Книга S.Gran "A Course in Ocean Engineering". Глава "Усталость"

Когда время проходит и асимметрия становится еще меньше, например l3<0,4, для поли-гамма функций можно использовать некоторые асимптотические формулы. Для экспоненциальных распределений размахов напряжений это происходит при n>2400. Параметры экспоненциального гамма распределения a, h и u можно вычислить по более простым формулам

Если асимметрия l3 становится еще меньше, то распределение коэффициентов использования r(h,t) можно представить функцией нормального распределения вероятностей. Плотность вероятности можно записать

Для числа циклов n=9600, в случае экспоненциального распределения размахов напряжений, асимметрия l3=0,2. В большинстве случаев, это пренебрежимо малая величина так, что можно использовать функцию плотности нормального распределения вероятностей. Следовательно, функция нормального распределения вероятностей (4.7.69) достаточна при решении большинства задач по многоцикловой усталости. Но для малоцикловой усталости со случайным нагружением, значение прогнозируемого ресурса может быть полностью скрыто естественной дисперсией.

Модель случайного блуждания. Понятие о естественной дисперсии в усталости может быть, также, получено с помощью в некоторой степени искусственной, но поучительной модели случайного блуждания. Этот способ можно сформулировать следующим образом:

§         Коэффициент использования h растет скачкообразно, эти скачки имеют определенную длину L.

§         Для каждого цикла напряжений существует определенная вероятность p того, что h сделает один шаг вперед, а также вероятность (1-p) того, что он останется неизменным.

§         Вероятность скачка в одном цикле не зависит от предыдущих скачков.

Данное значение коэффициента использования h определяют после j скачков, а именно

Однако, эти скачки будут появляться нерегулярно. Вероятность того, что в течении n³j циклов коэффициент использования будет иметь j скачков, задана функцией вероятности биномиального распределения

Для краткой иллюстрации этого метода, рассмотрим особый случай, когда вероятность возрастания h в течение цикла равна 50% и вероятность того, что он останется прежним так же 50%

Это делает вероятность (4.7.71) равной

Для первых циклов, распределение вероятностей показано на рис. 4.7.8, его легко определить по таблице биномиальных коэффициентов.

Рис. 4.7.8   Зависимость функции вероятности коэффициента использования h от числа циклов, для случая p=(1-p)=0,5.

Очевидно, что после нескольких циклов, (дискретное) распределение вероятностей образует блоковое множество определенной ширины. За каждый цикл, вершина этого множества делает шаг вперед, ширина его также увеличивается.

В общем случае выражения (4.7.71), среднее значение  и расхождение sh коэффициента использования после n циклов равны соответственно

Следовательно, относительная дисперсия после n циклов  

Сравнивая это выражение с уравнениями (4.7.57) и (4.7.60), можно сделать вывод, что, когда математическое ожидание длины одного скачка  и относительная дисперсия n известны, параметры случайного блуждания L и p будут

Параметры  и n даны точно в (4.7.41) и (4.7.45). Выраженные непосредственно через статистические моменты M1(xi) и M2(xi) отдельного скачка xi, взятые из (4.7.41) и (4.7.42), те же переменные будут

Если m=3 и размахи напряжений распределены экспоненциально, то L=20 и p=1/20. Это значит, что по методу сопряженных случайных блужданий коэффициент использования возрастет случайно в среднем один раз в  двадцать циклов, кроме того, он возрастает скачком в течение одного цикла.

В методе случайных блужданий асимметрия не учитывается. Он соответствует упрощенному уравнению Фоккера-Планка второго порядка, в котором опущен параметр W.

Глава 4.7.5   Метод механики разрушения

Происхождение трещин и особенности напряженного состояния. Усталость в металлах имеет физическую основу, которая достаточно хорошо изучена. Первопричины находятся на субмикроскопическом уровне структуры материала. На этом уровне все металлы имеют монокристаллическую структуру, но с некоторыми несовершенствами в виде вакансий и дислокаций. Состояние вокруг дислокации такое же, как на конце незаконченного ряда зерен на кукурузном початке. В металлах высокой чистоты, линии дислокаций можно увидеть в электронный микроскоп.

В поле напряжений, которое вызвано в кристаллической решетке внешними силами, дислокации могут взаимодействовать и передвигаться. Предпочтительным результирующим движением является сдвиг или скольжение кристаллических слоев относительно друг друга, наибольшая чувствительность к нагрузке обнаружена при 45°. Движение дислокаций направлено на восстановление геометрически правильной кристаллической решетки. Во время этого процесса, линии дислокаций обязательно будут двигаться к поверхности кристалла, где их можно увидеть как микроскопические полоски, т.е. полосы скольжения. Соседние полосы скольжения образовывают волнистую поверхность, на которой канавки действуют как центры зарождения микротрещин распространяющихся вдоль межкристаллитных границ. Эти трещины будут наиболее чувствительны к компонентам напряжений направленным под углом 90° к поверхности трещины, под действием циклических нагрузок, они будут расти скачкообразно. Они обычно идут с поверхности в глубину металла и если к образцу приложено слабое растягивающее усилие, их можно увидеть как маленькие надрывы.

Факт раскрытия трещин при низких напряжениях указывает на то, что еще может быть использована линейная зависимость между деформациями и напряжениями. Элементы тензора напряжений можно рассматривать непрерывные функции от времени и расстояния. Но на микроскопическом уровне, эта ровная и непрерывная картина нарушается микротрещинами, вершины которых проявляются как небольшие местные сингулярности (особые точки или области) в непрерывном поле напряжений.

В частности, мы можем рассмотреть небольшую плоскую трещину идущую с поверхности. Распределение местных напряжений можно описать в локальной системе координат, где оси x и z перпендикулярны линии фронта трещины, как это показано на рис. 4.7.9.

Рис. 4.7.9   Координаты описывающие зависимость между локальными деформациями и напряжениями у фронта трещины.

Выражая линейное уравнение связи деформаций и напряжений в полярных координатах (r,q) и допуская, что эти переменные независимы, компоненты локальных напряжений можно записать как

Это решение аналогично описанию неполных круговых волн (circular partial waves) в (3.5.8). На поверхностях трещины, положение которых определяется q=±p, как нормальные напряжения, так и касательные должны быть равны нулю. Параметр, описывающий напряжения, который объясняет это требование, должен иметь радиальную функцию вида

где n – величина равная нулю или целому числу. В большинстве случаев, n необходимо опустить, т.к. получается либо бесконечное напряжение на больших расстояниях, либо бесконечные деформации в области фронта трещины. Реальным значением будет n=1, которое дает сингулярность у фронта трещины порядка -1/2. Для этого значения компоненты напряжений можно записать в виде

здесь,  - это нормированный множитель, введенный для удобства. Коэффициентом K, общим для всех компонент напряжений, обозначают интенсивность напряжений. Он зависит от формы трещины и ориентации тензора номинальных напряжений. Он, также, пропорционален преобладающей компоненте номинального напряжения, которая здесь будет обозначена через s¥.

В некоторых особых случаях, интенсивность напряжений K может быть выведена аналитически с помощью интегрирования комплексной функции. Для длинной плоской трещины в металлической пластине длиной 2x, перпендикулярной продольным напряжениям, компоненты местных напряжений (4.7.80) будут

Следовательно, даже если номинальные напряжения s¥ малы, компоненты местных напряжений sij у фронта трещины при r=0 могут быть чрезвычайно высокими. Они могут быть даже выше, чем прочность материала на разрыв.

Эта неоднородность в поле напряжений может привести к разрушению материала в очень малой области около вершины трещины и, т.о., увеличить эту трещину. Однако если напряжения малы, такая неоднородность будет сведена на нет когда фронт трещины проходит расстояние сравнимое с размером зерна. С другой стороны, если напряжения большие, неоднородность в поле напряжений не уравновешена, и трещина развивается до начала лавинообразного разрушения, которое протекает примерно со скоростью звука.

Рост трещин. Основным предположением, при использовании механики разрушения для объяснения усталости, является то что, рост трещин связан с изменениями интенсивности напряжений K. Цикл напряжений определяет максимум Kmax и минимум интенсивности напряжений Kmin, при этом размах интенсивности напряжений

Предположительно, этот цикл увеличит трещину глубиной x на небольшую величину Dx:

Это выражение известно как закон роста трещин Париса-Эрдогана. C, m и K0 – это эмпирические постоянные, полученные в результате лабораторных испытаний, они представлены на диаграммах, как это показано на рис. 4.7.10. Этот вид диаграмм практически аналогичен диаграмме Велера в методе Палмгрена-Майнера. Кривую или диаграмму можно назвать da/dN кривой, обозначая, тем самым, увеличение длины трещины a за цикл. Длина трещины a служит для описания полуэллиптической трещин, где a и b обозначают длинную и короткую полуоси. а – описывает глубину трещины, а 2b – это раскрытие трещины.

Интенсивность напряжений прямо не учитывается. Поэтому, лабораторные измерения проводят на образцах имеющих трещину такого типа, для которой известны соотношения между номинальными напряжениями и интенсивностью напряжений. Рост трещины можно измерить, усредняя по необходимому числу циклов.

Т.к. кривая роста трещины связана лишь с материалом, а не с конкретными геометрическими особенностями, то образец может быть маленьким, а частота нагружения высокой, часто в звуковом диапазоне частот. Проводя измерения на одном образце, за короткое время можно получить несколько точек на da/dN кривой. Диаграмма Велера, напротив, связана как с материалом, так и с формой, и для того, чтобы получить всего лишь одну точку на этой кривой, необходимо испытать один образец до разрушения. К тому же, большие образцы должны быть испытаны при низкой частоте, поэтому одно испытание может длиться несколько дней или недель. Т.о., с лабораторной точки зрения, анализ роста трещины более предпочтителен, чем классические испытания на усталость.

Как и в (4.7.81), существует линейное соотношение между размахом интенсивности напряжений DK и размахом преобладающих напряжений Ds¥. Исключив возможный коэффициент концентрации напряжений, он может быть равен размаху номинальных напряжений, т.е. двойной амплитуде, которая ранее была обозначена через S. Для того чтобы учесть возможное влияние формы образцов, выражение (4.7.81) можно записать в более общем виде:

В этом соотношении, g¢(x) – локальная геометрическая функция, которую можно вычислить аналитически или численно с помощью линейного анализа напряжений. Справочник таких функций есть в нескольких работах по механике разрушения, например в книге /11/. Член  входит в состав геометрической функции для выражения этой функции без штриха g(x), далее ей будет отдано предпочтение. Подстановка (4.7.84) в (4.7.83) дает увеличение размера трещины:

Теперь, процесс усталости может быть описан как скачкообразное распространение трещины в материале

Рис. 4.7.10   Пример диаграммы роста трещины или da/dN кривой, полученной в результате лабораторных испытаний. Безразмерный параметр наклона m соответствует параметру наклона в диаграмме Велера, классическое значение m=3.

Рассматривая весь срок службы элемента, начальная глубина трещины x0 будет связана с микротрещинами, упомянутыми выше, а конечная длина xf будет достигнута при разрушении материала. Формально, глубина трещины может определять коэффициент использования h, возрастающий скачками Dh:

Подставленный в (4.7.37), он равен росту коэффициента использования в теории Палмгрена-Майнера, но длина скачков Dh явно зависит от текущего значения h или x.

Размах номинальных напряжений S в (4.7.85) такой же, как в (4.7.39). Можно считать, что он имеет функцию плотности вероятности (4.7.1) для короткого отрезка времени и (4.7.7) в случае большого интервала. Длина скачка Dx имеет статистическое распределение согласно гамма распределению, усеченному при напряжениях соответствующих пределу DK0. Использование статистического распределения размахов напряжений (4.7.7) дает ожидаемую, т.е. среднюю длину скачка

Если мы не учитываем предел интенсивности напряжений DK0, то неполная гамма функция превратится в полную. Для простоты, далее мы используем это допущение. Кроме того, длина отдельного скачка Dx, будет иметь стандартное отклонение и асимметрию повышающую естественную дисперсию роста трещины. Формулы могут быть получены аналогично уравнениям (4.7.41) – (4.7.46).

В отличие от изменения абстрактного коэффициента использования h, продвижение трещины описывает физический процесс. Часто, скачки можно физически увидеть как набор линий или полосок на поверхности излома. Трещина распространяется с некоторой скоростью, обозначенной U. Если T, как и раньше, обозначает средний период напряжений, то фронт трещины продвигается со средней скоростью

здесь мы не учли предел интенсивности напряжений. В этом случае, зависимость от x будет проявляться только через геометрическую функцию g(x). Уравнение (4.7.89) представляет собой дифференциальное уравнение движения для x, которое может быть, в некоторых случаях, аналитически интегрировано, что даст глубину трещины x как функцию от времени t.

Распределение вероятностей для длины трещины. Основное предназначение теории роста трещин – предсказать размер трещины в момент времени t2, если в момент t1 размер трещины известен. Кроме того, эта теория может быть использована для предсказания срока службы элементов конструкций, как альтернатива методу Палмгрена-Майнера. Когда используется теория роста трещин, необходимо выбрать начальную глубину трещины x0 в момент времени t=0, что часто является причиной погрешностей в оценке ресурса.

Как уже упоминалось во введении к этой главе, микротрещины или похожие концентраторы напряжений всегда присутствуют на металлической поверхности, даже если конструкция новая. Говорилось о начальной глубине 0,1–1 мм. Однако, эта величена наилучшим образом известна в виде функции вероятности. Следовательно, интегральная функция вероятности для глубины трещины будет функцией определяющей положение x и время t. Мы определяем ее как

Вероятность того, что глубина трещины в момент времени t превзойдет значение x, определяется соответствующей вероятностью превышения

В определенный момент времени t=t1, функция F(x,t1) характеризует простую пространственную функцию вероятности для глубины трещины. Соответствующая плотность вероятности будет

С течением времени, при действии случайной нагрузки, интегральная функция вероятности F(x,t) изменится. Она может быть описана уравнением Фокера-Планка так, как это было сделано для h в выражении (4.7.56). При этом динамические коэффициенты U, V и W зависят от положения x так же, как это было в (4.7.89). Но влияние естественной дисперсии вызванной V и W, показанное в главе 4.7.4(iii), в многоцикловой усталости незначительно. Следовательно, эти коэффициенты можно не учитывать, оставляя лишь дифференциальное уравнение движения первого порядка. По понятным причинам, это уравнение можно вывести.

С этой целью, мы можем рассмотреть некоторую точку в момент времени t, например точку с вероятностью 75%, что размер трещины превзойдет x. После временного шага dt, эта точка с вероятностью 75% передвинется в глубь материала на расстояние dx=U(x)dt. Однако, до временного шага dt, этой новой точке x+dx соответствовала вероятность превышения отличная от 75% на величину (¶Q(x,t)/¶x)dx. Следовательно, мы можем заключить, что локальное временное изменение вероятности превышения, в интервале времени dt будет

Кроме того, это выражение выглядит так же, как искомая вещественная производная по времени от интегральной функции вероятности или вероятности превышения, которая равна нулю, т.е.

Такая же форма записи использовалась в главе 3.1.1 для движения жидкости. Пространственную плотность вероятности определенную в (4.7.92) находят путем дифференцирования (4.7.94) по x, следовательно, она должна удовлетворять уравнению непрерывности

Оно аналогично первому порядку уравнения (4.7.56) и говорит о том, что вероятность изменяется так, как, например, в случае со сжимаемым в трубке газом. Кроме того, для уравнения (4.7.95) соблюдается условие нормировки

для любого момента времени t.

Изменение вероятности перехода Q(x,t) с течением времени в определенном месте x обязательно будет монотонно возрастающей функцией. Она начинается с некоторого начального значения и приближается к единице, когда время стремится к бесконечности. По этой причине, Q(x,t), принятая как функция от t при фиксированном значении x, также определяет распределение вероятности, а именно интегральную функцию вероятности для времени необходимого для того, чтобы трещина достигла точки x. Функция плотности вероятности c(x,t),  связанная с этим распределением, является производной от Q(x,t) по времени при определенном значении x

Вероятность того, что фронт трещины пересечет точку x во временном интервале [t,t+dt] будет c(x,t)dt. Из (4.7.94) следует, что пространственная плотность вероятности r(x,t) и временное распределение вероятностей c(x,t) связаны между собой выражением

Тогда уравнение непрерывности (4.7.95) для c(x,t) можно записать как

при условии, что локальная скорость U=U(x) не зависит от времени. По мере того, как трещина проникает в глубь материала, она пройдет через критическое значение xf, при котором происходит хрупкое разрушение. В этот момент, интегральная функция вероятности по времени, мы ее обозначим как Pf(t), будет равна вероятности того, что глубина трещины превысит xf. Из (4.7.91) следует

это вероятность разрушения – центральная переменная в анализе надежности.

Глава 4.7.6   Распределение вероятностей для ресурса.

Мы рассмотрим некоторые особые решения дифференциального уравнения (4.7.94). Основные входные данные – это распределение глубин начальных трещин в момент времени t=0 и геометрическая функция g(x) в уравнении скорости роста трещины U(x) в (4.7.89). Мы допускаем, что предел усталости равен нулю.

Начальное состояние. Основная задача – найти распределение вероятностей для ресурса (4.7.100), чтобы можно было определить математическое ожидание ресурса и погрешность возникшую из-за неизвестных начальных размеров трещины. Для этого, мы можем принять, что распределения глубин начальных трещин соответствует распределению Вейбулла с вероятностью превышения

Математическое ожидание E[x] размера начальной трещины

и среднеквадратическое отклонение

Часто используется экспоненциальное распределение, g=1. Однако, если предполагается, что на поверхности есть множество мелких дефектов, то доминирующая трещина будет определяться исходя из наибольшего дефекта. В этом случае, ожидается, что начальное распределение будет более островершинным, т.е. g больше единицы. Часто, для морских судов и прибрежных конструкций принимаются поверхностные дефекты порядка x0=0,1 мм.

Страницы: 1, 2, 3, 4