Особенности фотопроводимости монокристаллов сульфида кадмия при комбинированном возбуждении

                                  (1.2)

где  а есть характеристическая длина:                                                                                                           

С точностью до множителя 2-1/2 это есть не что иное, как длина экранирования, в которой, однако, концентрация электронов в глубине образца п0 замене­на ее значением на контакте пк. Таким образом, потенциал вблизи контакта из­меняется по логарифмическому закону. Распределение концентрации электронов выражается соотношением

                           (1.3)

Вдали от контакта (область 2)

φ=uk,  

Распределение потенциала и концентрации электронов в слое по­лупроводника между двумя одинаковыми металлическими электродами с обогащенными слоями схематически показано на рис. 1.4.

Таким образом, прилегающие к металлическим электродам слои полупроводника, толщина которых ~ а, могут “заливаться” носителями заряда. При этом концентрация носителей вблизи контактов, как показывает формула (1.3), не зависит от их концентрации в глубине полупроводника, которая может быть как угодно мала (изолятор). Поэтому электропроводность такого контакта может быть велика, даже если удельная электропроводность полупроводника (в отсутствие контакта) ничтожно мала, например, в случае широкозонных CdS, CdSe, ZnS и т.д.

ГЛАВА 2

Энергетическая структура омического контакта в присутствии неравномерно распределенных электронных ловушек

2.1. Влияние ловушек на структуру барьера.

 Предварительный анализ

В п. 1.5 рассмотрен контакт металла с полупроводником в общем случае. Если он формируется для высокоомного полупроводника, то в силу значительного отличия проводимостей практически вся область пространственного заряда (ОПЗ) находится в его приконтактном слое. Если работа выхода для металла много меньше работы выхода для полупроводника, то скачка энергии ∆Ес(0) не будет. Искривление дна зоны начинается при х=0 (рис. 2.1) и φк=F.

Пусть в такой полупроводник введены электронные ловушки Nt , концентрация которых уменьшается от поверхности вглубь объема по закону

                                         (2.1)

где Nt0 – это их концентрация на геометрической поверхности, а l0 – характерная длина, показывающая, на каком расстоянии число ловушек убывает в  е раз.

Энергия активации этих ловушек Ес–Еt. Тогда, непосредственно у контакта (область I рис. 2.1), ловушки оказываются под уровнем Ферми. Такие ловушки сильно заполнены электронами независимо от концентрации свободного заряда. На самой поверхности расстояние их от энергии Ферми и, следовательно, заполнение будет максимальным. Поэтому в точке х=0 появление таких ловушек концентрации свободных электронов и распределение энергии не поменяют. По-прежнему они описываются формулами (1.2) и (1.3).

Как видно из рис. 2.1, чем больше глубина ловушек Ес–Еt, тем шире область I, обогащенная электронами, поскольку до больших координат х ловушки находятся под - и в области уровня Ферми.

При этом, как будет подробнее показано в п.2.2, чем больше первоначальная концентрация ловушек Nt0, тем круче уходит вверх зависимость  . Оба эти фактора, действуя совместно, должны обеспечивать большую высоту образовавшегося барьера (см. п.2.2).

Наоборот, в глубине объема при x > L1 появление электронных ловушек ситуацию изменит существенно. Ловушки заполнены частично и способны захватить дополнительный заряд. При этом концентрация свободного заряда, первоначально составляющего п0  (кривая 1 рис. 2.1а), должна уменьшаться, что сопровождается увеличением расстояния от дна зоны проводимости до уровня Ферми.

Рассмотрим край фронта распространения примеси Nt (область III рис 2.1а). Концентрация ловушек в области x = L1 исчезающе мала (см. формулу 2.1) поэтому в целом она остается электронейтральной. Часть свободного заряда переходит на ловушки. Уравнение электронейтральности в этом случае выглядит так:

                         (2.2)

С учетом того, что численно концентрация ионизированных доноров  равна n0, из (2.2) получаем

где φ(x) → 0 небольшое возмущение края зоны проводимости. Тогда, раскладывая в ряд экспоненту, определяем:

откуда

                         (2.3)

По мере уменьшения координаты x в сторону поверхности, значение энергии края зоны проводимости возрастает, хотя и не очень значительно. Даже если весь свободный заряд n0, перейдет на ловушки

                                     (2.4)

то φ=kT  (на границе областей II и III)

Указанных процессов на краях ОПЗ достаточно для предсказания изменения распределения потенциала. Если в глубине объема кривая потенциала Ес(x) устремляется вверх, а на самом контакте с металлом приходит в ту же точку, где находилась без учета ловушек, то в целом профиль ОПЗ должен иметь вид колоколообразного максимума (кривая 2 рис. 2.1а). Причем его ширина контролируется только глубиной проникновения электронных ловушек, определяемой технологическими факторами обработки кристалла.

2.2. Распределение энергии в приконтактных слоях

полупроводника с ловушками для электронов

Определим профиль барьера в области I рис. 2.1а с помощью уравнения Пуассона

          (2.5)

где φ – энергия (поэтому в коэффициенте перед квадратной скобкой   применено е2). = n0<< nk в соответствии с данными 2.1. Используя выражения (1.4) и (2.1) формула (2.5)  приобретает вид

          (2.6)

Отметим, что отрицательные значения второй производной указывают на вогнутость функции φ1 в пределах области I.

Первое интегрирование (2.6) приводит к выражению

               (2.7)

После второго интегрирования

                     (2.8)

Значения констант С1 и С2 можно определить из сравнения с распределением (1.2) для чистого полупроводника.

При использовании для контактов металлов с возможно малой работой выхода (1.1) значение скачка на границе ∆E(0)→0. В этом случае при х=0         Eс-F=0  и

 nk ≈ Nc = 1019см-3                             (2.9)

Согласно [9] величина трансляции периодической решетки, например, для CdS равна 4,13Å для структуры вюрцита и 5,82Å для структуры цинковой обманки. Примем для оценочного параметра величину 5Å. Тогда для подрешетки кадмия она составляет ~ 10Å. Объем такой ячейки составляет      ~10-21см3. Это дает концентрацию кадмия на поверхности ~ 1021см-3. Неизвестно, сколько атомов кадмия взаимодействует с плазмой коронного разряда в предполагаемом ходе создания ловушек (см.п.3.1.). Принимая это количество за 0,1÷1% от общей величины из сравнения с (2.9) получаем, что на поверхности справедливо

Nt0 ≤nk                                                    (2.10)

Учитывая также расчеты, приведенные в п. 2.1, относительно заполнения ловушек без изменения концентрации свободного заряда, будет справедливо

или из (2.7) и (1.2)

откуда при х=0 получаем

и                                                     (2.11)

Величину константы С2 в (2.8) легко найти из условия φ1 (0)=0. Из него следует (см. 2.8).

откуда

                           (2.12)

Окончательно (2.8) с учетом (2.11) и (2.12) приобретает вид

 (2.13)

Полученное выражение слишком громоздко для дальнейшего анализа. Поэтому будем считать, что величина l0 в распределении ловушек достаточно велика, а точка сшивания с функцией φ2 (x) (т.е. ширина области I) лежит при координате, меньшей радиуса экранирования а.

Тогда                                 и    

Из (2.13) получаем выражение

                                  (2.14)

на которое, как и следовало ожидать, не влияют параметры ловушек l0 и Nt0. В приповерхностном слое распределение энергии в барьере представлено практически прямой линией с наклоном 2kT/a.

При этом график φ1(x) лежит выше кривой 1.рис.2.1а. Это легко понять, если оценить скорость примеси с координатой:

Из (1.4) и (2.1) имеем

и                                            

Откуда при х=0

для 2 l0 >a и принимая во внимание (2.10). Т.е. с самого начала с ростом координаты концентрация свободного заряда падает быстрее концентрации ловушек.

2.3. Структура барьера в истощенном слое

В центральной части барьера свободный заряд практически отсутствует и концентрация электронов на ловушках значительно превышает число ионизированных доноров, поскольку для этих расстояний х число самих ловушек еще достаточно велико. Тогда ; n(x) в этом случае плотность заряда

где f(x) – вероятность заполнения ловушек, в соответствии с формулой Ферми – Дирака, равная

Здесь учтено, что энергия активизации ловушек в глубине полупроводника Et-E>>kT и соответственно

Преобразуя выражение

,

получим

где первая экспонента, связанная с энергией активизации ловушек, с координатой не изменяется, а показатель второй экспоненты зависит от х.

Окончательно

и уравнение Пуассона имеет вид

                           (2.15)

где                                                              (2.16)

Видно, что во всей этой области вторая производная отрицательна. Кривая вогнута. Используем подстановку

                                 (2.17)

                           (2.18)

                                (2.19)

Домножая (2.15) на  и используя (2.18) имеем

                                     (2.20)

Домножим (2.20) на:

откуда

или

После интегрирования

                         (2.21)

Значение С1 можно получить в положении максимума, где = 0. Тогда из (2.18) и (2.21)

На восходящей кривой, где x<x max  и  φ< φ max справедливо (см.2.17)

                                     (2.22)

Для достаточно резких барьеров на ниспадающей части величины x и x max  одного порядка, а φ< φ max . поэтому условие (2.22)остается справедливым и здесь. В целом формула (2.21) учитывая (2.22) приобретает вид

откуда

                                     (2.23)

В соответствии с (2.13) на восходящей части кривой

                                                                                         (2.24)

На спадающей части для всех

(т.е. медленного спада), выражение (2.24) остается в силе. Тогда в (2.23) следует оставить знак «-». Для него

Или

                                                                    (2.25)

Интегрируя (2.19) определяем

                                                            (2.26)

Подставляя (2.12) в (2.20) и упрощая выражение, получаем

Или

Окончательно

                                     (2.27)

2.4. Детализация явного вида функции

 распределения энергии

Для удобства выпишем сшиваемые функции в точке х0.

                                                                             (2.28)

                             (2.29)

где                                                    

Из равенства производных в точке сшивания

получаем

оттуда для больших l0, когда 

                                                                  (2.30)

Отсюда

                                                                         (2.31)

Подставляя его в выражение     φ1(х0)= φ2(х0)  находим (см.2.28 и 2.29):

 (2.32)

Во втором слагаемом справа в (2.32) учтена зависимость (2.30). Сокращая на 2kT и приведя подобные, получаем:

или для 

                                        (2.33)

Если нарастающая часть барьера достаточно резкая, то значение х0 в (2.31) не велико по сравнению с а. В этом случае из сравнения (2.31) и (2.33) следует  и окончательно

                             (2.34)

(см. 2.27)

Как видно из (2.34) в максимуме, когда

                                                                    (2.35)

Ширина нарастающей части барьера и, следовательно, напряженность поля здесь контролируется параметрами распределения ловушек 2l0. подставляя (2.35) в (2.34) получаем значение функции φ2 в максимуме:

                                      (2.36)

Чем больше 2l0, тем выше барьер.

Зависимость от начальной концентрации ловушек Nt0 и их энергии активации Eс - Et определяется величиной . Из (2.36) следует, что с увеличением этих параметров высота барьера также возрастает линейно пропорционально (Eс - Et) и логарифмически пропорционально Nt0.

Общую ширину ОПЗ можно найти из (2.29) для значительных координат х, когда φ2(х)=0. В этом случае после сокращения на 2kT получаем

                                                                 (2.37)

Здесь учтено, что по условиям задачи ловушки диффундируют дальше L1 и уже в максимуме координата  xmax>a. Уравнение (2.32) не позволяет в явном виде получать зависимость L2(l0, A), но допускает выявить тенденции этой зависимости с помощью методов, заимствованных из теории чисел.

Представим (2.37) в виде

                                                            (2.38)

Пусть не изменяется тип ловушек (т.е. фиксируется А), но за счет технологических приемов возрастает l0 . В этом случае, поскольку правая часть не изменяется, а знаменатель первого слагаемого увеличивается, значение L2 должно возрастать, хотя и не пропорционально. Если бы L2 не изменялось, левая часть (2.38) тоже уменьшалось. Это следует из

Наоборот, пусть l0=const, а величина А увеличивается. Тогда левая часть в (2.38) должна возрастать. Поскольку логарифмическая функция y=lnL2 изменяется медленнее линейной , в целом L2  увеличивается. С ростом концентрации ловушек на поверхности Nt0 и их энергии активации    Eс - Et ширина ОПЗ увеличивается.

Отметим при этом, что для такого вывода важно одновременное увеличение обоих параметров. Принципиально возможна ситуация когда более глубоких ловушек (больше) на геометрической поверхности мало (Nt0  меньше). Поскольку величина Nt0 управляется технологически, этой конкуренции можно избежать.

2.5. Энергетический профиль барьера в объеме полупроводника

Явный вид восходящей части барьера φ1(х) получен в зависимости от параметров a, nk (см. п.1.5-2.1) на поверхности полупроводника на основе допущения (2.10) (см. п.2.2) справедливого также на поверхности. После сшивания в точке х0 явный вид функции φ2(х) в глубине объема также оказался связанным с состоянием поверхности (см. 2.5).

Стандартная процедура сшивания в глубине объема функций φ2(х) и φ(х)  [см. формулы(2.7) и (2.4)]

приводит к слишком сложной системе уравнений

             (2.39)

которую можно решить только численными методами.

И даже весьма естественное предположение, что в точке сшивания х00 весь свободный заряд n0 переходит на ловушки (см. ф-лу 2.4)

не улучшает ситуацию, поскольку превращает второе уравнение (2.39) в бессмысленное

Поэтому был применен искусственный прием. Значение функции в максимуме при х=хm

откуда

и                                                           

что после подстановки в φ2(х) дает

и в максимуме (х=хm)

                                             (2.40)

Видно, что чем ближе к границе раздела образуется барьер (хm  убывает), тем он выше. С ростом концентрации ловушек Nt0 и их глубины Eс - Et (т.е. А возрастает) барьер тоже увеличивается. Что совпадает с полученным ранее.

В точке сшивания барьерной функции φ2(х) с функцией в квазинейтральной области φ(х) как было показано в п.2.1 φ≈kT. Поэтому можно считать, что х00 определяет общую ширину ОПЗ: х00=L2. Получаем:

или                               

причем L2>>l0 и, следовательно

тогда

                                                             (2.41)

Из (2.40) следует, что для высокого барьера требуются минимальные значения xm. Тогда, согласно (2.41)

или                                        

после логарифмирования

                         (2.42)

поскольку    из (2.36) следует

или

                                                     (2.42а)

Ширина области пространственного заряда увеличивается с ростом 2l0, что также совпадает с полученным ранее.

2.6. Влияние освещения на профиль барьера

При освещении полупроводника за счет неравновесных носителей степень заполнения электронных ловушек увеличивается. Будем считать, что интенсивность света достаточно велика. Тогда ловушки уже заполнены полностью и распределение заряда на них полностью совпадает с распределением самих ловушек.

В то же время обычного фотовольтаического уменьшения барьера из-за влияния зарядов свободных носителей не происходит.

Отметим, что в области I и III, очевидно, освещение ситуацию не поменяет, поскольку, как и раньше, ловушечные уровни уже заполнены, в первом случае потому что находятся ниже уровня Ферми, а в третьем, потому что их мало.

Остается решить уравнение Пуассона для второй области

            (2.43)

в котором, как и в темноте, тем более справедливо  и  

Решением (2.43) будет

                           (2.44)

Значение С2 можно определить, используя тот же прием, который мы применили в п.2.4. Для очень больших значений х на краю распределения ловушек x»L2 значение функции φ2=0. Отсюда

                    (2.45)

Для всей первой области и возрастающей части барьера в силу x<L2 экспоненциальной частью (2.45) можно пренебречь по сравнению с первым слагаемым в (2.44). Имеем

Константу С1 найдем из условия сшивания в точке х0, причем сама координата х0 на свету уже может быть другая:

С учетом (2.14)

               (2.46)

Из второго уравнения (2.46)

                      (2.47)

Подставляя это значение в первое уравнение системы (2.46) и принимая во внимание

                                       (2.48)

находим

       (2.49)

применяя (2.48) еще раз из (2.49) определяем

откуда

Тогда (2.47) можно записать как

или, принимая L2>l0 окончательно

и                                    (2.50)

В максимуме, когда

Откуда

и                                                     (2.51)

Видно, что, как и в темноте, с увеличением l0 в распределении ловушек положение максимума смещается вправо.

Подставляя (2.51) в (2.50) находим после преобразования

(2.52)

Освещение не меняет ширины области пространственного заряда, которая, как и раньше, контролируется только глубиной распространения ловушек. Тогда мы вправе применить (2.37)

в котором константа А определяется (2.16) как

Тогда выражение в квадратных скобках в (2.52) имеет вид

С учетом этого (2.52) упрощается:

              (2.53)

величина a<l0 и  L2>l0. Полагая для простоты сравнения

                                        (2.54)

видим, что первое слагаемое в (2.53) почти точно соответствует первой компоненте в темновой функции (2.36)

с учетом (2.16) расписывается в виде

   (2.55)

Из совместного рассмотрения (2.51), (2.35) и (2.54) следует

В таком случае (2.55) представим как

        (2.56)

где В – некоторая константа меньшая или близкая к единице.

Формула (2.56) позволяет сравнить второе слагаемое с выражением в формуле (2.53). С учетом того, что  и к тому же управляется технологически, получим, что на свету барьер оказывается несколько выше.

ГЛАВА 3

Фотоэлектрические свойства кристаллов, обработанных в газовом разряде

Страницы: 1, 2, 3