Анализ и обеспечение надежности технических систем

Рис 1.2. Структурная схема анализа надежности.

Рис 1.3. Схема представления ЛФР

Из схемы на рис 1.2. видно, что ЛФР системы представляет дизъюнкцию ЛФР шести путей электропитания (в индексе пути использованы только номера узлов структурной схемы):

Z = Z1-2-6 + Z1-2-3-7 + Z1-2-3-4-8 + Z5-4-8 + Z5-4-3-7 + Z5-4-3-2-6 (1.13)

Раскрывая ЛФР правой части (1.13), получим:

Z = (x1 x12 x2 x26 x6)+(x1 x12 x2 x23 x3 x37 x7)+(x1 x12 x2 x23 x3 x34 x4 x48 x8 )+ +(x5 x45 x4 x48 x8)+( x5 x45 x4 x34 x3 x37 x7)+( x5 x45 x4 x34 x3 x23 x2 x26 x6).

Упростим данное выражение, учитывая, что x2 =1, x3 =1, x4 =1

Z = (x1 x12 x26 x6)+(x1 x12 x23 x37 x7)+(x1 x12 x23 x34 x48 x8 )+(x5 x45 x48 x8)+

+( x5 x45 x34 x37 x7)+( x5 x45 x34 x23 x26 x6)= Z1-2· (Z2-6 + Z2-7+ Z2-8) + Z5-4 ·(Z4-8 + +Z4-7 + Z4-6)                                                                   (1.14)

Структурная схема представления ЛФР в форме (1.14) показана на рисунке 1.3.

Раскроем выражения составляющих ЛФР в формуле (1.7) P(Z = 1), для ее конкретного представления (1.13) - (1.14) и заданного экспоненциального закона распределения:

· Для блоков последовательных элементов на рис. 1.3:

P(Z1-2 =1 ) = P(x1=1)·P( x12=1) = p1-2 =e-(λ1+λ12 )t,

P(Z5-4 =1 ) = P(x5=1)·P( x45=1) = p5-4 = e-(λ5+λ45 )t

· Для блоков параллельных элементов на рис. 1.3:

P(Z2-6 =1 )= P( 26 =1)·P(6 =1) = q2-6 = 1- e-(λ6+λ26 )t

P(Z2-7 =1 )= P( 23 =1)·P(37 =1) P(7 =1) = q2-7 =1- e-(λ23+λ37+λ7 )t

P(Z2-8=1)=P(23 =1)·P(34 =1)P(48 =1) P(8 =1)=q2-8=1- e-(λ23+λ34+λ48+λ8 )t

P(Z4-8 =1 )= P( 48 =1)·P(8=1) = q4-8 = 1 - e-(λ8+λ48 )t

P(Z4-7 =1 )= P( 34 =1)·P(37 =1) P(7 =1) = q4-7 = 1- e-(λ34+λ37+λ7 )t

 P(Z4-6=1 )= P(34=1)·P(23=1)P(26=1)P(6=1)=q4-6=1-e-(λ23+λ34+λ26+λ6 )t

Введем промежуточные обозначения:

p2-6-7-8 = 1-q2-6-7-8 = 1- q2-6∙ q2-7 q2-8 - ВБР блока параллельных элементов Z2-6 + Z2-7 + Z2-8 ,

p4-8-7-6 = 1-q4-8-7-6 = 1- q4-8∙ q4-7 q4-6 - ВБР блока параллельных элементов Z4-8 + Z4-7 + Z4-6

q1* = 1 - p1-2∙ p2-6-7-8 - ВО питания на пути от узла №1 на схеме замещения,

q4* = 1 - p4-5∙ p4-8-7-6 - ВО питания на пути от узла №2 на схеме замещения и запишем окончательно:

Q = q1*∙ q4* ; kГ(t) = P(Z = 1) = 1 - Q. (1.15)

 Расчеты, выполненные по полученным формулам, приведены в таблице 1.4. Данные таблицы характеризуют изменение составляющих ЛФР на заданном периоде предстоящей эксплуатации (L = 2 года) с поквартальной разбивкой. На рисунке 1.4. показаны графики изменения трех основных показателей надежности данной системы: q1*∙(t), q4*(t) , kГ(t), построенные по данным табл.1.4. Такой вид изменения показателей во времени типичен для экспоненциального закона распределения.

Таблица 1.4 Расчет показателей надежности на двухлетний период эксплуатации (прогноз)

Изменение ВО питания и kг системы

Из таблицы и графиков видно, что критерий (1.12) нарушается уже в четвертом квартале 1-го года последующей эксплуатации:

kГ(0,75) > kГдоп > kГ(1), или: 0.8649 > 0,92 > 0,7908

поэтому tдоп = 0,5 и техническое обслуживание (профилактическое) следует назначить либо в конце второго квартала, либо в начале третьего квартала.

Структурная схема ЛФР в данном случае была несколько загрублена, более точное её представление, возможно, несколько уточнит ситуацию.

Рис 1.6. Схема представления ЛФР

Теперь представим ВБР согласно этой схемы:

· Для блоков последовательных элементов на рис. 1.4:

P(Z1-2 =1 ) = P(x1=1)·P( x12=1) = p1-2 =e-(λ1+λ12 )t,

P(Z5-4 =1 ) = P(x5=1)·P( x45=1) = p5-4 = e-(λ5+λ45 )t

P(Z2-3 =1 ) = P(x23=1)= p2-3 = e-λ23 t

P(Z3-4 =1 ) = P(x34=1) = p3-4 = e- λ34 t

· Для блоков параллельных элементов на рис. 1.4:

P(Z2-6 =1 )= P( 26 =1)·P(6 =1) = q2-6 = 1- e-(λ6+λ26 )t

P(Z2-7 =1 )= P(37 =1)·P(7 =1) = q3-7 =1- e-(λ37+λ7 )t

P(Z3-8=1)= P(34 =1)·P(48 =1)·P(8 =1) = q3-8 = 1- e-( λ34+λ48+λ8 )t

P(Z4-8 =1 )= P( 48 =1)·P(8=1) = q4-8 = 1 - e-(λ8+λ48 )t

P(Z3-6=1 )= P(23=1)P(26=1)P(6=1) = q4-6 =1-e-(λ23 +λ26+λ6 )t

Введем промежуточные обозначения:

p3-7-8 = 1- q3-7-8 = 1- q3-7 ∙q3-8 - ВБР блока параллельных элементов Z3-7 + Z3-8

q2-7-8 = 1- p2-7-8 = 1- p2-3 ∙p3-7-8 - ВБР блока последовательных элементов Z2-3 и группы элементов Z3-7 + Z3-8

p3-6-7 = 1- q3-6-7 = 1- q3-6 ∙q3-7 - ВБР блока параллельных элементов Z3-7 + Z3-6

q4-6-7 = 1- p3-6-7 = 1- p4-3 ∙p3-6-7 - ВБР блока последовательных элементов Z4-3 и группы элементов Z3-7 + Z3-6

p2-6-7-8 = 1- q2-6-7-8 = 1- q2-6∙ q2-7-8 - ВБР блока параллельных элементов Z2-6 и группы элементов Z2-3 + Z3-7 + Z3-8

p4-8-7-6 = 1- q4-8-7-6 = 1- q4-8∙ q4-6-7 - ВБР блока параллельных элементов Z4-8 и группы элементов Z4-3 + Z3-7 + Z3-6

 q1* = 1 - p1-2∙ p2-6-7-8 - ВО питания на пути от узла №1 на схеме замещения,

q4* = 1 - p4-5∙ p4-8-7-6 - ВО питания на пути от узла №2 на схеме замещения

 и запишем окончательно:

Q = q1*∙ q4* ; kГ(t) = P(Z = 1) = 1 - Q. (1.15)

Таблица 1.5 Расчет показателей надежности на двухлетний период эксплуатации (прогноз)

Из таблицы и графиков видно, что критерий (1.12) нарушается уже в четвертом квартале 1-го года последующей эксплуатации:

kГ(0,75) > kГдоп > kГ(1), или: 0.875 > 0,84 > 0,805

поэтому tдоп = 0,5 и техническое обслуживание (профилактическое) следует назначить либо в конце второго квартала, либо в начале третьего квартала. В данном случае данные с загрублённой схемы и с развёрнутой схемы совпали.

Часть 2. Анализ надежности и резервирование технической системы.

2.1 Введение

В сложных технических устройствах без резервирования никогда не удается достичь высокой надежности, даже используя элементы с высокими показателями безотказности.

Система со структурным резервированием - это система с избыточностью элементов, т. е. с резервными составляющими, избыточными по отношению к минимально необходимой (основной) структуре и выполняющими те же функции, что и основные элементы. В системах с резервированием работоспособность обеспечивается до тех пор, пока для замены отказавших основных элементов имеются в наличии резервные.

По способу включения резервных элементов резервирование подразделяют на два вида:

·   активное (ненагруженное) - резервные элементы вводятся в работу только после отказа основных элементов

·   пассивное (нагруженное) - резервные элементы функционируют наравне с основными (постоянно включены в работу). Этот вид резервирования достаточно широко распространен, т.к. обеспечивает самый высокий коэффициент оперативной готовности.

Кратко остановимся на расчете надежности систем с ограничением по нагрузке.

Если условия функционирования таковы, что для работоспособности системы необходимо, чтобы по меньшей мере r элементов из n были работоспособны, то число необходимых рабочих элементов равно r, резервных - (n - r). Отказ системы наступает при условии отказа (n - r + 1) элементов. Число r, в общем случае, зависит от многих факторов, но в большинстве расчетов надежности требуется обеспечить пропускную (или нагрузочную) способность системы в заданном режиме эксплуатации. При этом, отказы можно считать независимыми только тогда, когда при изменении числа находящихся в работе элементов не наблюдается перегрузки, влияющей на возможность возникновения отказа. ВБР такой системы определяется с помощью биномиального распределения.

2.2 Формулировка задания

Для заданной основной схемы электротехнического объекта следует:

·        Определить вероятность работоспособного состояния объекта для расчетного уровня нагрузки и построить зависимость данного показателя надежности от нагрузки.

·        Обеспечить заданный уровень надежности объекта резервированием его слабых звеньев с учетом требований минимальной избыточности и стоимости резервирования.

2.3 Теоретические сведения

Для повышения надежности способом структурного резервирования (повышением избыточности) предлагается использовать элементы нескольких типов, отличающихся степенью надежности, пропускной способностью и стоимостью. При этом избыточными могут быть или уровни надежности, или уровни пропускной способности, или количество элементов. Допускается также обоснованный ввод дополнительных связей.

Предлагаемый способ оценки надежности сложной установки (объекта) относится к аналитическим методам. Он основывается на общей теореме о повторении опытов теории вероятностей, подчиняющейся теоремам сложения и умножения вероятностей, формуле полной вероятности и др. [3].

Предположим сначала, что установка состоит из n одинаковых бинарных элементов, состояния которых являются независимыми, совместными событиями. В качестве производящей функции при этом используется бином Ньютона:

(p[Z]+q[0])n =

p n[nZ] +Cn1p n-1 q[(n-1)Z] +Cn2p n--2 q[(n-2)Z]…+Cnmp n-m q m[(n-m)Z] +…qn[0]= =  =  = 1. (2.1)

Здесь р - вероятность работоспособного состояния каждого из элементов, образующих объект (установку). Производительность элемента обозначается буквой Z; q = 1-p - вероятность неработоспособного состояния элемента (производительность элемента при этом равна нулю). Слагаемые

 (2.2)

представляют собой вероятности нахождения любых (п-т) элементов объекта в работоспособном состоянии, а т - в неработоспособном из-за их отказа; при этом (п-т)Z - суммарная производительность всех элементов в m-ом состоянии.

Всего состояний объекта в таком случае получается (n + 1), что намного меньше, чем 2n, если рассматривать состояния n элементов без группировки их по критерию мощности. Состояния (n + 1) составляют полную группу событий (соответствующих состояний) и поэтому сумма их вероятностей (см. формулу (2.1)) равна 1.

Для вычисления слагаемых в (2.2) можно воспользоваться рекуррентной формулой:

,

которая следует из отношения:

Pт+1 / Pт = / ,

и дает возможность использовать удобный алгоритм расчета вероятности следующего состояния по уже известной вероятности Pт предыдущего расчетного состояния.

Развитием этого метода является применение производящей функции вида:

S(Z) = , (2.3)

позволяющей рассчитывать надежность объекта, который состоит из разных по надежности элементов, отличающихся производительностью. Выражение (2.3) является более универсальным, чем (2.1), но расчеты состояний усложняются, так как должны быть перемножены между собой все двучлены и сгруппированы по одинаковой производительности (пропускной способности). Оценка работоспособности объекта в том или ином расчетном состоянии должна производиться в рамках рассматриваемого метода на основе составления и анализа так называемых структурных функций. Структурная функция - выражение, отображающее взаимосвязь групп элементов, соединенных последовательно или параллельно в смысле надежности. Последовательные и параллельные соединения элементов считаются простейшими структурами, легко заменяемыми одним эквивалентным элементом с соответствующей функцией распределения состояний элементов в группе.

Например, для системы, состоящей из двух элементов x1 и x2, число состояний равно 4. Примем также, что пропускная способность каждого элемента Zi равна нагрузке системы, тогда из (2.3) получим:

S(Z) =  = p1 p2 + p1 q2 + q1 p2 + q1 q2 (2.3а)

Рассмотрим две простейшие системы с последовательным и параллельным соединением 2-х элементов.

При последовательном соединении, как известно, вероятность работоспособного состояния равна P(α(x1, x2)) = p1 p2, где символ α обозначает структурную функцию последовательного соединения элементов. Тогда, на основании формулы полной вероятности,

Q(α(x1, x2)) = 1 - P(α(x1, x2)) = p1 q2 + q1 p2 + q1 q2.

Аналогично, при параллельном соединении, вероятность неработоспособного состояния равна Q (β(x1, x2))= q1 q2 , поэтому P (β(x1, x2)) = 1- Q (β(x1, x2)) = p1 p2 + p1 q2 + q1 p2. Здесь символом β обозначена структурная функция параллельного соединения элементов.

Рассмотрим снова систему с последовательным соединением элементов. Пропускная способность группы последовательно соединенных элементов определяется элементом с наименьшей пропускной способностью:

Z[α(x1, x2,… xi … xn)] = min{Zi, i=1,..n } (2.4)

Производящая функция вида (2.3а) с использованием введенных обозначений (структурной функции последовательного соединения), для 2-х элементов, может быть записана в виде:

α(x1, x2) = p1 p2[min { Z1, Z2}] + p1 q2[min { Z1, 0}] + q1 p2[min { 0, Z2}] + q1 q2[min { 0,0}] =

(p1 p2)[min { Z1, Z2}] + (p1 q2 + q1 p2 + q1 q2)[0] =

P(α(x1, x2))[min { Z1, Z2}] + Q(α(x1, x2)) [0] = 1. (2.4а)

Отметим, что эквивалентный последовательный элемент так же является бинарным.

Рассмотрим теперь систему с параллельным соединением элементов. Пропускная способность группы n параллельно соединенных элементов равна сумме пропускных способностей элементов:

Z n[β(x1, x2,… xi … xn)] =  (2.5)

Производящая функция вида (2.3а) с использованием введенных обозначений - структурной функции параллельного соединения, - для 2-х элементов, может быть записана в виде:

β(x1, x2) = p1 p2[ Z1+Z2] + p1 q2[ Z1+0] + q1 p2[0+ Z2] + q1 q2[0+0] =

p1 p2[ Z1+Z2] + p1 q2[ Z1] + q1 p2[Z2] + Q(β(x1, x2)) = 1. (2.5а)

Эквивалентный структурный элемент параллельного соединения будет содержать столько слагаемых, сколько различных состояний по пропускной способности может иметь этот эквивалент, поэтому в общем случае, не является бинарным.

Страницы: 1, 2, 3