Финансовые расчеты

мультипликативным шумом с постоянными коэффициентами роста и волатильности:

| |dSt = [pic]St dt +[pic]St dw(t). |(1) |

Знаменитая формула Блэка-Сколеса расчета премии стандартного опциона купли

европейского стиля, полученная для такой модели, записывается в виде

| |[pic] |(2)|

где

[pic]

Ф(x) - функция распределения стандартной нормальной случайной величины, K -

цена исполнения опциона, S0 - цена или значение базисного актива в момент

покупки опциона, r - безрисковая процентная ставка, T - оставшийся срок до

истечения контракта.

Для моделей других типов, а также для опционов американского стиля такой

простой формулы не получено. Как видим, формула Блэка-Сколеса связывает

размер премии с шестью параметрами:

Pr = Pr(S0, K, T, r, [pic],[pic]).

Премия опциона купли европейского стиля прямо пропорциональна цене

базисного актива S0, волатильности [pic], оставшемуся сроку до истечения

контракта T, безрисковой процентной ставке r и обратно пропорциональна цене

исполнения K.

Премия опциона продажи может быть записана в аналогичном виде:

| |[pic] |(3)|

При расчете премии параметр [pic] в СДУ задается по-разному в зависимости

от типа базисного актива:

. [pic]= r для опционов на акции, не выплачивающие дивиденды;

. [pic]= r-q для опционов на акции, выплачивающие дивиденды с заданной

непрерывной ставкой q;

. [pic]= r-rf для валютного опциона, причем r - безрисковая ставка

процента в валюте торговли, rf - в базисной валюте;

. [pic]= r-q для опционов на акционные индексы, где q - осредненная

ставка дивидендов, которые выплачиваются по включенным в индекс акциям

в течение срока опционного контракта;

. [pic]= 0 для опционов на фьючерсные контракты, причем здесь St -

текущая фьючерсная цена;

. [pic]= r-q для облигационных опционов, где q - приведенная купонная

процентная ставка, а St - текущая цена базисной облигации.

Фактически, выбор значений параметров [pic] и [pic] является составной

частью процедуры задания будущего гипотетического поведения цены базисного

актива при расчете премии опциона.

[pic]

На начало

Формулы для расчета премии опциона методом Монте-Карло

Основной вычислительной задачей, обычно решаемой методом Монте-Карло,

является задача оценки среднего значения некоторой случайной величины.

Применительно к расчету премии опциона купли европейского стиля метод Монте-

Карло сводится к оценке математического ожидания

| |[pic] |(4) |

В данной записи величина e-rT(ST-K)+ является дисконтированным выигрышем

держателя опциона, а в качестве премии выступает средний дисконтированный

выигрыш. В формуле (4) вместо стандартного выигрыша (ST-K)+ может

использоваться любой нестандартный выигрыш F(ST,K)[pic]0.

Премия опциона купли американского стиля может быть вычислена как

| |[pic] |(5) |

а опциона продажи как

| |[pic] |(6) |

В отличие от формулы Блэка-Сколеса, при использовании метода Монте-Карло

для расчета премии опционов по формулам (4)-(6) нет жесткой привязки к

линейному СДУ с мультипликативным шумом. В качестве математической модели

цены конкретного базисного актива St может использоваться любое из

исследованных ранее СДУ, дающее оценки премии, более походящие при торговле

конкретным опционным контрактом на конкретной бирже.

Для расчета премии опционов американского стиля необходимо построить на

интервале моделирования [0,T] равномерную сетку, оценить стандартным

образом дисконтированный средний выигрыш [pic] или [pic] во всех узлах

сетки и в качестве премии принять максимальное значение сеточной функции

{Pt}. Премия опциона европейского стиля совпадает с PT, а значит, она не

может превышать премию соответствующего опциона американского стиля.

Заметим, что величина P0 совпадает с внутренней стоимостью опциона.

Принятие решения, какая модель расчета премии лучше подходит для реальной

торговли конкретными опционами на конкретной бирже, связано с большими

предварительными расчетами и сравнениями, и в основном опирается на

накопленный опыт, а не на статистические критерии проверки гипотез.

Хеджирующая стратегия

Рассуждения о справедливой стоимости опциона основываются на предположении,

что подписчик опциона за весь срок контракта будет использовать хеджирующую

стратегию, обеспечивающую ему гарантированный выигрыш или хотя бы

отсутствие проигрыша при исполнении опциона держателем. На момент

подписания в распоряжении подписчика опциона купли находится портфель из

наличных и акций, общая стоимость которого совпадает с размером полученной

премии Prcall. Подписчик наличные может положить в банк под безрисковый

процент r, а также может изменять соотношение между количеством наличных и

акций путем покупки или продажи акций. Таким образом, стоимость портфеля

подписчика изменяется во времени в соответствии с формулой

| |[pic] |(7) |

где коэффициент [pic] определяет сумму стоимостей на банковском счете на

момент времени t, а коэффициент хеджа [pic] определяет сумму в акциях. В

данном способе формирования портфеля нет ограничений на возможные значения

коэффициентов [pic] и [pic], т.е. допускается занятие в долг. Коэффициент

хеджа [pic] в формуле (7) выступает в качестве меры корреляции между

стоимостью хеджирующего портфеля и ценой базисного актива в любой момент

действия опционного контракта. Под минимальным хеджем понимается

хеджирующая стратегия, обеспечивающая гарантированные опционные платежи при

минимальной премии.

Для опциона купли европейского стиля на акции без выплаты дивидендов Блэк и

Сколес получили формулы для коэффициентов [pic] и [pic] для минимального

хеджа:

| |[pic] |(8)|

| |[pic] |(9)|

Формулы получены исходя из предположения, что в любой момент времени t

стоимость портфеля Xt совпадает со справедливой стоимостью опциона на

текущий момент времени при известной текущей стоимости базисной акции St.

Для опциона купли американского стиля стоимость минимального хеджирующего

портфеля в любой момент времени может быть определена как условное

математическое ожидание

| |[pic] |(10) |

а для опциона продажи как

| |[pic] |(11) |

Расчет коэффициентов чувствительности премии к изменениям параметров

На рынке наблюдаются постоянные изменения цены базисного актива опциона. В

результате соответственно изменяется стоимость опциона. Коэффициент

"дельта" представляет собой отношение изменения стоимости опциона,

вызванное изменением цены базисного актива, к изменению цены актива:

[pic]

Коэффициент [pic] показывает, в какой мере изменится стоимость опциона при

изменении цены базисного актива на один пункт. Теоретически, но не на

практике, стоимость опциона не может увеличиться или уменьшиться в большей

степени, чем стоимость актива, лежащего в основе контракта. Это значит, что

должны выполняться неравенства 0[pic][pic][pic]1 для опциона купли и

-1[pic][pic][pic]0 для опциона продажи. То, что для опциона продажи

коэффициент [pic] имеет отрицательное значение означает, что стоимость

опциона изменяется в противоположном направлении относительно цены

базисного актива. Опциону продажи с [pic][pic]-1 соответствует большой

выигрыш, а с [pic][pic]0 большой проигрыш. Сравнивая [pic] и коэффициент

хеджа [pic], видим, что [pic]=[pic]. Кроме коэффициента [pic] с премией

опциона связаны такие коэффициенты, как [pic], [pic], [pic] и [pic].

Заметим, что знание справедливой стоимости опциона имеет малое значение при

спекулятивных операциях с опционами. Однако при формировании хеджирующих

или арбитражных стратегий с различными опционами модели ценообразования

опционов становятся более полезными, так как позволяют сравнивать опционы

между собой по стоимости.

[pic]

На начало

Оценка неизвестных параметров математической модели цены

Исторической волатильностью называется оценка волатильности по результатам

наблюдений за ценой финансового инструмента на некотором прошедшем периоде

времени. А подразумеваемая волатильность - это волатильность цены базисного

актива, соответствующая рыночной стоимости опциона за вычетом внутренней

стоимости в рамках используемой теоретической модели расчета стоимости

опциона. Подразумеваемая волатильность не связана с текущей ценой базисного

актива. Сравнивая историческую и подразумеваемую волатильность, биржевые

торговцы делают вывод о завышенной или заниженной рыночной стоимости

опциона, что позволяет сравнивать различные опционы между собой.

Задание прогнозируемой волатильности, используемой при расчете справедливой

стоимости опциона, считается высшим искусством в ценообразовании опционов,

хотя это всего лишь один из элементов процедуры задания гипотетической

рыночной ситуации. Основой для задания прогнозируемой волатильности все же

служит оценка исторической волатильности цены базисного актива. Для СДУ (1)

оценка максимального правдоподобия исторической волатильности по данным

дискретных наблюдений за стоимостью или значением базисного актива хорошо

известна:

| |[pic] |(12)|

где

[pic]

{tn} - неравномерная сетка по времени на интервале наблюдения [0,Tdata],

Ndata - количество дискретных наблюдений {Sn} на этом интервале, hn = tn+1

- tn - интервал времени между наблюдениями Sn+1 и Sn. Оценку

параметра [pic] также несложно получить:

| |[pic] |(13) |

При оценке исторической волатильности обычно используют несколько различных

периодов наблюдения [0,Tdata], так как замечено, что оценка [pic] в модели

Блэка-Сколеса сильно зависит от объема используемых данных Ndata, т.е. от

числа дней торговли, учитываемых при оценке. Оценка [pic] разная для данных

о цене базисного актива за последний месяц, за последний квартал, за

последние полгода и т.д. Чем больший период наблюдения [0,Tdata]

используется при оценке, тем более осредненная оценка исторической

волатильности получается.

[pic]

На начало

Расчет премии подписчика опциона методом Монте-Карло

Метод Монте-Карло, в отличие от аналитического "мартингального" метода,

позволяет при расчете премии опциона использовать в качестве математической

модели цены базисного актива любую линейную или нелинейную систему СДУ, а

не только скалярное линейное СДУ с мультипликативным шумом с постоянными

коэффициентами роста и волатильности, любую нестандартную функцию выплаты,

любую формулу оценки премии и любую, не обязательно хеджирующую, стратегию

формирования портфеля подписчиком опциона. Все ниже перечисленные

вычисления, связанные с опционами европейского и американского стиля, могут

быть осуществлены методом Монте-Карло:

. расчет премии опциона для заданных параметров опциона;

. определение зависимости премии опциона от изменения параметров

опциона;

. определение зависимости премии опциона от используемой математической

модели цены или значения базисного актива;

. моделирование хеджирующей стратегии и расчет коэффициента хеджа;

. расчет коэффициентов чувствительности [pic], [pic], [pic], [pic]

и [pic] для заданных параметров опциона;

. моделирование динамики премии опциона при случайных флуктуациях цены

базисного актива и безрисковой процентной ставки.

На рис.1 приведены графики зависимости премий стандартных опционов купли и

продажи европейского стиля на акции с выплатой дивидендов от оставшегося

времени до истечения контракта T, а на рис.2 - от цены исполнения K.

Выплата дивидендов в модели учитывается посредством непрерывной процентной

ставки q=10%.

[pic]

Рис.1. Зависимость премии опционов купли и продажи европейского стиля от

времени до истечения контракта

Расчеты получены по формулам Блэка-Сколеса при S0=40, K=42, T=0.5,

r=25%, [pic]=15%, [pic]=33.5% с использованием простейшей квадратурной

формулы прямоугольников для вычисления интегралов. Для таких параметров

опционов получены следующие величины премий: Prcall = 4.058, Prput = 3.073.

[pic]

Рис.2. Зависимость премии опционов купли и продажи европейского стиля от

цены исполнения

Согласно неравенству Чебышева, погрешность оценки премии методом Монте-

Карло убывает пропорционально [pic] , где Nsample - объем моделируемых

траекторий решения СДУ. Это значит, что при необходимости увеличения

точности расчета премии в 10 раз, объем моделируемых траекторий потребуется

увеличить в 100 раз. Например, для приведенных выше параметров опциона при

Nsample=100 получены оценки премий Prcall = 3.523, Prput = 3.185, при

Nsample = 10000 имеем Prcall = 4.138, Prput = 3.077, а при Nsample =

1000000 имеем не менее двух цифр после запятой, совпадающих с расчетом по

формулам Блэка-Сколеса: Prcall =4.058, Prput =3.070. При статистическом

моделировании значений ST использовалась точная формула

| |[pic] |(14) |

с шагом h = 0.5.

На рис.3 приведены графики дисконтированного среднего выигрыша Pt для

опционов купли и продажи американского стиля, полученные для приведенных

выше параметров опциона при объеме выборки Nsample = 100000. При

моделировании значений St использовалась формула (14) с шагом h = 0.025.

[pic]

Рис.3. Дисконтированный средний выигрыш Pt для опционов купли и продажи

американского стиля

Как видно из рисунка, максимальное значение дисконтированного среднего

выигрыша для обоих опционов достигается в конце интервала [0,T]. Это

означает, что при выбранных параметрах премии опционов купли и продажи

европейского и американского стиля совпадают и равны Prcall = 4.06, Prput =

3.07.

В реальной жизни в каждом опционном классе премию приходится рассчитывать

для целого набора цен исполнения, предлагаемых администрацией биржи перед

торгами. Для метода Монте-Карло это означает, что необходимо провести

расчеты премии последовательно для всех цен исполнения. Но так как цена

базисного актива St не зависит от цены исполнения К, то расчет премий для

разных К может осуществляться одновременно на одном и том же моделируемом

ансамбле траекторий СДУ, что значительно снижает трудоемкость алгоритма. На

рис.4 приведены графики зависимости премии опционов продажи американского и

европейского стиля от цены исполнения. Как видно из рисунка, премии

опционов американского и европейского стиля совпадают до тех пор, пока цена

исполнения K [pic] 44, а затем премия опциона американского стиля

постепенно начинает превышать премию опциона европейского стиля, причем

разрыв увеличивается с ростом цены исполнения. Фактически, при K>44 премия

опциона продажи американского стиля совпадает с внутренней стоимостью

опциона: Prput = K - S0. Расчеты проведены при объеме выборки Nsample =

100000. При статистическом моделировании значений St использовалась формула

(14) с h=0.025.

[pic]

Рис.4. Зависимость премии опционов продажи американского и европейского

стиля от цены исполнения

Одним из наиболее серьезных рисков для подписчика опциона является неточная

оценка будущей волатильности цены или значения базисного актива, так как

это может привести к значительной ошибке в оценке стоимости опциона. В

связи с этим желательно знать степень зависимости премии от изменения

величины волатильности. Для получения такой зависимости методом Монте-Карло

для каждого значения [pic] приходится моделировать свой ансамбль траекторий

СДУ. На рис.5 приведены графики зависимости премии опционов продажи

американского и европейского стиля от величины волатильности. Как видно из

рисунка, премия опциона американского стиля превышает премию опциона

европейского стиля, пока волатильность меньше 25%. При [pic]< 22% премия

опциона продажи американского стиля совпадает с внутренней стоимостью

опциона: Prput = K - S0 = 2.

[pic]

Рис.5. Зависимость премии опционов продажи американского и европейского

стиля от волатильности

Большой интерес представляет чувствительность премии опциона к движениям

начальной цены базисного актива. Для метода Монте-Карло ситуация схожа с

предыдущей: для каждого значения начальной цены S0 необходимо моделировать

свой ансамбль траекторий СДУ. На рис.6 приведены графики зависимости премии

опционов продажи американского и европейского стиля от цены акции. Как

видно из рисунка, премия опциона американского стиля превышает премию

опциона европейского стиля, пока цена акции менее 38. При S0<38 премия

опциона продажи американского стиля совпадает с внутренней стоимостью

опциона.

[pic]

Рис.6. Зависимость премии опционов продажи американского и европейского

стиля от цены акции

Все предыдущие расчеты были связаны с линейной непрерывной моделью цены

базисного актива (1). Оценим премию опциона купли американского стиля,

основываясь на дискретной модели цены базисного актива

[pic]

при [pic]=0.5 и [pic]=199.4%. Дисконтирование выигрыша держателя опциона

выполним для простой процентной ставки:

[pic]

На рис.7 приведены графики зависимости премии опциона купли американского

стиля от цены исполнения, вычисленные по линейной непрерывной и нелинейной

дискретной модели цены базисного актива. Решение о том, какая из этих двух

моделей лучше соответствует реальным данным, принимается в каждом

конкретном случае.

[pic]

Рис.7. Премия опциона купли американского стиля для непрерывной и

нелинейной дискретной модели

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7