Развитие и взаимное влияние математики, философии и искусства

воспринять понятие цвета; он слышит, что небо является голубым и вдруг

“открывает”, что и некоторые другие вещи тоже являются голубыми.

Развитие нашего научного понимания мира происходит по такой же схеме.

Да, многие фракталы нам знакомы, но до самого последнего времени в нашем

научном представлении о мире им не находилось места. Это представление

восходит еще к Галилео Галилею, чье мастерство владения абстракцией,

вступающей в противоречие с интуицией, дает пример современного научного

рассуждения. Его кредо, сформулированное им самим в 1623 году, гласит:

Вся наука записана а этой великой книге - я имею в виду Вселенную, -

которая всегда открыта для нас, но которую нельзя понять, не научившись

понимать язык, на котором она написана. А написана она на языке

математики, и ее буквами являются треугольники, окружности и другие

геометрические фигуры, без которых человеку невозможно разобрать ни одного

ее слова; без них он подобен блуждающему во тьме. Понадобилось почти

350 лет, чтобы выйти за рамки галилеевского представления - до тех пор,

пока Бенуа Мандельброт не разработал понятие фрактала. Бросая взгляд в

прошлое, он размышлял в 1984 году:

Почему геометрию часто называют холодной и сухой? Одна из причин

заключается в ее неспособности описать форму облака, горы, дерева или

берега моря. Облака - это не сферы, горы - это не конусы, линии берега -

это не окружности, и кора не является гладкой, и молния не

распространяется по прямой... Природа демонстрирует нам не просто более

высокую степень, а совсем другой уровень сложности. Число различных

масштабов длин в структурах всегда бесконечно.

Математическое понятие фрактала выделяет объекты, обладающие

структурами различных масштабов, как больших, так и малых, и, таким

образом, отражает иерархический принцип организации. В основе этого

понятия содержится одна важная идеализация действительности: фрактальные

объекты самоподобны, т. е. их вид не претерпевает существенных изменений

при разглядывании их через микроскоп с любым увеличением. Хотя эта

идеализация и может оказаться слишком большим упрощением

действительности, она на порядок увеличивает глубину нашего

математического описания природы. Исследования Мандельброта получили

широкую известность после открытия им в 1980 году множества, носящего

теперь его имя. Он обнаружил принцип, с помощью которого несколько

неожиданным путем образуется целый мир самоподобных структур.

Эта причудливая форма (см. рис.1) может оказаться одним из ключевых

элементов некоторой новой “натуральной” математики, так же, как прямая

линия является одним из основных элементов евклидовой геометрии.

Возможно, наиболее убедительный аргумент в пользу изучения фракталов

- это их бросающаяся в глаза красота.

Глава 2

МЫШЛЕНИЕ В ОБРАЗАХ

Рассматриваемые здесь процессы возникают в различных физических и

математических задачах. Все они имеют одно обшее - это конкуренцию

нескольких центров за доминирование на плоскости. Простые границы между

территориями в результате такого соперничества возникают редко. Чаше имеет

место нескончаемое филигранное переплетение и непрекращающаяся борьба даже

за самые малые участки.

Именно в этой пограничной области происходит переход от одной формы

существования к другой: от порядка к беспорядку, от намагниченного

состояния к ненамагниченному в зависимости от интерпретации тех сущностей,

которые примыкают к границе. Пограничные области в большей или меньшей мере

замысловато зависят от условий, характеризующих изучаемый процесс. Порой

возникает третий конкурент, который пользуется разногласиями двух других и

насаждает свою область влияния. Может случиться, что один центр захватит

всю плоскость, но и его власть имеет “границы” в виде изолированных точек,

которые неподвластны его притяжению. Это, так сказать, “диссиденты”, не

желающие “принадлежать”.

Рисунки представляют процессы, являющиеся, конечно, весьма

упрошенной идеализацией действительности. Они преувеличивают некоторые

свойства, чтобы сделать их более ясными. Например, нет ни одной реальной

структуры, которую можно было бы последовательно увеличивать бесконечное

число раз и которая выглядела бы при этом неизменной. Тем не менее принцип

самоподобия в приближенном виде имеется в природе: в линиях берегов морей

и рек, в очертаниях облаков и деревьев, в турбулентном потоке жидкости и в

иерархической организации живых систем. А открыл нам глаза на эту

фрактальную геометрию природы Бенуа Б. Мандельброт. На самом деле

процессы, порождающие такие структуры, довольно давно изучаются в

математике и физике. Это обычные процессы с обратной связью, в которых одна

и та же операция выполняется снова и снова, когда результат одной

итерации является начальным значением для следующей:

C

[pic]

[pic]

[pic]

и

и

Единственное, что при этом требуется - нелинейная зависимость между

результатом и начальным значением, т. е. динамический закон [pic] должен

быть более сложным, чем простая пропорциональность [pic]. Схематическая

диаграмма указывает на то, что правило[pic] зависит от параметра c,

влияние которого будет обсуждаться ниже.

Если начать итерационный процесс указанного вида с некоторого

произвольного значения [pic], то его результатом будет

последовательность[pic], поведение которой по истечении достаточно

большого периода времени и будет составлять предмет нашего интереса. Будет

ли последовательность сходиться к некоторому предельному значению Х,

стремясь к состоянию покоя? Придет ли она к некоторому циклу значений,

которые будут повторяться вновь и вновь? Или эта последовательность все

время ведет себя беспорядочно, хотя и определена динамическим законом и

конкретным начальным значением, но тем не менее непредсказуема?

Процессы указанного вида обнаруживаются в любой точной науке. Так,

описание явлений природы с помощью дифференциальных уравнений, которое

ввели около 300 лет назад Исаак Ньютон и Готтфрид В. Лейбниц, основано на

принципе обратной связи. Динамический закон определяет положение и

скорость частицы в данный момент времени через их значения в предыдущий

момент. Движение частицы понимается как реализация этого закона.

Несущественно, будет ли процесс дискретным, т. е. осуществляемым по шагам,

либо непрерывным. Физикам нравится мыслить в терминах

инфинитезимальных единиц времени: Natura non facit saltus (“Природа не

делает скачков”). Биологи, напротив, часто предпочитают рассматривать

изменения от года к году или от поколения к поколению. Очевидно,

допустимы обе точки зрения, а выбор подходящего описания определяется

обстоятельствами.

Глава 3

СЦЕНАРИЙ ПРОНИКНОВЕНИЯ В ХАОС

Рассмотрим пример. Рост некоторой популяции за несколько лет обычно

описывают при помощи коэффициента прироста, т. е. отношения ежегодного

прироста численности популяции к ее общей численности. Если эта величина

остается постоянной в течение всего периода времени, то говорят, что закон

роста является линейным, а сам рост называют экспоненциальным. Например,

при коэффициенте прироста в 5% популяция удваивает свою численность

каждые 14 лет. Законы такого типа, однако, применимы только на

ограниченных промежутках времени. Для роста всегда существуют пределы.

Одним из первых обратил на это внимание П. Ф. Ферхюльст,

сформулировав в 1845 году закон, содержащий ограничение на рост. Он

объяснил это тем, что любая экологическая ниша может обеспечить

существование популяции только определенного максимального размера Х и что

коэффициент прироста должен снижаться, когда размеры популяции приближаются

к Х. Таким образом, он пришел к необходимости рассматривать переменный

коэффициент прироста. В результате этого процесс становился нелинейным,

что коренным образом изменило его динамическое поведение.

Прошло более ста лет, прежде чем были осознаны все вытекающие из этого

проблемы. При малых коэффициентах прироста, очевидно, ничего особенного не

произойдет: численность популяции будет просто регулироваться так, чтобы

достичь оптимального значения Х, увеличиваясь когда она меньше его, и

уменьшаясь, когда больше. Однако, как только коэффициент превысит 200%,

нас ожидают сюрпризы.

Существуют ли в природе такие большие коэффициенты прироста? Конечно,

человеческая популяция так быстро не растет, но для определенных видов

насекомых такой коэффициент не является необычным. Важно то, что в

последние 20 лет закон Ферхюльста нашел применение для значительно более

широкого круга явлений, чем представлял себе сам Ферхюльст.

Эдвард Н. Лоренц, метеоролог из Массачусетского технологического

института, обнаружил в 1963 году, что именно этот закон описывает

некоторые свойства турбулентного потока, в частности когда коэффициент

велик. Затем теоретические исследования по лазерной физике,

гидродинамике и кинотике химических реакций продемонстрировали

принципиальный характер этого закона, и предсказанные им сценарии были

обнаружены в экспериментах.

Но как же ведет себя процесс Ферхюльста, когда коэффициент

становится большим? Подробный анализ очень сложен.

Упомянем только наиболее важные результаты. Когда параметры роста

превысят 200%, становится невозможным достижение оптимальной численности X.

Когда популяция мала, энергичный рост неизменно приводит к превышению

оптимального размера, что вызывает ответную реакцию, в результате которого

популяция уменьшается до размеров, значительно меньших X. После этого

появляются устойчивые колебания между двумя размерами, большим и меньшим.

Когда параметр роста превысит 245%, происходит дальнейшее усложнение

поведения. Колебания происходят сначала между 4, затем 8, затем 16

различными величинами численности популяции и так далее, до тех пор пока

для параметров, больших 257%, не возникает хаос.

Что мы понимаем под хаосом? Попросту говоря, система выходит из под

контроля. Не существует способа предсказать ее поведение на длительное

время. Беспорядочные скачки вверх и вниз упорно продолжаются и никогда

не превратятся в упорядоченную последовательность. Чтобы понять

удивление, которое испытал Лоренц при этом открытии, напомним, что никакой

неопределенности не предполагается. Процесс по-прежнему описывается

законом Ферхюльста, последовательность определена своим начальным значением

- и все же ее поведение невозможно предсказать, остается предоставить

процессу развиваться самому по себе.

Эта очень тонкая ситуация требует некоторого более подробного

объяснения. Утверждение о том, что последовательность определена своим

начальным значением, подразумевает возможность определения последующих

значений с бесконечной точностью. Это является верным только “в принципе”.

Любое реальное описание начальной величины, например ее представление в

компьютере можно получить только с конечной точностью. Изучаемый процесс

можно сравнить с получением информации: чем дольше мы его будем

наблюдать, тем лучше будем знать в ретроспективе точную величину

начального значения.

И все же наиболее впечатляющим в динамике Ферхюльста является не хаос

как таковой, а сценарий, по которому порядок превращается в хаос. Имеет ли

смысл точно определять значения параметров роста, при которых происходят

бифуркации от колебаний периода [pic] к колебаниям периода [pic]? Кому это

нужно?

Но педантичность часто стояла у колыбели важных открытий. Иоганн Кеплер

не открыл бы эллиптической формы орбит движения планет, если бы не был

обеспокоен небольшим отклонением в 8 угловых минут орбиты Марса от

предсказаний теории Птоломея. Фридрих Вильгельм Бессель не смог бы

определить расстояние от Солнца до ближайших неподвижных звезд, не

научившись точнейшему использованию чисел и таблиц во время своего

ученичества у одного из бременских торговцев. Научная работа всегда

зависит от самого скрупулезного внимания к деталям даже тогда, когда

становится ясной качественная сторона. А как известно всем, кому

приходилось искать ошибки в какой-либо программе, для этого нет лучшего

инструмента, чем компьютер.

При точном анализе точек бифуркации в процессе Ферхюльста

обнаруживается закономерность, имеющая исключительное значение в мире

нелинейных явлений. Закономерность касается длин интервалов значений

параметра, при которых устойчивым является периодическое движение с

некоторым определенным периодом. Эти интервалы сокращаются при каждом

удвоении периода, причем множитель, характеризующий сокращение,

приближается к универсальному значению

[pic]= 4.669201660910...,

когда период растет.

Это число, первые десятичные знаки которого были впервые

опубликованы Гроссманном и Томэ в 1977 году, появляется снова и снова во

многих других процессах. Оно является такой же характеристикой для

сценариев удвоения периодов, как число [pic] для отношения длины

окружности к ее диаметру. Это число называют теперь “числом

Фейгенбаума”. Митчел Фейгенбаум проделал вычисления на своем

калькуляторе в Лос Аламосе для целого ряда различных процессов и получил в

каждом случае один и тот же множитель. Он открыл универсальность этого

числа.

Это открытие вызвало невероятную активность ученых во многих областях

науки. Было поставлено огромное число экспериментов, показавших, что

сценарий удвоения периода действительно наблюдается во многих естественных

системах. Это и начало турбулентности в потоке жидкости, и нелинейные

колебания в химических или электрических сетях, и даже переход нормального

ритма сердца в угрожающую жизни фибрилляцию. И мы просто не в

состоянии перечислить все группы в США, Франции, ФРГ или где-либо еще,

продемонстрировавшие, что существенные аспекты динамики сложных систем

можно свести к поведению, пример которого дает уравнение Ферхюльста.

На теорию это оказало не менее сильное воздействие. Математики все еще

пытаются до конца понять эту неожиданную универсальность. Но, по-

видимому, более важно, что она породила надежду на то, что нелинейные

явления не лежат за пределами систематизации и научной классификации.

Одним из первых, кто осознал важность изучения процесса Ферхюльста,

был биолог Роберт М. Мэй. Еще в 1976 году он писал:

Поэтому я настоятельно советую, чтобы люди знакомились, скажем (с

уравнением Ферхюльста), на раннем этапе своего обучения математике. Это

уравнение можно изучать феноменологически, итерируя его на калькуляторе

или даже вручную. Его изучение даже не требует всего множества сложных

понятий, какие используются в элементарном анализе. Такое изучение очень

обогащало бы интуитивные представления учащегося о нелинейных системах.

Для всех нас было бы лучше, если бы не только в научной работе, но и в

повседневной политической и экономической жизни как можно больше людей

поняло, что простые нелинейные системы не всегда обладают простыми

динамическими свойствами.

Глава 4

ПОГРАНИЧНЫЕ СТЫЧКИ:

ХАОС, ВОЗНИКАЮЩИЙ ИЗ КОНКУРЕНЦИИ

Для понимания нелинейных явлений бифуркационный сценарий приобретает

фундаментальное значение. Анализ процесса Ферхюльста превратил идею

детерминированного хаоса в важный предмет обсуждения и выявил некоторые

универсальные свойства сложных динамических процессов. Универсальность

следует истолковывать правильно. Конечно, существуют и другие пути к хаосу;

на самом деле были открыты и другие сценарии столь же общего характера.

Понятие универсальности отчасти отражает тенденцию физиков и математиков

использовать слова, звучащие многозначительно.

На самом деле оно означает, что некоторое поведение является типичным,

и это более или менее удивительная находка среди всего многообразия

систем.

Крайне желательно установить принципы, характеризующие соотношения

между индивидуальными сценариями. Бенуа Б. Мандельброту это удалось

сделать в 1980 году, когда он обнаружил множество, носящее теперь его имя.

Это не просто причудливая фигура, которая кому-то кажется прекрасной, а

кому-то безобразной; множество Мандельброта воплощает в себе более общий,

чем универсальность Фейгенбаума, принцип перехода от порядка к хаосу.

Здесь, как это часто бывает в математике, обнаруживается связь

эстетической привлекательности с фундаментальным значением.

Идея, использованная Мандельбротом, состояла в том, чтобы вместо

действительных чисел рассмотреть комплексные и наблюдать процесс

[pic]... не на прямой, а в плоскости. Даже человеку, не знакомому с

комплексными числами, не сложно понять суть этого процесса: достаточно лишь

представить себе, что правило[pic] указывает, куда должна переместиться

точка в плоскости, а не на прямой. Конкретный вид правила не является

существенным, поскольку, как мы увидим, различные правила могут

порождать то же самое множество Мандельброта. Более важным является то,

что переход от порядка к хаосу описывается с более общей точки зрения. В

центре внимания оказалась природа границ между различными областями.

Можно представить себе центры - аттракторы - которые ведут борьбу за

влияние на плоскости; любая начальная точка [pic] либо в течение процесса

приходит к тому или другому центру, либо лежит на границе и не может

принять определенное решение. С изменением параметра изменяются и области,

принадлежащие аттракторам, а вместе с ними и границы. Может случиться, что

граница превратится в пыль, и такой распад представляет собой один из

наиболее важных сценариев.

Процесс Мандельброта математически эквивалентен процессу Ферхюльста.

Формула такая же простая:

[pic]

Выбрав произвольное число [pic], возведем его в квадрат и прибавим

константу с для того, чтобы получить [pic]; затем повторим вычисления для

того, чтобы получить [pic] и т. д. Это под силу каждому. Но никто не

ожидал, что в таком итерировании может скрываться столько загадочной

красоты.

Глава 5

НАУКА И / ИЛИ ИСКУССТВО?

За годы попыток представить свои работы заинтересованной

общественности ученые поняли, что художественная деятельность тоже может

принести научные плоды. Или все клятвенные заверения математиков и физиков-

теоретиков об эстетической компоненте их науки это лишь слова?

Американские математики Филипп Дж. Дэвис и Рюбен Херш писали:

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5