных колебаний.

Отсюда следует важный закон, открытый Грюнейзеном: отношение коэффициента теплового расширения к 'атомной теплоемкости твердого тела для данного вещества есть величина постоянная (т. е. не зависящая от температуры).

Коэффициенты 'теплового расширения твердых тел обычно очень малы, как это видно из табл. 3.1. Приведенные в этой таблице значения коэффициента а относятся к интервалу температур между О и 100°С.

Таблица 3.1. Коэффициенты теплового расширения твердых тел

Некоторые вещества имеют особенно малый коэффициент теплового расширения. Таким свойством отличается, например, кварц (а = 0,5-Ю"6). Другим примером может служить сплав никеля и железа (36% Ni), известный под названием инвар (а = 1 -Ю"0). Эти вещества получили широкое применение в точном приборостроении.

Теплопроводность

Если в твердом теле существует разность температур между различными его частями, то подобно тому, как это происходит в газах и жидкостях, тепло переносится от более нагретой к менее нагретой части.

В отличие от жидкостей и газов, в твердом теле не может возникнуть конвекция, т. е. перемещения массы вещества вместе с теплом. Поэтому перенос тепла в твердом теле осуществляется только теплопроводностью.

Механизм переноса тепла в твердом теле вытекает из характера тепловых движений в нем. Твердое тело представляет собой совокупность атомов, совершающих колебания. Но колебания эти не независимы друг от друга. Колебания могут передаваться (со скоростью звука) от одних атомов к другим. При этом образуется волна, которая и переносит энергию колебаний. Таким распространением колебаний и осуществляется перенос тепла.

 Количественно перенос тепла в твердом теле описывается так же, как и в газе. Если через единицу площади сечения перпендикулярно к его плоскости в единицу времени переносится количество тепла q, то оно связано с разностью температур, вызывающей перенос, соотношением [см. (4.3)]:

                                                                                    (4.1)

где dTldx — градиент температуры в направлении X. Величина q называется потоком тепла. Величина коэффициента теплопроводности к не может быть вычислена так, как это делается для газа — системы более простой, состоящей из невзаимодействующих частиц.

Приближенно коэффициент теплопроводности твердого тела можно вычислить с помощью квантовых представлений.

Фононы. Квантовая теория позволяет сопоставить распространяющимся в твердом теле со скоростью звука колебаниям некоторые фиктивные частицы —фононы. Каждая частица характеризуется энергией, равной известной уже нам постоянной Планка, умноженной на ту величину, которая в классической физике называется частотой колебания v. Энергия фонона равна, значит, hv.

Если пользоваться представлением о фононах, то можно сказать, что тепловые движения в твердом теле обусловлены именно ими, так что при абсолютном нуле фононы отсутствуют, а с повышением температуры их число возрастает, но не линейно, а по более сложному закону (при низких температурах пропорционально кубу температуры).

Твердое тело мы можем теперь рассматривать как сосуд, содержащий газ из фонопов, газ, который при не очень высоких температурах может считаться идеальным газом. Как и в случае обычного газа, перенос тепла в фононном газе осуществляется столкновениями фононов с атомами решетки, и все рассуждения, которые были проведены при вычислении коэффициента теплопроводности идеальных газов, справедливы и здесь. Поэтому коэффициент теплопроводности твердого тела может быть выражен совершенно такой же формулой [см. (4.3)]:

c,

где р —плотность тела, су —его удельная теплоемкость, ас — скорость звука в нем.

Несколько сложнее вычислить длину свободного пробега фононов λ. Оценка показывает, что эта величина обратно пропорциональна, абсолютной температуре. Поэтому и коэффициент теплопроводности х обратно пропорционален температуре:

,

где а — некоторая константа, различная для, различных веществ.

В металлах, помимо колебаний решетки, в переносе тепла участвуют и заряженные частицы — электроны, которые вместе с тем являются и носителями электрического тока в металле, При высоких температурах электронная часть теплопроводности много больше решеточной. Этим объясняется высокая теплопроводность металлов по сравнению с неметаллами, в.которых фононы — единственные переносчики тепла.

Так, коэффициент теплопроводности алюминия равен 238 Вт/м*К, в то время как у кварца он не превышает 5. Напомним, что коэффициент теплопроводности газов при нормальных условиях ~ 10-3 Вт/м *К. При более низких (но не самых низких) температурах начинает преобладать решеточная теплопроводность, так как она растет с понижением температуры, а электронная от температуры не зависит. При самых низких температурах электронная часть теплопроводности вновь начинает преобладать.

Однако в сверхпроводниках, в которых электрический ток не встречает сопротивления, электронная теплопроводность практически отсутствует: электроны, без сопротивления переносящие электрический ток, в переносе тепла не участвуют, и теплопередача в сверхпроводниках — чисто решеточная.

Измерение теплопроводности. Из уравнения теплопроводности

видно, что для определения коэффициента теплопроводности нужно измерить количество тепла q, протекающего через единицу площади сечения тела в единицу времени, и градиент температуры вдоль тела.

При такого рода измерениях встречаются те же трудности, что и при измерении теплоемкости. Ведь и в том и в другом случае нужно измерять количество теплоты и изменение температуры. В обоих случаях подводимое количество теплоты может теряться и таким образом не участвовать в изучаемом процессе. Поэтому при измерении теплопроводности, так же как и теплоемкости, главное внимание нужно обращать на устранение погрешности, возникающей из-за того, что не все тепло передается через исследуемое тело путем теплопроводности, а частично может передаваться окружающей среде через боковые поверхности.

На рис. 4.1 представлена простейшая схема измерения теплопроводности твердого тела.

Исследуемое вещество в виде стержня А нагревается с одного конца каким-нибудь источником тепла (электрическим нагревателем, парами кипящей жидкости), а с другой стороны поддерживается при постоянной температуре {например, проточной водой).

Рис. 4.1.

Стержень на всей его длине окружается изолирующей оболочкой для уменьшения отдачи тепла через боковые поверхности.

Для этой же цели рекомендуется поверхность стержня полировать.

В двух точках стержня а и b специальных углублениях помещаются термометры или термопары.

Через некоторое время после включения нагревателя устанавливается стационарное состояние, при котором градиент температуры становится одинаковым по всей длине стержня. Поэтому он может быть определен как (Т1 — T2)/ l, где Т1 и Т2 —температуры в точках а и b, а / — расстояние между этими точками. Коэффициент теплопроводности определяется из равенства

Мощность нагревателя q легко определяется из измерений силы тока и - разности потенциалов.

Приведем еще один пример установки для измерения коэффициента теплопроводности, используемой для исследования веществ, плохо проводящих тепло. В этом случае исследуемому образцу удобно придать форму пластины или диска. Схема опыта представлена на рис.4.2.

Рис.4.2.

Пластина А исследуемого вещества помещается на массивной охлаждаемой пластине В. Над образцом располагается пластина-нагреватель Я, обогреваемая электрическим током.

Чтобы устранить влияние краев образца, он окружается кольцом из того же материала А'. Защитным кольцом Я' окружается и нагреватель. Наконец, над нагревателем помещается еще один нагреватель Я", температура которого поддерживается такой, чтобы верхняя и нижняя поверхности основного нагревателя H имели одинаковую температуру. Это значит, что тепло, идущее от Я вверх, компенсируется теплом от Я". При таком устройстве прибора можно считать, что тепло от нагревателя Я целиком передается через исследуемый образец, а сам образец не отдает тепла в сторону, так как он защищен кольцом, обогреваемым так же, как и сам образец.

С помощью термометров t1 и t2 измеряются температуры T1 и Т2 обеих поверхностей образца.

Из измерений мощности нагревателя q и разности температур коэффициент теплопроводности вычисляется по формуле

где d—толщина пластины Л, а 5—площадь ее поверхности.

Отдачу образцом тепла в сторону можно, также устранить, изготовляя образец в форме полого цилиндра или сферы и помещая нагреватель на оси цилиндра или в центре сферы.

Диффузия в твердых телах

Несмотря на то, что для твердого тела характерно упорядоченное расположение атомов в кристаллической решетке, перемещение атомов возможно и в нем. Тепловые движения, которые в основном имеют характер малых колебаний, в некоторых случаях приводят к тому, что атомы вовсе покидают свои места в решетке. О возможности таких срывов атомов свидетельствует уже тот факт, что твердые тела могут испаряться. Правда, при испарении отрыв атомов происходит в поверхностном слое, но нет оснований утверждать, что такой отрыв невозможен и внутри тела.

Именно благодаря тому, что атомы покидают свои места в узлах решетки, возникают некоторые дефекты в кристаллах —такие, как дефекты типа Шоттки и Френкеля. С этими срывами атомов и их последующим перемещением в кристалле связана и диффузия в твердых телах.

Так же, как в газах, частицы в твердых телах имеют различные энергии тепловых движений. И при любой температуре имеется определенная часть атомов, энергия которых значительно превосходит среднюю и достаточно велика для того, чтобы они могли покинуть свое место в решетке и перейти в новое положение. Чем выше температура, тем таких атомов больше, и поэтому коэффициент диффузии D с повышением температуры быстро возрастает (по экспоненциальному закону). Но так как число атомов с достаточно большой энергией всегда мало (если температура много ниже температуры плавления), то процесс диффузии в твердом теле оказывается еще более медленным процессом, чем в газах и жидкостях. Например, коэффициент диффузии меди в золото при300°С равен 1,5-10-13 см2/с. Для сравнения укажем, что при диффузии водного раствора метилового спирта в воду D = 1,3 –10-5 см2/с, а диффузия аргона в гелий идет с D = 0,7 см2/с. Тем не менее диффузия в твердых телах играет большую роль в целом ряде процессов. Она наблюдается как в однокомпонентном (в этом случае говорят о само диффузии), так и в многокомпонентных веществах, в моно- и в поликристаллах.

Опыт (в частности, исследования с помощью так называемых меченых атомов) показывает, что диффузия в твердых телах осуществляется главным образом следующими тремя способами:

1. Соседние атомы в решетке обмениваются местами в решетке. Обмен этот может, например, явиться следствием поворота участвующей в ней пары атомов вокруг средней точки.

2. Атом, находящийся на «своем» месте в узле решетки, покидает его и располагается в междоузлии, а затем мигрирует в междоузлиях.

3. Атомы из узлов решетки переходят в незанятые узлы, так называемые вакансии. Этот последний процесс возможен только в дефектных кристаллах, так как вакансии являются, конечно, дефектами кристалла. Очевидно, что переход атомов на вакантные места эквивалентен перемещению самих вакансий в правлении, обратном направлению движения атомов.

Наиболее важную роль играет, по-видимому, последний механизм диффузии. Для его осуществления в твердом теле должен существовать градиент плотности вакансий, так что атомы (а значит и вакансии) чаще перемещаются в одном направлении, чем в другом. В поликристаллах важную роль играет процесс заполнения вакансий на границах кристалликов (зерен). По-видимому, в процессе создания вакансий, без которых невозможна диффузия, важную роль играют дислокации.

При экспериментальном изучении диффузии в твердых телах исследуемые вещества приводятся в надежный контакт друг с другом и затем длительное время выдерживаются при той или иной температуре опыта. После такой выдержки снимаются последовательно тонкие слои, перпендикулярные к направлению диффузии, и исследуются концентрации про диффундировавших веществ в зависимости от расстояния до места контакта.

В последнее время широко используются искусственные радиоактивные вещества, присутствие которых легко обнаруживается по их излучению.

Этот метод (метод - меченых атомов) позволяет исследовать и явление самодиффузии, т. е. диффузии в твердом теле атомов самого этого тела.

Общий закон диффузии в твердых телах — такой же, как в газах и жидкостях. Это — закон Физика, о котором мы не раз упоминали.

Что касается коэффициента диффузии D, то выражение для него можно получить из соображений, сходных системы, которые были приведены на стр. 318 в связи с вопросом о диффузии в жидкостях. Ведь диффузия в твердом теле тоже осуществляется скачками атомов из их положений равновесия в узлах кристаллической решетки. Но теперь о дальности скачка можно, вполне определенно сказать, что она равна постоянной решетки а.

Необходимо, однако, иметь в виду, что при вакансионном механизме диффузии атом из узла решетки может совершить скачок только в том случае, если соседний узел пустует, если он представляет собой вакансию. Но даже и при таком соседстве атому необходима добавочная энергия q, чтобы скачок в вакансию состоялся. Ведь в узле решетки потенциальная энергия атома минимальна. Поэтому любое смещение атома из узла, включая и смещение в соседнюю вакансию, требует добавочную энергию, которую он с некоторой вероятностью может получить в результате флуктуации. Эта вероятность, как всегда, определяется законом Больцмана:

Здесь q — энергия, необходимая для скачка из узла решетки, энергия перемещения атома в вакансию.

По соображениям, приведенным на стр. 318, коэффициент само диффузии в твердом теле может быть записан в виде:

где а — постоянная решетки и t — среднее время пребывания атома в узле решетки. Это время, очевидно, тем меньше, чем больше вероятность образования вакансии рядом с атомом и чем больше вероятность того, что атом получит энергию перемещения д. На стр. 319 мы видели, что вероятность образования вакансии равна e-w/kT. Теперь мы видим, что вероятность того, что атом получит энергию q, равна eW/kT. Поэтому выражение для коэффициента диффузии может быть записано в виде:

Множитель do (так называемый пред экспоненциальный множитель) — постоянная, характерная для данного вещества. Величина W, равная сумме энергии образования вакансии w и энергии q перемещения атома в вакансию, называется энергией активации диффузии и тоже является величиной, характерной для вещества.

Коэффициент диффузии в твердых телах очень мал. Для золота, например, при комнатной температуре он порядка 10-35. Даже вблизи температуры плавления золота он достигает значения лишь в 10-8 см2/с. Это показывает, как сильно зависит коэффициент диффузии от температуры.

Малость коэффициента диффузии в твердых телах объясняется тем, что для того, чтобы диффузионный скачок атома в вакансию состоялся, необходимо, чтобы практически одновременно произошли два, вообще говоря, маловероятных события; чтобы рядом с атомом образовалась вакансия и чтобы сам атом получил в результате флуктуации энергию, достаточную для скачка.

При других механизмах диффузии, при диффузии одних веществ в другие, коэффициент диффузии вычисляется иначе. Об этом читатель узнает из специальных курсов. Но во всех случаях коэффициенты диффузии по абсолютному значению малы. Так, например, коэффициент диффузии серы в железо даже при температуре, близкой к 1000°С, равен приблизительно 2,7 -КН3 м2/с. Но несмотря на малость коэффициентов диффузии в твердых телах, роль диффузии в твердых телах очень велика. Именно диффузия обеспечивает такие явления и процессы в твердых телах, как отжиг для устранения неоднородностей в сплавах, насыщение поверхностей деталей углеродом, азотом и т. д., спекание порошков и другие процессы обработки металлов.

теплоемкость твердое тело анимационная программа

Глава 2. Реализация анимационной обучающей программы для определения удельной теплоемкости твердых тел (проверка выполнимости закона Дюлонга и Пти)

2.1 Алгоритмизация

Определение удельной теплоемкости твердых тел.

Цель работы: проверка выполнимости закона Дюлонга и Пти для ряда исследуемых веществ.

Согласно классической теории теплоемкости при не слишком низких температурах, молярная теплоемкость химически простых веществ в кристаллическом состоянии одинакова и равна 25 Дж/(моль*К). Это утверждение составляет содержание закона Дюлонга и Пти, установленного опытным путем.

Страницы: 1, 2, 3, 4