Книга S.Gran "A Course in Ocean Engineering". Глава "Усталость"

Основная логарифмическая S-N кривая. В случае логарифмической S-N кривой, такой как кривая I на рис. 4.7.3, число циклов до разрушения N(S) может быть записано как в (4.7.9). Если это выражение подставить в (4.7.11), то мы получим коэффициент использования:

где Mm – определяют как статистический момент с порядком распределения размаха напряжений m. Если образец подвергается n циклам нагружения за стационарный короткий период времени (скажем, приблизительно n=1000 в час), где размах напряжений имеет гамма распределение в соответствии с (4.7.1), то увеличение усталостного коэффициента использования будет

где мы применили формулу моментов (2.6.18) для гамма распределения.

Для больших отрезков времени, элемент имеет циклы напряжений с гамма распределением (4.7.7). Параметры d, k, и D можно определить с помощью одного из методов упомянутых выше, в главе 4.7.1. Соответственно, коэффициент использования после n циклов (скажем, n=108 за 20 лет) равен

В данном случае, эта величина может быть найдена проще и точнее при использовании (4.7.6). Что дает

Часто, полные функции гамма распределения могут быть вычислены на карманном калькуляторе с функцией факториала (!) применимой для дробных чисел. Следовательно, может быть использовано выражение (2.6A.8)

Кроме того, гамма функция включена в таблицу в приложении B, в конце книги.

S-N кривые с пределом усталости. Предел усталости (выносливости) означает, что циклы напряжений с амплитудой меньше, чем предельное значение S0 не вносят свой вклад в сумму Майнера (4.7.9). Кривые  II и III на рис. 4.7.3 именно такого вида. Учитывая этот предел, (4.7.9) следует записать как

Объединение этой S-N кривой с распределением напряжений (3.1.1) дает прирост в сумме Майнера для коротких интервалов, после n циклов:

которая заменяет выражение (4.7.13). Неполная гамма функция G(_;_) определяется в выражениях с (2.6.3) по (2.6.8). Соответственно, в диапазоне больших отрезков времени усталостный коэффициент использования, наработанный в течении n циклов напряжений распределенных в соответствии с (4.7.7), становится

который заменяет (4.7.14). Точная формула соответствующая (4.7.15) не найдена.

Численное определение функций (4.7.18) и (4.7.19) требуется не всегда, т.к. на основе этих формул может быть построена диаграмма усталости, мы называем ее C-N диаграммой, которая применяется для процессов со случайными нагружениями, таким же образом, как используется S-N кривая для регулярных синусоидальных напряжений. Посмотрите рис. 4.7.5. Формально коэффициент использования h в (4.7.18) и (4.7.19) может быть записан подобно (4.7.10):

Здесь n(C) – действительное число циклов напряжений в условиях с масштабным коэффициентом C. Переменная C аналогична X в (4.7.1) в случае малого интервала времени и D в (4.7.7) в случае большого. Таким же образом, N(C) – это число циклов до разрушения для процесса случайного нагружения с масштабом C, как следует из диаграммы. Сумма взята по всем условиям нагружения. Это описано более подробно в работе /8/.

Рис. 4.7.5   Пример C-N диаграммы, это кривая показывающая число циклов до разрушения. Амплитуды напряжений соответствуют распределению Вейбулла и имеют параметры распределения l, h, С /8/. Данные относятся к соединениям класса X.

Билинейные S-N кривые. S-N кривые имеющие предел усталости, упомянутые в предыдущей главе, не вносят вклад в процесс усталости при достаточно малом размахе напряжений, а именно меньше S0. Но все же, конструкции обладают чувствительностью к малым нагрузкам, которая увеличивается с возрастом. Небольшая амплитуда, которая не влияет на усталость, когда конструкция новая, может внести значительный вклад, когда усталостный ресурс конструкции подходит к концу. Для того, чтобы учесть это явление, в качестве S-N кривой была предложена кривая V на рис. 4.7.3. При определенном уровне напряжений S0, кривая меняет наклон так, что число циклов до разрушения можно записать

Численно, параметры могут быть связаны между собой следующим образом:

Подставленные вместе с распределением размахов напряжений для большого интервала (4.7.7) в коэффициент использования h, они дают выражение замкнутого вида:

Дополнительная пара неполных гамма функций G(_;_) и g(_;_) определена в уравнениях (2.6.3) – (2.6.8).

S-N кривые, которые разделены на большое число прямых линий, так же могут быть представлены выражениями замкнутого вида типа (4.7.26). Однако, формулы будут содержать столько членов, насколько это будет удобно для проведения численного суммирования.

Полулогарифмические S-N кривые. В случае полулогарифмической S-N кривой, напротив logN(S) наносят размах напряжений S. Прямая линия на этом графике указывает на то, что число циклов до разрушения N(S) может быть записано

где        N(S) – число циклов до разрушения при размахе напряжений S,

N0 – параметр S-N кривой,

S – размах напряжений,

B – параметр наклона S-N кривой.

Посмотрите примеры на рис. 4.7.6. Параметр N0 может быть принят в качестве фиктивного числа циклов необходимого для того, чтобы вызвать разрушение, когда размах напряжений равен нулю. Естественно, усталостное разрушение при нулевой амплитуде физически невозможно. По этой причине, обязательно должен существовать предел усталости S0.

Рис. 4.7.6   Примеры полулогарифмических S-N кривых. Левый рисунок взят из /1/ и относится к стальным образцам с и без надреза, с ясно выраженным пределом усталости. Правый рисунок взят из /7/ и показывает S-N кривые для стального троса различной конструкции и в различных условиях окружающей среды.

Напротив, если мы игнорируем предел усталости, полагая S0=0, и введем (4.7.27) в (4.7.11), то мы получим

F(t) рассматривают как характеристическую функцию распределения размахов напряжений, как это определено в (2.4.8). Далее, нахождение усталостного ресурса сводится к задаче вычисления характеристической функции распределения. Для многих распределений вероятностей существуют уже известные формулы, которые можно найти в книгах по данной теме.

Если предел усталости S0 есть, как это действительно необходимо в (4.7.27), то введение распределения размахов напряжений для большого интервала времени (4.7.7) дает коэффициент использования:

Этот интеграл может быть решен точно лишь в ограниченном числе случаев, некоторые из них будут обобщены ниже. В элементарном гамма распределении k=1, что дает

Неполную гамма функцию находят как в (2.6.7). Экспоненциальное распределение с d=k=1 является особым случаем, который дает

В одностороннем нормальном распределении d=1/2 и k=1, что дает

Наконец, распределение Рэлея для размахов напряжений, т.е. d=1 и k=2, дает

где F (_) - нормированный нормальный интеграл, определенный с помощью (2.3A.1).

Усталость вызванная неустановившейся нагрузкой. (xxx) До сих пор мы рассматривали только стационарные (т.е. с постоянной амплитудой), случайные напряжения. До того как отойти от формул усталости замкнутого вида, будет уместно обратить внимание на конструкции, которые испытывают неустановившиеся (т.е. с переменной амплитудой) колебания после импульсной нагрузки. Прибрежный кран, нижняя запись на рис. 4.7.1b, может послужить примером этого явления. Более схематичное изображение дано на рис. 4.7.7. Когда часть груза поднимается краном, конструктивный элемент в кране испытает изменение в статическом уровне напряжений Z. Если статическое напряжение возвращается на начальный уровень, когда нагрузка снята, то элемент испытал один усталостный цикл напряжений с размахом напряжений Z. Использование основной логарифмической S-N кривой (4.7.9) показывает, что эта единичная операция подъема увеличила коэффициент использования h на

Рис. 4.7.7   Последовательность размахов напряжений неустановившейся реакции, полученная с помощью метода дождевого потока для подсчета циклов (the rain-flow cycle counting method). Жирная линия показывает квазистатический цикл напряжений с размахом Z.

Однако, это заниженная оценка, т.к. не учтены динамические явления. Напряженное состояние  свидетельствует о том, что за отклонением от начального значения, описанным коэффициентом динамичности Y, следует последовательность неустановившихся циклов, размах напряжений которых последовательно уменьшается на величину определяемую показателем e-aT=e-pl. Здесь, a - коэффициент затухания, T – период колебаний и l=aT/2p - это относительное демпфирование (доля критического демпфирования).

До сих пор не было сказано о том, как подсчитать циклы напряжений. Предполагалось, что цикл может иметь симметричный период, полученный либо из спектральной функции (2.5.78), либо по методу порогового пересечения (threshold crossing procedure), как в главе 2.3.3(i). В случае неустановившихся колебаний это не работает. Однако мы можем использовать более общий метод, известный как метод дождевого потока для подсчета циклов (rain-flow counting method). Более подробное описание посмотрите, например, в работе /2/. Этот метод дает размахи напряжений обозначенные на рис. 4.7.7 как No 1, 2, 3 и т.д.

Подставляя эти циклы напряжений в формулу Палмгрена-Майнера (4.7.10) и проводя суммирование (без предела усталости), мы получим уточненное усталостное значение

Сравнивая с (4.7.34), очевидно, что выражение в фигурных скобках это коэффициент усиления для процесса усталости, вызванного неустановившимися колебаниями. В качестве типичных значений, мы можем подставить m=1 и l=0,025, что дает

Скажем, коэффициент динамичности Y=1, из-за неустановившихся процессов, дает коэффициент усиления усталости равный 7. Это соответствует снижению ресурса, полученного только из изменений статической нагрузки, до 1/7. Подробности даны в работе /9/.

Глава 4.7.4   Естественная дисперсия.

В части 4.3, мы придерживались того, что экстремальное значение в последовательности случайных амплитуд имеет некоторую дисперсию или погрешность, а именно (4.3.19), даже если параметры распределения амплитуд известны точно. Мы назвали это явление естественной дисперсией экстремального значения.

Мы имеем подобный эффект и в усталости. Поскольку коэффициент использования h это сумма вкладов в усталость отдельных циклов напряжений, то эта сумма также обязательно будет случайной, и будет иметь некоторую дисперсию. Если все переменные данного материала и параметры распределения напряжений рассматриваются как заданные, то коэффициент использования h, а также прогнозируемый ресурс, все равно будут иметь погрешность вызванную естественной дисперсией.

Распределение отдельных скачков. Мы можем рассмотреть коэффициент использования как точку движущуюся скачкообразно вдоль координатной оси h. Первоначально, когда конструкция новая, эта точка расположена на h=0. Предполагается, что конструкция изношена или требует ремонта, когда точка проходит через h=1. Коэффициент использования h, на этом отрезке, перемещается скачками

движимый вперед отдельными циклами напряжений. Вообще, Dhj – это возрастание, вызванное j-м циклом напряжений.

Средний период напряжений можно обозначить через T. По истечении времени t=nT конструкция испытывает n циклов напряжений и значение коэффициента использования можно записать как

Длины отдельных скачков Dh принадлежат одному и тому же статистическому ансамблю и можно предположить, что они имеют одно и то же распределение вероятностей. Поэтому, для удобства, мы опишем длину скачка Dh с помощью случайной величины Dh=xi. Эта переменная связана с размахом напряжений S действительных циклов напряжений по всей S-N кривой. Учитывая, для удобства, основную кривую (4.7.9) это дает

Теперь, S – размах напряжений вызванный действием волн на конструкцию, который подчиняется гамма распределению с плотностью вероятности для больших интервалов времени (4.7.7), т.е. g(d, k, D; S).

Т.к. соотношение (4.7.39) согласовывается с преобразованием энергии (2.6.31), то длина скачка xi также подчиняется гамма распределению с функцией плотности вероятности f(xi)

как было получено в (2.6.33). Математическое ожидание  длины скачка xi получено из (2.6.17) как момент первого порядка

Соответствующие статистические моменты порядка 2 и 3 около нуля

и

соответственно. Для последующего использования, мы подставили обобщенные скорости U, V и W, определенные из выражений

В частности, U может интерпретироваться как средний рост коэффициента использования h за один цикл.

Дисперсия  длины скачка xi может быть получена как центральный момент второго порядка (2.4.3), что дает

Параметр n - это среднеквадратическое отклонение относительно математического ожидания длины скачка , этот параметр можно найти и в (2.4.3). Есть сходство с (2.8.34) по ширине диапазона.

Аналогично, центральный момент m3(xi) длины скачка xi может быть получен из (2.4.4) и его можно записать

l - это коэффициент асимметрии длины отдельного скачка. Например, для экспоненциального распределения он равен 2, а для нормального распределения 0.

Распределение вероятностей длины скачка Dh=xi имеет характеристическую функцию f(s), определенную в общем виде в (2.4.8) как

где s, в общем, может быть комплексным параметром. Разложение экспоненты в интеграле в ряд даст

Почленно интегрируя по xi и учитывая выражения (4.7.41) – (4.7.44) получим

Говоря физическим языком, отдельные вклады xi в коэффициент использования, которые вносятся напряжениями вызванными волнами, обычно довольно-таки нерегулярны. Если размах напряжений распределен экспоненциально, что часто бывает в морских конструкциях, то отдельный вклад xi для m=1 имеет среднеквадратическое относительное отклонение n=4,36 и коэффициент асимметрии l=19,6. Следовательно, функция плотности вероятности для отдельных приростов коэффициента использования очень широкая и в значительной степени асимметричная.

Уравнение движения для коэффициента использования. Коэффициент использования h в момент времени t описывают при помощи функции плотности вероятности r(h,t). Соответствующую характеристическую функцию обозначим через F(s,t), где s – такая же переменная, как и в (4.7.48). Ее получают с помощью преобразования плотности вероятности r(h,t)

Позже, эта характеристическая функция будет использована для вывода дифференциального уравнения в частных производных для r(h,t).

Теперь, если коэффициент использования после n циклов напряжений обозначен через hn, как в (4.7.38), то коэффициент использования одним периодом позже будет

Согласно гипотезе Палмгрена-Майнера, вклад xi не зависит от предыдущих вкладов, так, что hn и xi статистически независимы. В связи с этим, характеристические функции перемножаются, как это установлено правилом C в главе 2.4.2(iii). Т.к. эти функции уже определны в выражениях (4.7.50) и (4.7.47) соответственно, то характеристической функцией для распределения вероятностей h в момент времени t+T будет

Коэффициент использования h увеличивается скачкообразно и нерегулярно. Следовательно, он не имеет непрерывной скорости изменения, хотя можно вывести ее среднее значение из скорости роста U в (4.7.41). Тем не менее, можно считать, что функция вероятности r(h,t) и характеристическая функция F(s,t) изменяются во времени непрерывно. Т.о., мы можем найти производную характеристической функции по времени на примере изменения через один цикл напряжений T

Левую часть выражения можно заменить на производную (4.7.50) по времени, тогда как в правую часть можно подставить (4.7.52) и (4.7.49).

Если мы рассматриваем F(s,t) в качестве преобразования Лапласа (Laplace) по h, который входит в плотность вероятности r(h,t), то члены вида sjF(s,t) в (4.7.54) будут определены как преобразование Лапласа производных от r(h,t) по h. Формально, его можно вывести с помощью трех последовательных интегрирований по частям правого интеграла из (4.7.50). Подставленное в (4.7.54) оно даст

Первым необходимым условием для всех h и t в этом соотношении является то, что функция плотности вероятности должна удовлетворять дифференциальному уравнению в частных производных

Это уравнение Фоккера-Планка третьего порядка (посмотрите работу /10/), которое включает смещение, рассеяние и асимметрию. Данное уравнение количественно описывает поведение функции вероятности с течением времени. Три коэффициента U, V и W заданы в (4.7.44) и могут быть вычислены на основе параметров распределения вероятностей и данных по S-N кривых.

Однако, что бы (4.7.56) было полным решением, для граничных членов во второй строке (4.7.55) необходимо, что бы r(h,t) и его первые две производные по h, были равны нулю при h=0 и h=¥. Т.к. функция плотности вероятности (4.7.40) длин отдельных скачков xi может быть равна бесконечности при xi=0, то r(h,t) также может быть первоначально равна бесконечности. По этой причине, одно уравнение Фоккера-Планка (4.7.56) не всегда может достаточно полно описать первый этап развития усталости.

Моменты и приближенные решения. Помимо уравнения Фоккера-Планка (4.7.56), можно получить достаточно хорошие данные по усталостному распределению вероятностей r(h,t) учитывая моменты.

Как установлено выше, мы можем рассматривать длины скачков в сумме (4.7.38) как статистически независимые. Согласно правилу C в параграфе 2.4.2(iv), три первых центральных момента складываются. Т.е. среднее значение  и два первых центральных момента коэффициента использования после n циклов будут

Т.о., среднеквадратическое отклонение, также как и момент третьего порядка коэффициента h, будет расти с увеличением n. Среднеквадратическое отклонение величины h относительно математического ожидания будет

где n - это относительна дисперсия каждого отдельного скачка, определенная в (4.7.45). Таким же образом, показатель асимметрии коэффициента использования после n циклов

где l - основная асимметрия (4.7.46) в отдельных скачках. Т.о., как относительная дисперсия, так и показатель асимметрии уменьшаются с течением времени и ростом n. В зависимости от значения показателя асимметрии l3, функция вероятности r(h,t) может быть приблизительно найдена с помощью стандартных распределений.

Когда асимметрия становиться меньше двух, т.е. l3<2,0, распределение вероятностей r(h,t) для h может быть представлено экспоненциальным гамма распределением с плотностью (4.2.21). Это имеет место для размахов напряжений распределенных экспоненциально и m=3 при n>96 циклов. Функцию плотности вероятности можно записать

Параметры a, h и u (не путать с параметрами (4.7.1)) можно найти из моментов, как это показано в главе 4.2.2.

Сначала, из уравнения (4.2.32) определяют форму или параметр асимметрии a как решение уравнения

Затем, находят параметр дисперсии h, так же как в (4.2.33), т.е.

Наконец, параметр распространения u вычисляют из (4.2.34)

y-функции – это поли-гамма функции, они представлены в приложении B.

Страницы: 1, 2, 3, 4