Оценки спектральных радиусов
Миниэдральные
конусы обладают одним важным свойством. Для формулировки этого свойства нам
понадобятся некоторые вспомогательные понятия.
Пусть Е- линейное
пространство с конусом К и знак «» есть отношение предпочтения по конусу К.
Однако,
миниэдральные конусы в конечномерных пространствах обладают следующим фундаментальным
свойством:
если конус К
миниэдрален, то каждое ограниченное сверху (соответственно, снизу) множество М
элементов имеет точную верхнюю sup М (соответственно, точную нижнюю inf M) грань.
Пример. Рассмотрим в пространстве с конусом векторов из с неотрицательными
координатами множество векторов , удовлетворяющих для заданного
вектора неравенству
.
Тогда inf , sup не существует.
Аналогично, если - множество
векторов из,
удовлетворяющих неравенству
,
то sup, а inf не существует.
§3. Интегральные операторы
Большой интерес представляют линейные интегральные
операторы
,
действующие в различных пространствах Е
функций, определенных на множестве W, которое мы предполагаем ограниченным и замкнутым
подмножеством конечномерного пространства Rп [1], [16], [20].
Термин "интегральные уравнения" расплывчат. Обычно под интегральными уравнениями понимают уравнения, в
которых неизвестная функция независимого (скалярного или векторного) аргумента
встречается под знаком интеграла. Различают линейные
и нелинейные интегральные уравнения, в зависимости
от того зависит ли уравнение от неизвестной функции линейным или нелинейным
образом. Многие линейные интегральные уравнения (в "одномерном"
случае) могут быть записаны в виде
(1)
где x: [a, b] → R — искомая
функция, α, f: [a, b] → R и K: [a,
b]×[a, b] → R — заданные функции.
Функцию K обычно называют ядром интегрального
уравнения.
Уравнение (1), когда K(t, s) = 0 при a ≤
t ≤ s ≤ b, называют уравнением
Вольтерры. В противном случае его называют уравнением
Фредгольма [2]. Уравнение Вольтерры, очевидно, оно может быть переписано в виде
Наиболее распространенными представителями нелинейных
интегральных уравнений являются уравнения Урысона
и уравнения Гаммерштейна
Уравнения I и II рода
Если α(t) ≠ 0 при всех t [a, b],
то уравнение (1), очевидно, может быть переписано в виде
(2)
Уравнения такого вида называют уравнениями II рода,
отличая их от уравнений I рода
(3)
Если в некотором пространстве функций на отрезке [a, b]
определить интегральный оператор
то уравнения (2) и (3), очевидно, переписываются в виде
x = Ix
+ f (4)
и
0 = Ix
+ f (5)
Прежде, чем объяснить разницу между уравнениями I и II родов, введем понятие корректности
уравнения. Огрубляя ситуацию, говорят, что уравнение (4) или (5) корректно, если при любых f оно
однозначно разрешимо и решение x непрерывно зависит от f. Более
точно, говорят, что (линейное) уравнение корректно в
паре (E1, E2) банаховых пространств
функций на отрезке [a, b], если для любой f E2
уравнение имеет единственное решение xE1 и, кроме того,
найдется такая константа C, что ||x||E1 ≤
||f ||E2.
Разница
между уравнениями I и II родов особенно ясно
проявляется после записи интегральных уравнений в операторном виде. Суть здесь
в следующем. Интегральные операторы
в большинстве своем оказываются вполне непрерывными операторами. Для корректной
разрешимости уравнения II рода, т. е. уравнения (4) при любой функции f необходимо и достаточно
обратимости оператора I – I и ограниченности (I – I)–1,
что в случае вполне непрерывного оператора I есть ситуация общего
положения. Для разрешимости уравнения I рода необходима обратимость оператора I. В случае же вполне
непрерывного оператора I–1
если он существует, необходимо, чтобы он являлся неограниченным [].
Уравнения I рода
представляют собой существенно более сложный объект исследования.
§4. Интегральные уравнения с вырожденным ядром и уравнения
типа свертки
Выделим еще два класса линейных интегральных уравнений, часто
встречающихся в математическом обиходе [2], [29]. Первый из них состоит из так
называемых интегральных уравнений с вырожденным ядром.
К ним относят интегральные уравнения, ядро которых представимо в виде
(6)
Интегральные уравнения (скажем, Фредгольма II рода) с вырожденным ядром легко сводятся к системе
алгебраических уравнений. Используя (6), уравнение (2) можно переписать в
виде
(5)
где
.
Умножение (7) на ηj и интегрирование по t
от a до b приводит к системе алгебраических уравнений
относительно неизвестных cj:
в которой
,
Уравнение Вольтерры типа свертки выделяется
специальным видом ядра K(t, s) = k(t – s):
Название наследуется от интегрального оператора
свертки
играющего роль умножения в банаховых алгебрах функций. Уравнение
типа свертки весьма широко распространено в приложениях.
Уравнение Фредгольма типа свертки выглядит так:
Линейный оператор называется вполне непрерывным,
если он переводит каждое ограниченное по норме пространства множество в компактное
множество.
Почти во всякой физической задаче, которая может быть
сформулирована с помощью линейных операторов, важной характеристикой типа
задачи является спектр соответствующего оператора [13]. Одной из основных
характеристик спектра оператора является спектральный радиус этого оператора.
Напомним, что те значения , при которых уравнение
,
где – рассматриваемый оператор, имеет
единственное решение, а оператор ограничен, называются
регулярными. Совокупность всех значений , не являющихся регулярными, называется
спектром оператора и обозначается . Спектральным радиусом оператора
называется число, определенное формулой
, .
Если уравнение
при данном имеет решение, отличное от тривиального, то называется собственным
значением оператора , а нетривиальное решение уравнения
называется собственным вектором, отвечающим этому собственному
значению .
При этом собственное значение называется позитивным, если и отвечающий ему
собственный вектор принадлежит конусу .
Глава
II
Оценки
спектральных радиусов интегральных операторов
§1. Сравнение спектральных радиусов двух положительных
операторов
Многочисленные
технические, физические, а также экономические задачи приводят к отысканию
решения типа
lx = Ax + f.
Известно, что данное уравнение будет иметь
единственное решение, которое можно найти, используя метод последовательных
приближений, если спектральный радиус оператора A меньше единицы.
В терминах понятия спектрального радиуса [20], [24], устанавливаются
важнейшие теоремы существования неотрицательного решения соответствующих
моделей математической экономики (модель Леонтьева, модель Леонтьева-Форда,
обобщенная модель Леонтьева-Форда).
Приведем соответствующее определение.
Пусть А – линейный ограниченный оператор,
действующий в банаховом пространстве Е. Вещественное или комплексное
число l называется регулярным значением оператора А,
если оператор
(lI - A)
имеет ограниченный обратный, определенный во всем
пространстве Е. В противном случае соответствующее число l называется точкой
спектра оператора А. Совокупность всех точек спектра оператора А
обозначается s(А).
Спектральным радиусом r(А) оператора А
называется следующая величина:
.
Для ограниченного оператора А спектральный
радиус r(А) является ограниченной величиной, более того из
принципа Банаха сжатых отображений [23] следует оценка
r(А) < ||A||.
Важнейшим фактом теории линейных положительных операторов
является следующий факт:
Пусть конус К – нормальный и
воспроизводящий, тогда r(А) является точкой спектра оператора
А (теорема Карлина).
Более
того, при несущественных дополнительных предположениях r(А) является
собственным значением оператора А, которому отвечает собственный вектор x*Î К (теорема
Перрона-Фробениуса [2]).
В теории принципа
Хикса для интегрального уравнения с неотрицательным ядром важную роль для его
справедливости играет условие вида
r(A)<1, (1)
где r(A)
- спектральный радиус интегрального оператора А с ядром K(t,s).
Естественно иметь признаки, обеспечивающие выполнение условия (1). Для этого
получим соответствующие признаки для случаев, когда А:
10) A=(aij) (i,j=1,2,3…); (2)
20) A
– интегральный оператор вида
,
(3)
где W - ограниченное замкнутое
множество из евклидова пространства Rm, K(t,s) –
измеримая по sÎW почти при всех значениях tÎW функция, для которой при
некоторых p>1 и выполняется условие:
. (4)
При выполнении
условия (4) оператор (3), как известно, действует в пространстве Lp(W) и является вполне непрерывным
оператором в этом пространстве [ 29].
Введем в
рассмотрение следующие функции
,.
(5)
Теорема 1. Пусть для некоторого aÎ[0,1] выполняется следующее
неравенство
Pa(t)Q1-a(t)£1 (tÎW) (6)
и, кроме того,
выполняется одно из двух следующих условий:
10)
в неравенстве (6) равенство допускается лишь на множестве точек лебеговой меры
нуль;
20)
в неравенстве (6) строгое неравенство выполняется для всех t из некоторого
множества wÎW, mesw>0, оператор А –
неразложим в пространстве Lp(W).
Тогда
спектральный радиус r(A) оператора А в пространстве Lp(W) меньше чем единица:
r(A)<1.
Аналогичный
результат имеет место и в том случае, когда интегральный оператор (3) действует
в пространстве C(W) и неразложим в этом пространстве
относительно конуса неотрицательных функций пространства C(W).
Получению оценок спектрального радиуса
положительного оператора по информации о поведении этого оператора на
фиксированном ненулевом элементе конуса посвящена достаточно обширная литература [21],
[11], [13], [18], [26], [29]. Речь идет о том, что из неравенства вида
,
где - фиксированный
элемент из ,
вытекает оценка снизу
для спектрального
радиуса линейного
положительного оператора , а из неравенства вида
(7)
(при некоторых
дополнительных предположениях [29] относительно элемента и конуса , или оператора ), вытекает оценка
сверху для вида
. (8)
Для этого,
например, достаточно, чтобы конус был телесным и нормальным, и чтобы был внутренним
элементом конуса . Заметим, что без соответствующих дополнительных
предположений утверждать о наличии оценки сверху типа (8), очевидно, нельзя. В
отличие от оценки сверху, оценка снизу верна при единственном
предположении о том, что .
Поставим вопрос
существенно шире: что можно сказать о том, что если вместо условия (7) нам
известно условие вида
,
(9)
где - некоторый
линейный оператор, действующий в пространстве ? По аналогии с упомянутой оценкой
вида (8) естественно спросить: не следует ли из условия (9) оценка
?
(10)
При положительном
ответе на этот вопрос получаем возможность иметь как следствия, ранее
установленные ([11], [18], [26], [29]) результаты по оценке сверху спектральных
радиусов линейных положительных операторов по информации о поведении операторов
и на фиксированном
элементе конуса .
Теорема 2. Пусть конус - телесен и
нормален, -
внутренний элемент конуса . и - линейные положительные операторы,
действующие в ,
причем они коммутируют, т.е.
.
(11)
Пусть хотя бы
на одном фиксированном элементе конуса выполняется неравенство
,
тогда для спектральных радиусов и операторов и справедливо следующее
неравенство:
.
Доказательство.
Перейдем в пространстве к - норме [26], [29],
которая, во-первых, определена на всем , так как конус телесен, и, во-вторых, эквивалентна
норме в ,
т.к. конус нормален.
Тем самым пространство будет полно по -норме. Прежде всего, установим, что
для произвольного линейного положительного оператора справедливо равенство
.
(12)
Действительно, из
неравенства
,
справедливого для
любого ,
в виду положительности оператора следует, что
,
откуда, учитывая
монотонность -нормы,
получим
,
и, следовательно,
по определению нормы оператора
.
(13)
С другой стороны,
из свойств нормы следует, что
. (14)
Из (14) и (13) следует равенство (12).
Далее, согласно
условию (9), свойству (11) и положительности оператора , имеем
. (15)
По индукции легко
доказать, что для любого имеет место неравенство
,
и в силу
монотонности -нормы
.
Поэтому, согласно (12),
.
(16)
Т.к. в силу
эквивалентности -нормы
и нормы пространства можно написать, что
, , (17)
то из неравенства
(16) и равенств (17) следует утверждение теоремы.
Замечание. Теорема 2 верна также и в
том случае, когда операторы и полукоммутируют (т.е. ). В доказательстве
выражение (15) перепишется в виде:
.
Рассмотрим теперь условия (9) и (10) для строгих
неравенств. Т.е. условия, при которых из
следует оценка
. (18)
Прежде, чем перейти к рассмотрению
строгих оценок (18), приведем несколько важных теорем, представляющих интерес.
Теорема 3. Пусть и - линейные положительные
операторы, действующие в пространстве , причем они коммутируют, т.е. . Пусть оператор неразложим, тогда
операторы и
имеют
общий собственный вектор.
Доказательство.
Пусть - собственный
вектор оператора , отвечающий спектральному радиусу . Т.к. операторы и коммутируют, то
для любого имеем:
.
Тогда
,
следовательно - собственный
вектор оператора , . Т.к. - неразложим, то согласно теореме о
единственности (с точностью до нормы) собственного вектора у неразложимого
оператора [29]:
,
где .
Тем самым у
оператора есть
собственный вектор . Т.е. получаем, что у операторов и есть общий
собственный вектор .
Теорема доказана.
Важным моментом в
доказанной теореме является то, что телесность конуса не предполагается.
Теорема 4. Пусть дана некоторая
коммутативная совокупность линейных положительных операторов, из которых
хотя бы один является
неразложимым. Тогда найдется положительный функционал , такой, что для всех , где для каждого . При этом .
Доказательство.
На основании
предыдущей теоремы, можем утверждать, что все операторы из имеют общий собственный
вектор (), причем .
является
собственным значением соответствующего оператора и собственным значением
сопряженного оператора , которому отвечают собственный вектор оператора и собственный
функционал оператора
, где - сопряженная к полугруппа. Из
результатов [22], следует, что сопряженные операторы также составляют коммутирующую
совокупность линейных положительных операторов . Таким образом, получим
и .
Теорема доказана.
Приведем
достаточно известный [22] результат.
Теорема 5. Если , то уравнение
(19)
имеет
единственное решение
,
которое
является пределом последовательных приближений
(20)
при любом .
Замечание. Сходимость последовательных
приближений (20) равносильна тому, что решение (19) может быть представлено
сходящимся по норме рядом Неймана
.
Перейдем к
рассмотрению строгих оценок.
Теорема 6. Пусть и - линейные положительные
операторы, действующие в пространстве , причем они коммутируют, т.е. , и пусть оператор
- неразложим
и хотя бы на одном фиксированном элементе конуса выполнено неравенство
, ().
Пусть
выполнено одно из условий:
1)
вполне
непрерывен, -
квазивнутренний элемент ;
2)
конус
телесный
и нормальный, -
внутренний элемент ;
3)
оператор
-ограничен сверху,
конус воспроизводящий
и нормальный;
4)
оператор
-ограничен сверху,
конус воспроизводящий
и нормальный, -
квазивнутренний элемент ;
5)
оператор
допускает
представление
,
где - вполне
непрерывен, ,
конус воспроизводящий
и нормальный, -
квазивнутренний элемент ; существует такой элемент , что .
Тогда
справедливо строгое неравенство
.
Доказательство.
В силу теоремы 5
уравнение
имеет решение
.
Очевидно, что это
решение удовлетворяет неравенству
.
(21)
Т.к. - неразложим, то
из неравенства (21) следует, что - квазивнутренний элемент . Поэтому при любом
ненулевом выполнено
неравенство
. (22)
В условиях нашей
теоремы существует такой ненулевой функционал , что . На основании теоремы 3 найдется
такой собственный элемент оператора , отвечающий собственному значению , который будет
также собственным элементом оператора , отвечающим некоторому собственному значению оператора . Тогда
Страницы: 1, 2, 3
|