Механика, молекулярная физика и термодинамика

К основным понятиям, используемым в динамике поступательного движения, относятся сила, масса тела, импульс тела (системы тел).

Силой называется векторная физическая величина, являющаяся мерой механического действия одного тела на другое. Механическое действие возникает как при непосредственном контакте взаимодействующих тел (трение, реакция опоры, вес и т.д.), так и посредством силового поля, существующего в пространстве (сила тяжести, кулоновские силы и т.д.). Сила  характеризуется модулем, направлением и точкой приложения.

Одновременное действие на тело нескольких сил ,,..., может быть заменено действием результирующей (равнодействующей) силы :

=++...+=.

Массой тела называется скалярная величина, являющаяся мерой инертности тела. Под инертностью понимается свойство материальных тел сохранять свою скорость неизменной в отсутствии внешних воздействий и изменять её постепенно (т.е. с конечным ускорением) под действием силы. Массы всех тел определяются по отношению к массе тела, принятого за эталон.

Импульсом тела (материальной точки) называется векторная физическая величина, равная произведению массы тела на его скорость: .

 Импульс системы материальных точек равен векторной сумме импульсов точек, составляющих систему:  .

Второй закон Ньютона:  скорость изменения импульса тела равна действующей на него силе:

.

В частном случае (при постоянной массе): ускорение, приобретаемое телом относительно инер­ци­аль­ной системы отсчета, прямо пропорционально действующей на него силе и обратно пропорционально массе тела:

.

Третий закон Ньютона: Силы, с которыми действуют друг на друга взаимо­дей­ствующие тела, равны по величине и противоположны по направлению.

,

где - сила, действующая на 1-ую точку со стороны 2-ой,

- сила, действующая на 2-ую точку со стороны 1-ой.

Из третьего закона следует, что в любой механической системе материальных то­чек геометрическая сумма всех внутренних сил (т.е. сил, с которыми взаимо­действуют между собой материальные точки системы) равна нулю.

2.2. Динамика вращательного движения твердого тела.

          Вращательное действие силы харак­те­ризуется такой величиной, как мо­мент силы относительно оси вращения  (рис. 5).

Пусть М - точка приложения силы , - радиус-вектор точки М, проведённый пер­пен­дикулярно оси вращения O'O. Разложим   на три составляющие:

- осевая, параллельная оси вращения,

- радиальная, направленная вдоль вектора ,

- касательная, перпендикулярная  и оси вращения.

Составляющие  и  - вращения тела вокруг оси O'O не создают. Вращающее действие силы  создаётся составляющей . Моментом силы  относительно оси вращения O'O называется векторное произведение радиуса-вектора  точки приложения силы, проведённого перпен­дикулярно оси вращения, на составляющую силы , перпендикулярную оси вращения и радиусу вектору :

.

Вектор момента силы направлен вдоль оси вращения и связан с направлением силы правилом правого винта.

Если на тело действует несколько сил, то результирующий момент сил равен векторной сумме моментов всех сил, действующих на тело.

Момент инерции тела характеризует инертные свойства тела при вращательном движении и зависит от распределения массы тела относительно оси вращения.

 - момент инерции материальной точки массой m, находящейся на расстоянии r от оси.

 - момент инерции системы материальных точек.

 - момент инерции тела, где  - плотность тела.

Момент инерции тела относительно произвольной оси  может быть  рассчитан  по

                                                           теореме  Штейнера:   момент    инерции   тела

                                                           относительно оси O'O равен сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс и параллельной O'O, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями (рис. 6):

.

Моментом импульса материальной точки называется векторная величина, равная векторному произведению радиуса вектора  на импульс точки (рис. 7):

                                 . 

Моментом импульса системы материальных точек называется геометрическая сумма моментов импульсов точек, составляющих систему:

             Рис. 6                                                           

Моментом импульса тела относительно оси вращения называется величина

,

где - момент инерции тела относительно данной оси.

Рис. 7

Основной закон динамики вращательного движения:

Скорость изменения момента импульса тела относительно оси равна результирующему моменту внеш­них сил относительно той же оси. При постоянном моменте инерции угловое ускорение, приобретаемое телом, пропор­ционально моменту сил, приложенных к телу, и обратно пропорционально моменту инерции тела:

.

Из законов динамики поступательного и вращательного движений следует условие равновесия тел:

2.3. Некоторые силы в механике.

3. Работа и механическая энергия.

3.1. Работа и мощность при поступательном и вращательном движениях.

У материальной точки (тела) в процессе силового взаимодействия с другими телами может изменяться состояние движения (координаты и скорость). В этом случае говорят, что над телом совершается работа. В механике принято говорить, что работа совершается силой. Работа – это физическая величина, характеризующая процесс превращения одной формы движения в другую.

Элементарной работой силы  на малом перемещении  называется величина, равная скалярному произведению силы на перемещение:

,

где - элементарный путь точки приложения силы за время dt, a- угол между векторами  и .

Если на систему действуют несколько сил, то результирующая работа равна алгебраической сумме работ, совершаемых каждой силой в отдельности.

Работа силы на конечном участке траектории или за конечный промежуток времени может быть вычислена следующим образом:

.

Если = const, то А=.

При вращательном движении работа определяется моментом сил:

,

если М = const, то А=Мjj.

Быстроту совершения работы характеризует мощность.

Мощностью называется скалярная величина, равная работе, совершаемой в единицу времени:

.

При вращательном движении мощность определяется следующим образом:

.

3.2.  Консервативные и неконсервативные силы.

Консервативными силами называются силы, работа которых не зависит от пути перехода тела или системы из начального положения в конечное. Характерное свойство таких сил - работа на замкнутой траектории равна нулю:

К консервативным силам относятся: сила тяжести и сила упругости.

Неконсервативными силами называются силы, работа которых зависит от пути перехода тела или системы из начального положения в конечное. Работа этих сил на замкнутой траектории отлична от нуля. К неконсервативным силам относятся: сила трения, сила сопротивления и т.д.

3.3.  Кинетическая энергия при поступательном и вращательном движениях.

Кинетической энергией тела называется функция механического состояния,  зависящая от массы тела и скорости его движения (энергия механического движения).

Кинетическая энергия поступательного движения:  .       Кинетическая энергия вращательного движения: .

При сложном движении твёрдого тела его кинетическая энергия может быть представлена через энергию поступательного и вращательного движения: 

.

Свойства кинетической энергии:

1. Кинетическая энергия является конечной, однозначной, непрерывной функцией механического состояния системы.

2. Кинетическая энергия не отрицательна: ЕК³ 0.

3. Кинетическая энергия системы тел равна сумме кинетических энергий тел, составляющих систему.

4. Приращение кинетической энергии тела или системы равно работе всех сил, действующих на систему или на тело: .

3.4.  Потенциальная энергия.

Потенциальная энергия системы - это функция механического состояния системы, зависящая от взаимного расположения всех тел системы и от их положения во внешнем потенциальном поле сил. Убыль потенциальной энергии равна работе, которую совершают все консервативные силы (внутренние и внешние) при переходе системы из начального положения в конечное.

ЕП1 - ЕП2 = -DЕП = А12конс,    .

Из определения потенциальной энергии следует, что она может быть определена по консервативной силе, причём с точностью до произвольной постоянной, значение которой определяется выбором нулевого уровня потенциальной энергии.

.

Таким образом, потенциальная энергия системы в данном состоянии равна работе, совершаемой консервативной силой при переводе системы из данного состояния на нулевой уровень.

Свойства потенциальной энергии:

1. Потенциальная энергия является конечной, однозначной, непрерывной функцией механического состояния системы.

2. Численное значение потенциальной энергии зависит от выбора уровня с нулевой потенциальной энергией.

Как потенциальная энергия может быть найдена по известной консервативной силе, так и консервативная сила может быть найдена по потенциальной энергии:

,

                  причем:     ,   ,   .

Примеры потенциальной энергии:

1) - потенциальная энергия тела массой m, поднятого на высоту h от нулевого уровня энергии в поле тяжести Земли;

2)                  - потенциальная энергия упругого деформированного тела, х - модуль деформации тела.

4. Законы сохранения в механике.

4.1.  Закон сохранения полной механической энергии.

Полная механическая энергия системы тел равна сумме их кинетической и потенциальной энергии взаимодействия этих тел друг с другом и с внешними телами:

Е = Ек + Еп.

Приращение механической энергии системы определяется работой всех неконсервативных сил (внешних и внутренних):

.

Закон сохранения полной механической энергии: Полная механическая энергия системы тел, на которые действуют только консервативные силы, остается постоянной.

          В замкнутой системе полная механическая энергия остается постоянной, если между телами, составляющими систему, действуют только консервативные силы.

4.2. Закон сохранения импульса. Центральный удар двух тел.

Закон сохранения импульса: Полный импульс замкнутой системы остается посто­янным.

Для замкнутой системы будут сохраняться и проекции импульса на координатные оси:

.

Если ¹0, но =0, то будет сохраняться проекция импульса системы на ось Х.

Рассмотрим центральный удар двух тел. Центральным называется удар, при котором тела движутся вдоль прямой, соединяющей их центры масс. Выделяют два предельных вида такого удара: абсолютно упругий и абсолютно неупругий.

Для двух тел массами m1 и m2 , движущихся со скоростями  и  вдоль оси X навстречу друг другу, скорости их после абсолютно упругого центрального удара можно найти по формулам:

;    .

При этом сохраняется импульс системы тел и полная механическая энергия.

Если удар абсолютно неупругий, то

.

Тела после такого удара движутся вместе. Импульс системы тел сохраняется, а полная механическая энергия не сохраняется. Часть механической энергии переходит в энергию неупругой деформации и во внутреннюю энергию тел.

4.3. Закон сохранения момента импульса.

Закон сохранения момента импульса: Момент импульса системы тел сохраняется, если результирующий момент внешних сил, действующих на систему, равен нулю:

.

Если результирующий момент внешних сил не равен нулю, но рана нулю проекция этого момента на некоторую ось, то проекция момента импульса системы на эту ось не изменяется.

5. Элементы специальной теории относительности.

5.1. Постулаты Эйнштейна.  Преобразования Лоренца.

Принцип относительности: Никакими физическими опытами, производимыми внутри инерциальной системы отсчета, невозможно установить, покоится ли эта система относительно другой инерциальной системы отсчета или движется прямолинейно и равномерно.

Принцип постоянства скорости света: Скорость света в вакууме одинакова во всех инерциальных системах отсчета и не зависит от движения источников и приемников света.

Рассмотрим две системы отсчета S  и S¢ (рис. 8). Систему S будем считать условно неподвижной. Система  движется относительно  со скоростью  вдоль оси X системы . Для перехода от одной системы отсчета в другую в специальной теории относительности используются преобразования Лоренца.

Пусть в начальный момент времени начала координат обеих систем и направления соответствующих осей совпадают.

                     Рис. 8

Тогда:         .

Здесь  - скорость света в вакууме.

5.2. Следствия из преобразований Лоренца.

Будем рассматривать системы  и  (рис. 8).

Относительность промежутков времени между событиями.

где - промежуток времени между событиями, измеренный в системе отсчета , относительно которой события происходят в одной точке пространства (отсчитывается по часам, находящимся в системе );  - промежуток времени между этими событиям, отсчитанный по часам, находящимся в системе .

Изменение размеров движущихся тел.

          где L’-длина стержня, расположенного вдоль оси  и покоящегося в системе S’ (отсчитывается в системе отсчета S’);           L - длина этого же стержня, измеренная в системе отсчета .

Релятивистский закон сложения скоростей.

Пусть некоторое тело движется вдоль оси  x` в системе отсчета  со ско­ростью относительно последней. Найдем проекцию скорости  этого тела в систе­ме отсчета   на ось x этой системы:

.

5.3.          Релятивистские масса и импульс. Взаимосвязь массы и энергии.

Эйнштейн показал, что масса тела зависит от его скорости:

где m0 – масса тела в той системе отсчета, где тело покоится (масса покоя);

m – масса тела в той системе, относительно которой тело движется;

u – скорость тела относительно системы отсчета, в которой определяется масса m.

Релятивистский импульс:

,

где m – релятивистская масса.

Закон взаимосвязи массы и энергии:

,

где m - релятивистская масса;

          E – полная энергия материального объекта.

Кинетическая энергия объекта:

,

где - полная энергия;          - энергия покоя.

          Из закона взаимосвязи массы и энергии следует, что всякое изменение массы тела на Dm  сопровождается изменением его энергии на DE:

DE=Dm×c2.

Примеры решения задач

          Задача 1 Уравнение движения точки по прямой имеет вид:

x = A+Bt+Ct3, где А = 4 м, В = 2 м/c, С = 0,2 м/с3. Найти: 1) положение точки в моменты времени t = 2 c и t = 5 с; 2) среднюю скорость за время, протекшее между этими моментами; 3) мгновенные скорости в указан­ные моменты времени; 4) среднее ускорение за указанный промежуток вре­мени; 5) мгно­венные ускорения в указанные моменты времени.

      Дано:

           м/с = 9,8 м/с.

3. Мгновенные скорости найдем, продифференцировав по времени уравнение движения:                                  

 u1 = (2+3×0,2×22) м/с = 4,4 м/c;

u2 = (2+3×0,2×52) м/с = 17 м/с.

4. Среднее ускорение  ,

 м/c2 = 4,2 м/с2.

          5. Мгновенное ускорение получим, если продифференцируем по времени выражение для скорости: a = 2×3×Ct = 6Ct.

a1 = 6×0,2×2 м/c2 = 2,4 м/с2;

                                                  a2 = 6×0,2×5 м/с2 = 6 м/с2.

Задача 2  Маховик вращается равноускоренно. Найти угол  a, ко­то­рый составляет вектор полного ускорения любой точки маховика с радиусом в тот момент, когда маховик совершит первые N=2 оборота.

Дано:

                             at = eR, an = w2R,  где R – радиус маховика, получим

            tga =

так как маховик вращается равноускоренно, найдем связь между величинами e и w;  

                     ;

Поскольку w0 = 0; j = 2pN, то w2 = 2e×2pN = 4pNe.

Подставим это значение в формулу, получим:

     a  » 2,3°.

Ответ: a  » 2,3°.

Задача 3 Две гири с массами m1 = 2 кг и m2 = 1 кг соединены нитью, пе­ре­ки­ну­той через невесомый блок. Найти ускорение a, с которым движутся гири, и силу натяжения нити  . Трением в блоке пренебречь.

Дано:

           На тело 1 и тело 2 действуют только две силы – сила тяжести  и сила

натяжения нити. Для первого тела имеем:

                                                                 (1)

  для второго тела:   

                             .                                  (2)

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7