Термодинамика
Гленсдорфа . Этот критерий является обобщением теоремы Пригожина о
минимальном производстве энтропии . Скорость производства энтропии ,
обусловленная изменением термодинамических сил Х , согласно этому критерию
подчиняется условию
dx P / t ( 0 (2.6)
Это неравенство не зависит не от каких предположений о характере связей
между потоками и силами в условиях локального равновесия и носит по этому
универсальный характер . В линейной области неравенство (2.6. ) переходит в
теорему Пригожина о минимальном производстве энтропии . Итак , в
неравновестной системе процессы идут так , т.е. система эволюционирует
таким образом, что скорость производства энтропии при изменении
термодинамических сил уменьшается ( или равна нулю в стационарном состоянии
).
Упорядоченные структуры , которые рождаются вдали от равновесия , в
соответствии с критерием (2.6.) и есть диссипативные структуры .
Эволюция бифуркации и последующей самоорганизации обусловлено , таким
образом , соответствующими не равновесными ограничениями .
Эволюция переменных Х будет описываться системой уравнений
[pic] (2.7)
где функции F как угодно сложным образом могут зависить от самих
переменных Х и их пространственных производных координат r и времени t .
Кроме того , эти функции буду зависить от управляющих параметров , т.е. тех
изменяющихся характеристик , которые могут сильно изменить систему . На
первый взгляд кажется очевидным , что структура функции { F } будет сильно
определятся типом соответствующей рассматриваемой системы . Однако , можно
выделить некоторые основные универсальные черты , независящие от типа
систем.
Решение уравнения (2.7) , если нет внешних ограничений , должны
соответствовать равновесию при любом виде функции F . Поскольку равновесное
состояние стационарно , то
Fi ({Xрав},(рав ) = 0 (2.8)
В более общем случае для неравновесного состояния можно аналогично
написать условие
Fi ({X},() = 0 (2.9)
Эти условия налагают определенные ограничения универсального характера ,
например, законы эволюции системы должны быть такими , чтобы выполнялось
требование положительности температуры или химической концентрации,
получаемых как решения соответствующих уравнений.
Другой универсальной чертой является нелинейным . Пусть , например
некоторая единственная характеристика системы
удовлетворяет уравнению
[pic] [pic] (2.10)
где k - некоторый параметр , ( - внешние управляющие ограничения . Тогда
стационарное состояние определяется из следующего алгебраического уравнения
( - kX = 0 (2.11)
откуда
Xs = ( / k (2.12)
В стационарном состоянии , таким образом , значении характеристики ,
например , концентрации , линейно изменяется в зависимости от значений
управляющего ограничения ( , и имеется для каждого ( единственное состояние
Хs . Совершенно однозначно можно предсказать стационарное значение Х при
любом ( ,если иметь хотя бы два экспериментальных значения Х
(( ) .Управляющий параметр может , в частности , соответствовать степени
удаленности системы от равновесия . Поведение в этом случае системы очень
похожи на равновесии даже при наличии сильно неравновесных ограничений .
[pic]
Рис. 2.6. Иллюстрация универсальной черты нелинейности в самоорганизации
структур .
Если же стационарное значение характеристики Х не линейно зависит от
управляющего ограничения при некоторых значениях , то при одном и том же
значении имеется несколько различных решений . Например , при ограничениях
система имеет три стационарных решения , рисунок 2.6.в. Такое универсальное
отличие от линейного поведения наступает при достижении управляющим
параметром некоторого критического значения ( - проявляется бифуркация.
При этом в нелинейной области небольшое увеличение может привести к
неодекватно сильному эффекту - система может совершить скачок на устойчивую
ветвь при небольшом изменении вблизи критического значения ( , рисунок
2.6.в. Кроме того из состояний на ветви А1В могут происходить переходы
АВ1 ( или наоборот ) даже раньше , чем будут достигнуты состояния В или А
, если возмущения накладываемые на стационарное состояние , больше значение
, соответствующего промежуточной ветви А В . Возмущениями могут служить
либо внешнее воздействие либо внутренние флуктуации в самой системе . Таким
образом , системе с множественными стационарными состояниями присуще
универсально свойствам внутренне возбудимость и изменчивости скачкам .
Выполнение теоремы по минимально производстве энтропии в линейной
области , а, как обобщение этой теоремы , выполнение универсального
критерия (2.6.) и в линейной , и в нелинейной области гарантируют
устойчивость стационарных неравновесных состояний. В области линейности
необратимых процессов производство энтропии играет такую же роль , как
термодинамические потенциалы в равновесной термодинамике . В нелинейной
области величина dP / dt не имеет какого либо общего свойства , однако ,
величина dx P/dt удовлетворяет неравенству общего характера (2.6. ) ,
которая является обобщением теоремы о минимальном производстве энтропии .
2.3 ПРИМЕРЫ САМООРГАНИЗАЦИИ РАЗЛИЧНЫХ
СИСТЕМ.
Рассмотрим в качестве иллюстрации некоторые примеры самоорганизации
систем в физике , химии , биологии и социуме.
1. ФИЗИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ.
В принципе даже в термодинамическом равновесии можно указать примеры
самоорганизации , как результаты коллективного поведения . Это , например ,
все фазовые переходы в физических системах , такие как переход жидкость -
газ , ферромагнитный переход или возникновение сверхпроводимости . В
неравновесном состоянии можно назвать примеры высокой организации в
гидродинамике , в лазерах различных типов , в физике твердого тела -
осциллятор Ганна , туннельные диоды , рост кристаллов .
В открытых системах , меняя поток вещества и энергии из вне , можно
контролировать процессы и направлять эволюцию систем к состояниям , все
более далеким от равновесия . В ходе неравновесных процессов при некотором
критическом значении внешнего потока из неупорядоченных и хаотических
состояний за счет потери их устойчивости могут возникать упорядоченные
состояния , создаваться диссипативные структуры .
2.3.1а. ЯЧЕЙКИ БЕНАРА.
Классическим примером возникновения структуры из полностью хаотической
фазы являются конвективные ячейки Бенара . В 1900 году была опубликована
статья Х.Бенара с фотографией структуры , по виду напоминавшей пчелиные
соты (рис. 2.7).
[pic]
Рис. 2.7. Ячейки Бенара :
а) - общий вид структуры
б) - отдельная ячейка.
Эта структура образовалась в ртути , налитой в плоский широкий сосуд ,
подогреваемый снизу , после того как температурный градиент превысил
некоторое критическое значение . Весь слой ртути (или другой вязкой
жидкости) распадался на одинаковые вертикальные шестигранные призмы с
определенным соотношением между стороной и высотой (ячейки Бенара). В
центральной области призмы жидкость поднимается , а вблизи вертикальных
граней - опускается . Возникает разность температур Т между нижней и
верхней поверхностью (Т = Т2 - Т1 ( 0 .Для малых до критических разностей
(Т ( (Тkp жидкость остается в покое , тепло снизу вверх передается путем
теплопроводности . При достижении температуры подогрева критического
значения Т2 = Тkp (соответственно (Т = (Тkp ) начинается конвекция . При
достижении критического значения параметра Т , рождается , таким образом ,
пространственная диссипативная структура . При равновесии температуры равны
Т2 =Т1 , (Т = 0 . При кратковременном подогреве (подводе тепла) нижней
плоскости , то есть при кратковременном внешнем возмущении температура
быстро станет однородной и равной ее первоначальному значению . Возмущение
затухает , а состояние - асимптотически устойчиво. При длительном , но до
критическом подогреве ( (Т ( (Тkp ) в системе снова установится простое и
единственное состояние , в котором происходит перенос к верхней поверхности
и передачи его во внешнюю среду (теплопроводность) , рис. 2.8 , участок а .
Отличие этого состояния от равновесного состояния состоит в том , что
температура , плотность , давление станут неоднородными . Они будут
приблизительно линейно изменяться от теплой области к холодной .
[pic]
Рис. 2.8. Поток тепла в тонком слое жидкости.
Увеличение разности температур (Т , то есть дальнейшее отклонение
системы от равновесия , приводит к тому , что состояние неподвижной
теплопроводящей жидкости становится неустойчивым участок б на рисунке
2.8. Это состояние сменяется устойчивым состоянием (участок в на рис.
2.8) , характеризующимся образованием ячеек . При больших разностях
температур покоящаяся жидкость не обеспечивает большой перенос тепла ,
жидкость (вынуждена( двигаться , причем кооперативным коллективным
согласованном образом.
Далее этот вопрос рассматривается в 3 главе.
2.3.1в. ЛАЗЕР , КАК САМООРГАНИЗУЮЩАЯСЯ
СИСТЕМА.
Итак , в качестве примера физической системы , упорядоченность которой
есть следствие внешнего воздействия , рассмотрим лазер.
При самом грубом описании лазер - это некая стеклянная трубка , в
которую поступает свет от некогерентного источника (обычной лампы) , а
выходит из нее узконаправленный когерентный световой пучок , при этом
выделяется некоторое количества тепла.
[pic]
При малой мощности накачки эти электромагнитные волны , которые
испускает лазер , некоррелированные , и излучение подобно излучению обычной
лампы. Такое некогерентное излучение - это шум , хаос. При повышении
внешнего воздействия в виде накачки до порогового критического значения
некогерентный шум преобразуется в (чистый тон( , то есть испускает число
синусоидальная волна - отдельные атомы ведут себя строго коррелированным
образом , самоорганизуются.
Лампа ( Лазер
Хаос ( Порядок
Шум ( Когерентное излучение
В сверхкритической области режим (обычной лампы( оказывается не
стабильным , а лазерный режим стабильным , рисунок 2.9.
[pic]
Рис. 2.9. Излучение лазера в до критической (а) и
сверхкритической (б) области.
Видно , что образование структуры в жидкости и в лазере формально
описывается весьма сходным образом . Аналогия связана с наличием тех же
самых типов бифуркаций в соответствующих динамических уровнях.
Подробнее этот вопрос рассмотрим в практической части , в 3 главе.
2. ХИМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ .
В этой области синергетика сосредотачивает свое внимание на тех явлениях
, которые сопровождаются образованием макроскопических структур . Обычно
если дать реагентам про взаимодействовать, интенсивно перемешивая
реакционную смесь, то конечный продукт получается однородный . Но в
некоторых реакциях могут возникать временные, пространственные или
смешанные ( пространственные - временные) структуры . Наиболее известным
примером может служить реакция Белоусова - Жаботинского .
2.3.2а. РЕАКЦИЯ БЕЛАУСОВА - ЖАБОТИНСКОГО.
Рассмотрим реакцию Белоусова -Жаботинского . В колбу сливают в
определенных пропорциях Ce2(SO4) , KBrO3 , CH2(COOH)2, H2SO4 , добавляют
несколько капель индикатора окисления - восстановления - ферроина и
перемешивают . Более конкретно - исследуются окислительно -
восстановительные реакции
Ce 3+_ _ _ Ce 4+ ; Ce 4+_ _ _ Ce 3+
в растворе сульфата церия , бромида калия , малоковой кислоты и серной
кислоты . Добавление феррогена позволяет следить за ходом реакции по
изменению цвета ( по спектральному поглащению ) . При высокой концентрации
реагирующих веществ , превышающих критическое значение сродства ,
наблюдаются необычные явления .
При составе
сульфат церия - 0,12 ммоль/л
бромида калия - 0,60 ммоль/л
малоковой кислоты - 48 ммоль/л
3-нормальная серная кислота ,
немного ферроина
При 60 С изменение концентрации ионов церия приобретает характер
релаксационных колебании - цвет раствора со временем периодически
изменяется от красного (при избытке Се3+ ) до синего ( при избытке Се 4+) ,
рисунок 2.10а .
[pic]
Рис. 2.10. Временные (а) и пространственные (б)
периодические структуры в реакции
Белоусова - Жаботинского.
...Такая система и эффект получили название химические часы . Если на
реакцию Белоусова - Жаботинского накладывать возмущение - концентрационный
или температурный импульс , то есть вводя несколько миллимолей бромата
калия или прикасаясь к колбе в течении нескольких секунд , то после
некоторого переходного режима будут снова совершаться колебания с такой же
амплитудой и периодом , что и до возмущения . Диссипативная
Белоусова - Жаботинского , таким образом , является ассимптотически
устойчивой . Рождение и существование незатухающих колебаний в такой
системе свидетельствует о том , что отдельные части системы действуют
согласованно с поддержанием определенных соотношений между фазами . При
составе
сульфата церия - 4,0 ммоль/л,
бромида калия - 0,35 ммоль/л,
малоковой кислоты - 1,20 моль/л,
серной кислоты - 1,50 моль/л,
немного ферроина
при 20 С в системе происходят периодические изменения цвета с периодом
около 4 минут . После нескольких таких колебаний спонтанно возникают
неоднородности концентрации и образуются на некоторое время ( 30 минут ) ,
если не подводить новые вещества , устойчивые пространственные структуры ,
рисунок 2.10б . Если непрерывно подводить реагенты и отводить конечные
продукты , то структура сохраняется неограниченно долго .
3. БИОЛОГИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ .
Животный мир демонстрирует множество высокоупорядоченных структур и
великолепно функционирующих . Организм как целое непрерывно получает потоки
энергии ( солнечная энергия , например , у растений ) и веществ (
питательных ) и выделяет в окружающую среду отходы жизнедеятельности .
Живой организм - это система открытая . Живые системы при этом
функционируют определенно в дали от равновесия . В биологических системах ,
процессы самоорганизации позволяют биологическим системам
(трансформировать( энергию с молекулярного уровня на макроскопический .
Такие процессы , например , проявляются в мышечном сокращении , приводящим
к всевозможным движениям , в образовании заряда у электрических рыб , в
распознавании образов , речи и в других процессах в живых системах.
Сложнейшие биологические системы являются одним из главных объектов
исследования в синергетике . Возможность полного объяснения особенностей
биологических систем , например , их эволюции с помощью понятий открытых
термодинамических систем и синергетики в настоящее время окончательно
неясна . Однако можно указать несколько примеров явной связи между
понятийным и математическим аппаратом открытых систем и биологической
упорядоченностью.
Более конкретно биологические системы мы рассмотрим в 3 главе ,
посмотрим динамику популяций одного вида и систему (жертва - хищник( .
4. СОЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ .
Социальная система представляет собой определенное целостное
образование , где основными элементами являются люди , их нормы и связи .
Как целое система образует новое качество , которое не сводится к сумме
качеств ее элементов . В этом наблюдается некоторая аналогия с изменением
свойств при переходе от малого к очень большому числу частиц в
статической физике - переход от динамических к статическим закономерностям
. При этом весьма очевидно , что всякие аналогии с физико - химическими и
биологическими системами весьма условны , поэтому проводить аналогию между
человеком и молекулой или даже нечто подобное было бы не допустимым
заблуждением . Однако , понятийный и математический аппарат нелинейной
неравновесной термодинамики и синергетики оказываются полезными в описании
и анализе элементов самоорганизации в человеческом обществе.
Социальная самоорганизация - одно из проявлений спонтанных или
вынужденных процессов в обществе , направленная на упорядочение жизни
социальной системы , на большее саморегулирование. Социальная система
является системой открытой способная , даже вынужденная обмениватся с
внешним миром информацией , веществом , энергией. Социальная
самоорганизация возникает как результат целеноправленных индивидуальных
действий ее составляющих.
Рассмотрим самоорганизацию в социальной системы напримере урбанизации
зоны . Проводя анализ урбанизации географических зон можно предположить ,
что рост локальной заселенности данной территории будет обусловлен наличием
в этой зоне рабочих мест . Однако , здесь существует некоторая зависимость
: состояние рынка , определяющего потребность в товарах и услугах и
занятости . Отсюда возникает механизм нелинейной обратной связи в процессе
роста плотности населения. Такая задача решается на основе логистического
уравнения , где зона характеризуется ростом ее производительности N ,
новых экономических функций S - функция в локальной области i города.
Логистическое уравнение описывает эволюцию численности населения и может
быть тогда представлена в виде
dni
. = Кni(N + ( Rk Sik - ni) - dni ( 2.13 )
dt k
где Rk вес данной к - ой функции , ее значимость . Экономическая
функция изменяется с ростом численности : определяется спросом на к - й
продукт в i - й области в зависимости от увеличения численности населения
и конкуренции предприятий в других зонах города . Появление новой
экономической функции играет роль социально экономической флуктуации и
нарушает равномерное распределение плотности населения. Такие численные
расчеты по логистическим уравнениям могут быть полезны прогнозировании
многих проблем.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.
В рассмотренных примерах в литературе имеются лишь общие выводы и
заключения , не приведены конкретные аналитические расчеты или численные .
Целью настоящей дипломной работы является аналитические и численные
исследования самоорганизации различных систем .
ГЛАВА 3
АНАЛИТИЧЕСКИЕ И ЧИСЛЕННЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
САМООРГАНИЗАЦИИ РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМ.
Страницы: 1, 2, 3, 4
|