Лекции по ТОЭ

|[pic] |

| |

|Пусть, например, в точке разветвления цепи (рис. 5) общий ток [pic] равен сумме токов|

|[pic] и [pic] двух ветвей: |

|[pic]. |

|Каждый из этих токов синусоидален и может быть представлен уравнением |

|[pic]и[pic] . |

|Результирующий ток также будет синусоидален: |

|[pic]. |

|Определение амплитуды[pic] и начальной фазы [pic] этого тока путем соответствующих |

|тригонометрических преобразований получается довольно громоздким и мало наглядным, |

|особенно, если суммируется большое число синусоидальных величин. Значительно проще |

|это осуществляется с помощью векторной диаграммы. На рис. 6 изображены начальные |

|положения векторов токов, проекции которых на ось ординат дают мгновенные значения |

|токов для t=0. При вращении этих векторов с одинаковой угловой скоростью w их |

|взаимное расположение не меняется, и угол сдвига фаз между ними остается равным |

|[pic]. |

|Так как алгебраическая сумма проекций векторов на ось ординат равна мгновенному |

|значению общего тока, вектор общего тока равен геометрической сумме векторов токов: |

|[pic]. |

|Построение векторной диаграммы в масштабе позволяет определить значения [pic] и |

|[pic] из диаграммы, после чего может быть записано решение для мгновенного значения |

|[pic] путем формального учета угловой частоты: [pic]. |

| |

|Представление синусоидальных ЭДС, напряжений |

|и токов комплексными числами |

|Геометрические операции с векторами можно заменить алгебраическими операциями с |

|комплексными числами, что существенно повышает точность получаемых результатов. |

|Каждому вектору на комплексной плоскости соответствует определенное комплексное |

|число, которое может быть записано в : |

|показательной [pic] |

|тригонометрической [pic] или |

|алгебраической [pic] - формах. |

|Например, ЭДС [pic], изображенной на рис. 7 вращающимся вектором, соответствует |

|комплексное число |

|[pic]. |

|Фазовый угол [pic] определяется по проекциям вектора на оси “+1” и “+j” системы |

|координат, как |

|[pic] . |

|В соответствии с тригонометрической формой записи мнимая составляющая комплексного |

|числа определяет мгновенное значение синусоидально изменяющейся ЭДС: |

|[pic], |

|(4) |

| |

| |

|Комплексное число [pic] удобно представить в виде произведения двух комплексных |

|чисел: |

|[pic], |

|(5) |

| |

| |

|Параметр [pic], соответствующий положению вектора для t=0 (или на вращающейся со |

|скоростью w комплексной плоскости), называют комплексной амплитудой: [pic], а |

|параметр [pic] - комплексом мгновенного значения. |

|Параметр [pic]является оператором поворота вектора на угол wt относительно начального|

|положения вектора. |

|Вообще говоря, умножение вектора на оператор поворота [pic] есть его поворот |

|относительно первоначального положения на угол ±a. |

|Следовательно, мгновенное значение синусоидальной величины равно мнимой части без |

|знака “j” произведения комплекса амплитуды [pic] и оператора поворота [pic]: |

|[pic]. |

|Переход от одной формы записи синусоидальной величины к другой осуществляется с |

|помощью формулы Эйлера: |

|[pic], |

|(6) |

| |

|Если, например, комплексная амплитуда напряжения задана в виде комплексного числа в |

|алгебраической форме: |

|[pic], |

|- то для записи ее в показательной форме, необходимо найти начальную фазу [pic], т.е.|

|угол, который образует вектор [pic] с положительной полуосью +1: |

|[pic]. |

|Тогда мгновенное значение напряжения: |

|[pic], |

|где [pic]. |

|При записи выражения для определенности было принято, что [pic], т.е. что |

|изображающий вектор находится в первом или четвертом квадрантах. Если [pic], то при |

|[pic] (второй квадрант) |

|[pic], |

|(7) |

| |

|а при [pic] (третий квадрант) |

|[pic] |

|(8) |

| |

|или |

|[pic] |

|(9) |

| |

|Если задано мгновенное значение тока в виде [pic], то комплексную амплитуду |

|записывают сначала в показательной форме, а затем (при необходимости) по формуле |

|Эйлера переходят к алгебраической форме: |

|[pic]. |

|Следует указать, что при сложении и вычитании комплексов следует пользоваться |

|алгебраической формой их записи, а при умножении и делении удобна показательная |

|форма. |

|Итак, применение комплексных чисел позволяет перейти от геометрических операций над |

|векторами к алгебраическим над комплексами. Так при определении комплексной амплитуды|

|результирующего тока [pic] по рис. 5 получим: |

|[pic] |

|где [pic]; |

|[pic]. |

| |

|Действующее значение синусоидальных ЭДС, напряжений и токов |

|В соответствии с выражением (3) для действующего значения синусоидального тока |

|запишем: |

|[pic]. |

|Аналогичный результат можно получить для синусоидальных ЭДС и напряжений. Таким |

|образом, действующие значения синусоидальных тока, ЭДС и напряжения меньше своих |

|амплитудных значений в [pic] раз: |

|[pic]. |

|(10) |

| |

|Поскольку, как будет показано далее, энергетический расчет цепей переменного тока |

|обычно проводится с использованием действующих значений величин, по аналогии с |

|предыдущим введем понятие комплекса действующего значения |

|[pic]. |

| |

|Литература |

|1. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В. Зевеке, П.А. Ионкин, |

|А.В. Нетушил, С.В. Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с. |

|2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические |

|цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных |

|специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с. |

|Контрольные вопросы и задачи |

|1. Какой практический смысл имеет изображение синусоидальных величин с помощью |

|векторов? |

|2. Какой практический смысл имеет представление синусоидальных величин с |

|использованием комплексных чисел? |

|3. В чем заключаются преимущества изображения синусоидальных величин с помощью |

|комплексов по сравнению с их векторным представлением? |

|4. Для заданных синусоидальных функций ЭДС и тока [pic] записать соответствующие |

|им комплексы амплитуд и действующих значений, а также комплексы мгновенных значений. |

|5. На рис. 5 [pic], а [pic]. Определить [pic]. |

|Ответ: [pic] |

| Теория / ТОЭ / Лекция N 4. Элементы цепи синусоидального тока. Векторные |

|диаграммы и комплексные соотношения для них. |

|1. Резистор |

|Идеальный резистивный элемент не обладает ни индуктивностью, ни емкостью. Если к нему|

|приложить синусоидальное напряжение [pic] (см. рис. 1), то ток i через него будет |

|равен |

|[pic]. |

|(1) |

| |

|Соотношение (1) показывает, что ток имеет ту же начальную фазу, что и напряжение. |

|Таким образом, если на входе двухлучевого осциллографа подать сигналы u и i, то |

|соответствующие им синусоиды на его экране будут проходить (см. рис. 2) через нуль |

|одновременно, т.е. на резисторе напряжение и ток совпадают по фазе. |

|Из (1) вытекает: |

|[pic]; |

|[pic]. |

| |

| |

|[pic] |

|Переходя от синусоидальных функций напряжения и тока к соответствующим им комплексам:|

| |

|[pic]; |

|[pic], |

|- разделим первый из них на второй: |

|[pic] |

|или |

|[pic]. |

|(2) |

| |

|Полученный результат показывает, что отношение двух комплексов есть вещественная |

|константа. Следовательно, соответствующие им векторы напряжения и тока (см. рис. 3) |

|совпадают по направлению. |

| |

|2. Конденсатор |

|Идеальный емкостный элемент не обладает ни активным сопротивлением (проводимостью), |

|ни индуктивностью. Если к нему приложить синусоидальное напряжение [pic] (см. рис. |

|4), то ток i через него будет равен |

|[pic]. |

|(3) |

| |

| |

|Полученный результат показывает, что напряжение на конденсаторе отстает по фазе от |

|тока на [pic]/2. Таким образом, если на входы двухлучевого осциллографа подать |

|сигналы u и i, то на его экране будет иметь место картинка, соответствующая рис. 5.|

| |

|Из (3) вытекает: |

|[pic]; |

| |

|[pic]. |

| |

| |

|[pic] |

|Введенный параметр [pic] называют реактивным емкостным сопротивлением конденсатора. |

|Как и резистивное сопротивление, [pic] имеет размерность Ом. Однако в отличие от R |

|данный параметр является функцией частоты, что иллюстрирует рис. 6. Из рис. 6 |

|вытекает, что при [pic] конденсатор представляет разрыв для тока, а при [pic] [pic].|

| |

|Переходя от синусоидальных функций напряжения и тока к соответствующим им комплексам:|

| |

|[pic]; |

|[pic], |

|- разделим первый из них на второй: |

|[pic] |

|или |

|[pic]. |

|(4) |

| |

| |

|В последнем соотношении [pic] - комплексное сопротивление конденсатора. Умножение на |

|[pic] соответствует повороту вектора на угол [pic] по часовой стрелке. Следовательно,|

|уравнению (4) соответствует векторная диаграмма, представленная на рис. 7. |

| |

|3. Катушка индуктивности |

|Идеальный индуктивный элемент не обладает ни активным сопротивлением, ни емкостью. |

|Пусть протекающий через него ток (см. рис. 8) определяется выражением [pic]. Тогда |

|для напряжения на зажимах катушки индуктивности можно записать |

|[pic]. |

|(5) |

| |

|Полученный результат показывает, что напряжение на катушке индуктивности опережает по|

|фазе ток на [pic]/2. Таким образом, если на входы двухлучевого осциллографа подать |

|сигналы u и i, то на его экране (идеальный индуктивный элемент) будет иметь место |

|картинка, соответствующая рис. 9. |

|Из (5) вытекает: |

|[pic] |

| |

| |

| |

| |

|[pic] |

| |

| |

|[pic]. |

|Введенный параметр [pic] называют реактивным индуктивным сопротивлением катушки; его |

|размерность – Ом. Как и у емкостного элемента этот параметр является функцией |

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5