Учебное пособие: Физика. Механика

Решение. При подъеме груза с ускорением на него действуют две силы: сила тяжести , направления вниз, и сила тяжести каната  – вверх (рис. 1). Ускорение, получаемое грузом, вызывается равнодействующей этих сил.

Рис. 1

Если принять направление вверх за положительное, то согласно второму закону Ньютона можно написать:

, откуда .

Выразив силу тяжести груза через его массу, получим

          (1)

Ускорение при равноускоренном движении определяется из соотношения

,            (2)

где - начальная скорость; - конечная скорость; t – время изменения скорости.

Так как начальная скорость равна нулю, то

.                  (3)

подставив в формулу (1) выражение для  из (3), получим

.                 (4)

Выразим числовые значения величин в СИ: =1,5 т, т=1,5∙103 кг, =3,6 м/с, t=2 с.

Проверим единицы правой и левой частей расчетной формулы (4), чтобы убедиться, что они совпадают. Для этого подставляем в формулу вместо величин их единицы в СИ: Н=кг (м/с2+м/с∙с)=кг∙м/с2, Н=Н.

Подставим числовые значения в (4) и вычислим

 кН.

Пример 2. Вагон массой =20 т, движущийся равнозамедленно с начальной скоростью =36 км/ч, под действием силы трения =6 кН через некоторое время останавливается. Найти: 1) расстояние, которое пройдет вагон до остановки; 2) работу сил трения.

Решение. 1. пройденный путь можно определить из соотношения

,                 (1)

где - конечная скорость, - ускорение.

Если учесть, что конечная скорость равна нулю, а ускорение отрицательно, получим ,

.                 (2)

Ускорение  найдем по второму закону Ньютона:

.                  (3)

В нашем случае - сила трения.

Подставив в формулу (2) выражение для  из (3), получим

.               (4)

Выпишем числовые значения величин в СИ: =36 км/ч=10 м/с; =20 т=2∙104 кг; =6 кН=6∙103 Н.

Проверим единицы правой и левой частей расчетной формулы (4), чтобы убедиться, что эти единицы совпадают. Для этого подставляем в формулу вместо величин их единицы в Международной системе: м=м2∙кг∙с2/(с2∙кг∙м), м=м.

Подставим числовые значения в (4) и вычислим

 м.

2. Работу сил трения определим по формуле

,                 (5)

где - путь, пройденный телом за время действия силы.

После подстановки числовых значений получим .

Пример 3. Шарик массой =100 г упал с высоты =2,5 м на горизонтальную плиту и отскочил от нее вследствие упругого удара без потери скорости. Определить среднюю скорость <F>, действовавшую на шарик при ударе, если продолжительность удара =0,1 с.

Решение. По второму закону Ньютона произведение средней силы на время ее действия равно изменению импульса тела, вызванного этой силой, т.е.

,                  (1)

где  и  - скорости тела до и после действия силы;  - время, в течение которого действовала сила.

Из (1) получим

             (2)

Если учесть, что скорость  численно равна скорости  и противоположна ей по направлению, то формула (2) примет вид:

.

Так как шарик упал с высоты , то его скорость при ударе

.

С учетом этого получим

.

Подставив сюда числовые значения, найдем

Н=-14Н.

Знак «минус» показывает, что сила направлена противоположно скорости падения шарика.

Пример 4. Для подъема воды из колодца глубиной =20 м установили насос мощностью =3,7 кВт. Определить массу и объем воды, поднятой за время =7 ч, если к.п.д. насоса =80%.

Решение. Известно, что мощность насоса с учетом к.п.д. определяется формулой

,                          (1)

где  - работа, совершенная за время ; - коэффициент полезного действия.

Работа, совершенная при подъеме груза без ускорения на высоту , равна потенциальной энергии , которой обладает груз на этой высоте, т.е.

          (2)

где  - ускорение свободного падения.

Подставив выражение работы  по (2) в (1), получим

,

откуда

                (3)

Выразим числовые значения величин, входящих в формулу (3), в единицах СИ: =3,7 кВт = 3,7∙103 Вт; =7 ч = 2,52∙104 с; =80%=0,8; =20 м.

Проверим единицы правой и левой частей расчетной формулы (3):

кг∙кг∙м2∙с2/(с3∙м∙м), кг=кг

Вычислим

кг=3,80∙105 кг=380 т.

Чтобы определить объем воды, надо ее массу разделить на плотность

м3=380 м3.

Пример 5. Искусственный спутник Земли движется по круговой орбите на высоте =700 км. Определить скорость его движения. Радиус Земли =6,37∙106 м, масса ее =5,98∙1024 кг.

Решение. На спутник, как и на всякое тело, движущееся по круговой орбите, действует центростремительная сила

,              (1)

где  - масса спутника; V- скорость его движения;  - радиус кривизны траектории.

Если пренебречь сопротивлением среды и силами тяготения со стороны всех небесных тел, то можно считать, что единственной силой является сила  притяжения между спутником и Землей. Эта сила и играет роль центростремительной силы.

Согласно закону всемирного тяготения

,            (2)

где - гравитационная постоянная.

Приравняв правые части (1) и (2), получим

.

Отсюда скорость спутника

.                   (3)

Выпишем числовые значения величин в СИ:  = 6,67*10-11 м3/(кг∙с2); =5,98∙1024∙кг;  = 6,37∙106 м;  = 700 км = 7∙105 м.

Проверим единицы правой и левой частей расчетной формулы (3), чтобы убедиться, что эти единицы совпадают. Для этого подставляем в формулу вместо величин их размерность в Международной системе:

Вычислим

Пример 6. Маховик в виде сплошного диска массой т = 80 кг с радиусом  = 50 см начал вращаться равноускоренно под действием вращающего момента  = 20 Н∙м. Определить: 1) угловое ускорение; 2) кинетическую энергию, приобретенную маховиком за время  = 10 с от начала вращения.

Решение. 1. Из основного уравнения динамики вращательного движения ,

где  - момент инерции маховика;  - угловое ускорение, получим

                  (1)

Известно, что момент инерции диска определяется формулой

             (2)

Подставив выражение для  из (2) в (1), получим

               (3)

Выразим величины в единицах СИ:  = 20 Н∙м; т = 80 кг;  = 50 см = 0,5 м.

Проверим единицы правой и левой частей расчетной формулы (3):

1/c2 = кг х м2/(с2х кг х м2) = 1/с2

Вычислим

2. Кинетическая энергия вращающегося тела выражается формулой:

               (4)

где  - угловая скорость тела.

При равноускоренном вращении угловая скорость связана с угловым ускорением соотношением

           (5)

где  - угловая скорость в момент времени ; - начальная угловая скорость.

Так как по условию задачи =0, то из (5) следует

                  (6)

Подставив выражение для  из (6),  из (2) в (4), получим

          (7)

Проверим единицы правой и левой частей формулы (7):  

Вычислим

Пример 7. Уравнение колеблющейся точки имеет вид .(смещение в сантиметрах, время в секундах). Определить: 1) амплитуду колебания, круговую частоту, период и начальную фазу; 2) смещение точки в момент времени  с; 3) максимальную скорость и максимальное ускорение.

Решение. 1. Напишем уравнение гармонического колебательного движения в общем виде

             (1)

где х - смещение колеблющейся точки; А - амплитуда колебания; -круговая частота;  - время колебания; - начальная фаза.

Сравнивая заданное уравнение с уравнением (1), выпишем: А=3 см,

Период колебания определяется из соотношения

откуда

.                 (2)

Подставляя в (2) значение , получим

2. Для определения смещения подставим в заданное уравнение значение времени:

 см.

3. Скорость колебательного движения найдем, взяв первую производную от смещения колеблющейся точки:

(Максимальное значение скорость будет иметь при =1:

Ускорение есть первая производная от скорости по времени:

Максимальное значение ускорения

Знак «минус» показывает, что ускорение направлено в сторону, противоположную смещению.

6. Контрольная работа

Каждый студент должен решить 10 задач. Номер варианта определяется по двум последним цифрам шифра. Чтобы найти задачи своего варианта, надо отыскать в таблице клетку, образуемую при пересечении горизонтальной строки, обозначенной цифрой, совпадающей с предпоследней цифрой шифра и вертикального столбца, обозначенного цифрой, совпадающей с последней цифрой шифра. В найденной таким образом клетке указаны задачи данного варианта. Например, пусть шифр студента 58532. Его вариант 32. Находим клетку на пересечении горизонтальной строки, обозначенной цифрой 3, и вертикального столбца, обозначенного цифрой 2. В этой клетке номера задач 32-го варианта: 24, 29, 51, 62, 82, 86, 105, 132, 144, 170.

1. Поезд массой кг движется с начальной скоростью км/ч. Определить среднюю силу торможения, если поезд останавливается за время t=1 мин 20 с. (416 кН)

2. Под действием какой силы тяги автомобиль массой m=3 т будет двигаться: 1) равномерно, 2) с ускорением а = 1 м/с2? Принять силу трения, равной 0,1 веса автомобиля. (2,94 кН; 5,94 кН)

3. Стальной трос подъемного крана выдерживает силу натяжения Т = 5 кН. Какой максимальный груз он может поднять с ускорением а=1,5 м/с2? (442 кг)

4. Гусеничный трактор тянет за собой прицеп по снегу па полозьях. Определить силу F тяги на крюке трактора, если он движется с ускорением а= 1,84 м/с2. Коэффициент трения полозьев о снег f=0,06. Масса прицепа m=3 т. (7,3 кН)

5. Определить скорость вагона массой m=25 т к началу торможения, если он останавливается за время t=2 мин под действием силы трения F=4 кН. (19,2 м/с)

6. Определить ускорение а, которое сообщает вагону сила F =90 кН. Масса вагона m=18 т. Коэффициент трения k=0,05. (4,5 м/с2)

7. Определить силу натяжения Т каната при подъеме лифта массой m=1500 кг с ускорением а=1,8 м/с2. (17,4 кН)

8. Вагон движется равнозамедленно с ускорением а=-0,5 м/с2. Начальная скорость вагона  км/ч. Через сколько времени вагон остановится и какой путь пройдет до остановки? (30 с; 225 м)

9. Стальная проволока выдерживает силу натяжения T=4,4 кН. С каким наибольшим ускорением можно поднять груз массой m=390 кг, подвешенный на этой проволоке, чтобы она при этом не разорвалась. (1,46 м/с2)

10. Определить скорость, которую получит поезд через t=30 с после начала движения, если коэффициент трения k=0,02. Масса поезда m= кг, сила тяги паровоза F=1,65 МН. (4,02 м/с)

11. Электротрактор движется со скоростью  км/ч. Какой путь пройдет трактор до полной остановки после выключения двигателя, если сила сопротивления составляет 0,3 силы тяжести. (0,52 м)

12. Определить силу тяги на крюке трактора, если ускорение, с которым трактор ведет прицеп,  м/с2. Масса прицепа  т, сопротивление движению  кН. (1,6 кН)

13. Перпендикулярно к стенке сосуда летит частица массой  кг со скоростью  м/с. Определить импульс, полученный стенкой при упругом соударении частицы. (5,5∙10-23 Н∙с)

14. Шарик массой  г, двигаясь горизонтально, ударился о стенку и при этом сообщил ей импульс силы  Н∙с. Определить скорость шарика в момент удара. Удар считать абсолютно упругим. (10 м/с).

15. Определить силу тяготения двух соприкасающихся медных шаров радиусом  м каждый. Плотность меди  кг/м3. (23,1 мН)

16. Определить ускорение свободного падения тел на Луне. Принять радиус Луны  1740 км, массу ее  кг. (1,61 м/c2)

17. Какое напряжение возникает в стальном тросе сечением  см2 при подъеме клети с углем массой  т с ускорением  м/с2. (790 МПа)

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7