Лекции по физике за 3 семестр

Сразу получаем, что , а функция  удовлетворяет такому уравнению

.                       (8)

И мораль такая: волновая функция Ψ вида

                                      (9)

удовлетворяет уравнению Шрёдингера, где функция  удовлетворяет уравнению (8), которое называется уравнением Шрёдингера для стационарных состояний.

Это математический факт, какая физика за этим стоит? А физика такая – функция вида (9) описывает стационарное состояние частицы с энергией E. Стационарное означает, вообще-то, независящее от времени, а почему оно не зависит от времени, когда в (9) время явно сидит? Ещё раз напомню, сама волновая функция не имеет физического смысла, но физический смысл имеет квадрат её модуля, а  и от времени не зависит.

Функция  даёт распределение вероятностей обнаружить частицу в той или иной точке пространства, то есть она даёт пространственную конфигурацию этого состояния, и оно не зависит от времени. Мы имеем застывшую картину, а энергия этого состояния вполне определённая. Значит, есть энергия, но нет кинематики. Мы увидим дальше, что, например, электрон в атоме может находиться в стационарных состояниях с определённой энергией, а что касается пространственной зависимости вероятности обнаружить его в той или иной точке, то это застывшая картина. И, кстати, из этого мы можем понять, как будет решена проблема, которая возникает при применении классической механики к атому.

Как только обнаружилось, что в атоме есть ядро, то сразу родилась планетарная модель атома: положительное ядро и электроны, вращающиеся по орбитам, как планеты вокруг солнца. В эту модель сразу занеслось противоречие, потому что электроны, вращающиеся вокруг ядра, должны излучать электромагнитные волны за счёт своей энергии, – он очень быстро должен был бы свалиться на ядро.1) Мы сейчас видим, какова будет разгадка этой загадки.

Если электрон в атоме находится в стационарном состоянии, которое описывается функцией (9), то это застывшая картина, нет никакого движения заряда,  со временем не меняется – нет излучения.

Вот таким образом решается проблема с электроном в атоме. Я ещё раз говорю, что этот образ электронов, вращающихся, как планеты вокруг солнца, вокруг ядра, который в классической физике присутствует, не имеет отношения к действительности.

Кстати, волновая функция  описывает стационарное состояние (волновая функция для свободной частицы это частный случай стационарного состояния). Для плоской волны есть импульс, импульс это динамическая характеристика, а кинематики, то есть чего-то такого движущегося, нет, потому что вероятность всюду одинакова. Вот, когда мы возьмём волновой пакет, мы получим кинематику, но зато потеряем определённость в импульсе.

6. Прохождение частицы через потенциальный барьер. Туннельный эффект

Мы нашли одно частное решение для свободной частицы, когда не было потенциальной энергии, рассмотрим сейчас задачу чуть более сложную. Пусть потенциальная энергия имеет вид   (рис.6.1, а).

Физика такая: в области x<0 сила, действующая на частицу, ноль, при x>0 сила, действующая на частицу тоже ноль (потенциальная энергия постоянна), но зато в окрестности нуля действует сила . График силы изображён на рисунке 6.1, б. Для такой ступеньки производная бесконечно велика, это означает, что в окрестности нуля действует бесконечно большая сила, направленная влево, но, хотя сила бесконечно большая, работа против этой силы тем не менее конечна.

Наглядно: вот стоит абсолютно твёрдая стенка, абсолютная твёрдость означает, что при столкновении со стенкой отбрасывающая сила бесконечно велика, но тем не менее стенка пробиваема: если налетающая частица имеет кинетическую энергию больше некоторой, то она эту стенку пробивает. Работа по преодолению этой силы тем не менее конечна. Это будет изображаться таким потенциальным барьером.

Реально это можно реализовать для электронов. Имеем две металлические стенки, к этим стенкам приложена разность потенциалов. Электрон попадает в область электрического поля между стенками и испытывает силу, выталкивающую его обратно. Теперь, выдерживая постоянное напряжение, будем сближать эти стенки. Напряжённость электрического поля стремится к бесконечности, но работа по пробиванию этого конденсатора остаётся конечной. Этот барьер для электронов будет реализован вот таким образом.

А теперь мы будем рассматривать стационарное состояние. Высота барьера U0, пишем уравнение Шрёдингера для стационарных состояний:

Как нам затолкать эту разрывную функцию U(x) туда? А просто мы сейчас разделим всё пространство на две части, напишем это уравнение для области x<0 и потом напишем это уравнение для области x>0, найдём эти решения, а потом их будем сшивать в точке x0=0, чтоб получить одну функцию (волновая функция должна быть непрерывной).

                                                               (8.1)

                                                   (8.2)

Решение уравнения (8.1) пишем немедленно (это уравнение колебаний):

. Это решение в области x<0.      

Уравнение в области  в случае E>U0 имеет решение такое же как при x<0, а если , то это уравнение другого типа, оно имеет другое решение.

Мы рассматриваем первый случай, когда энергия частицы больше, чем напряжение в цепи:  и E>U0.

Эти решения надо состыковать. Функция должна быть это непрерывной:

                                                                                      (8.3)

На волновую функцию накладывается ещё одно требование – непрерывность первой производной (физическую основу этих требований мы ещё увидим):

                                                                                   (8.4)

У нас четыре константы, а мы имеем два уравнения. Математик, конечно, озадачился бы, но мы должны интерпретировать результат. Прежде всего смотрим на функцию u1:  это волна, бегущая вправо вдоль оси x, она описывает налетающие частицы,  это волна, бегущая влево вдоль оси x в области x<0, это волна может быть отразившейся, мы пока оставим это дело. Константа C1 описывает падающую волну, она соответствует амплитуде падающей волны, то есть, в конечном счёте, интенсивности налетающего пучка, значит, C1 заданная константа, C2 подлежит определению. Смотрим на решение u2 в области :  это волна, идущая вправо, она описывает пучок, прошедший через барьер,  это волна, идущая влево, физически ей неоткуда взяться, поэтому полагаем C4=0. Теперь мы имеем константу C1 (задаём сами), а C2 и C3 должны определить. У нас есть два условия, напишем эти условия: формула (8.3) в нуле даёт C1+ C2= C3, формула (8.4) даёт . Мы получим:

        и         

Мы видим, что , это означает, что есть отражённая волна. Квадрат модуля функции даёт плотность вероятности (вероятность найти частицу в этой точке), она пропорциональна количеству частиц.

Вот электроны, летящие с кинетической энергией, входят в область электрического поля, которое оказывает тормозящую силу, но их энергия больше, чем работа по преодолению этого поля. По классическим понятиям все электроны проходят этот конденсатор и дальше идут с меньшей энергией, здесь мы получаем, что существует отличная от нуля вероятность (тем больше, чем больше C2), что электрон отразится от этого поля и полетит обратно, при чём с той же энергией, с которой он летел. Чтобы драматизировать пример: ставим абсолютно твёрдое, но непробиваемое стекло, и вы стреляете в него из пулемёта. Нормальные пули стекло пробивают, но по правилам игры, которые мы тут обнаруживаем, есть отличная от нуля вероятность, что пуля отразится всё-таки от стекла и попадёт стрелку в лоб.

7

Мы рассматривали прохождение частицы через потенциальный барьер. Мы нашли решение для этой ситуации в случае, когда x<0 и когда  и E>U0. Мы нашли, что он проходит барьер, но существует отличная от нуля вероятность, что он тем не менее отразится обратно, потому что в решении появилась отражённая волна.

А теперь второй случай:  и .1)

Уравнение (8.2) нам даёт: , где . Раньше это было уравнение колебаний, имели решение в виде мнимых экспонент, а здесь будет решение в виде действительных экспонент (уравнения такого типа всегда удовлетворяются экспонентами):

Слева от барьера было решение . Опять мы должны получить функцию, заданную на всей оси x,2) мы снова должны сшить эти функции в точке x0=0.

Опять имеем четыре константы, и условия для сшивки (8.3) и (8.4). Константу C1 мы считаем заданной (это мера интенсивности налетающего пучка),  это отражённая волна, C2 подлежит определению. В решении в правой части  мы выкинем сразу, потому что функция  экспоненциально нарастает, а это недопустимо для волновой функции (она интерпретируется как плотность вероятности): ,  подлежит определению. Условие (8.3) даёт: , (8.4): , и получим, что

         и        

Видно, что , интенсивность отражённого пучка такая же как интенсивность падающего. Это означает, что весь пучок, действительно, отразится назад, но, тем не менее, волновая функция в области  будет отлична от нуля: .

То есть вероятность обнаружить частицу в классически запрещённой области отлична от нуля, – она экспоненциально затухает, но, все-таки, частица внедряется в эту запрещённую область. Частица уходит назад (интенсивность отражённого пучка такая же как интенсивность падающего, всё, что упало, всё отразилось), но то, что волновая функция не сразу обращается в ноль, физически проявляется в эффекте очень неожиданном на первый взгляд.

Туннельный эффект

Не будем решать эту задачу, она решается, но, просто, алгебра здесь длинная. Рассмотрим барьер конечной ширины – вот такую потенциальную энергию U(x) (рис.6.6, а).

Физически как реализовать эту ситуацию? Для электрона, поставив два конденсатора (рис.6.5). С точки зрения здравого смысла и классической механики что будет? Электрон летит, если его энергии достаточно, чтобы пробить конденсатор, то он через него пройдёт, долетит до следующего конденсатора, ускорится,  вылетит и будет двигаться дальше с той же скоростью, с которой он подлетал. Если же у него энергии недостаточно, чтобы пробить первый конденсатор, то он сюда забурился, остановился, и его выбросило обратно, и он улетел, а что там дальше подставлять (человека поставить флажком махать или ещё что-нибудь) ему всё равно, он туда не долетает.

За барьером мы получаем волну с той же длиной. Качественно довольно очевидно, ну а формально можно получить всё это, только в два раза больше сил потребуется, чем для ступеньки, поскольку больше граничных условий.

Это означает, что, если энергия частицы меньше высоты барьера, то существует тем не менее отличная от нуля вероятность, что она пролетит, то есть, когда вы ставите для электрона конденсатор с тормозящим полем, через него электрон заведомо не проходит, но если вы дальше поставите конденсатор с ускоряющим полем, то он пройдёт. Чем дальше будет второй конденсатор, тем больше ширина потенциального барьера, тем меньше вероятность.

Конечно, ситуация удивительная, чтобы её перевести на житейский язык, так скажем. Человек не прыгнет на 3м, чемпионы сейчас на 2.30 прыгают, но на 3м не прыгнут, даже я берусь спорить, что никогда не прыгнут.1) Теперь в чистом поле роем яму глубиной 3м и туда человека скинули. Он там может прыгать, но из ямы не выскочит. Другая ситуация: на ровном месте окружаем его стеной высотой 3м (барьер конечной ширины), тогда, если он будет прыгать достаточно долго и упорно, окажется, что он из ямы не выпрыгнет (ступенька потенциальная), а стену может преодолеть. Можно сказать, что нет вероятности выскочить из ямы глубиной 3м, но есть отличая от нуля вероятность перепрыгнуть трёхметровую стену.2)

Конечно, на макроскопическом уровне это (преодоление трёхметровой стены) выглядит как чудо, а в атомных масштабах это заурядная вещь. Вот использование электричества в быту связано радикальным образом с туннельным эффектом: всякий проводник покрыт тонкой непроводящей плёнкой, когда два проводника они разделены непроводящей плёнкой, электроны преодолевают эту плёнку за счёт туннельного эффекта.3) Вот так всё на благо человечества устроено.

Ещё один пример. Мы обсуждали фотоэффект. Электрон в металле сидит в потенциальной яме, и он не выскакивает, потому что имеет перед собой потенциальную ступеньку. А если мы за металлом убавим потенциальную энергию как на рис.6.7, а это можно сделать (см. рис.6.8), электрон в металле этого поля не чувствует, но он имеет перед собой барьер конечной ширины, а это означает, что имеется отличная от нуля вероятность, что он выскочит из металла. Это известный эффект, он называется эффектом В. Шотки, – если вы к куску металла приложите электрическое поле (оно всегда перпендикулярно к эквипотенциальной поверхности металла) такое, что для выскочившего электрона оно будет ускоряющим, то электроны начнут вылетать из металла.

7. Связанные состояния. Частица в ящике

Если частица локализована в ограниченной области пространства, то говорят, что она находится в связанном состоянии.1) Например, две частицы внутри вот этого куска мела находятся в связанном состоянии (они заперты в объёме этого куска), электроны в атоме так же находятся в связанном состоянии. Почему эти состояния важны? А вот потому, что энергия частицы в связанном состоянии может принимать лишь определённые значения 2) (энергия квантуется). Это очень существенное свойство, не имеющее, кстати, классического аналога. Земля вращается вокруг Солнца – строго говоря, её энергия квантуется, просто уровни энергии не заметны, в атомных масштабах заметны. По классическим представлениям энергия системы это определённое число, оно сохраняется, чем это число определяется? Начальными условиями, тем, как возникла эта система. Оно может быть любым, скажем, энергия могла быть чуть больше, чем она есть, чуть меньше, в классической механике это дело не регламентируется никак, всё определяется начальными условиями. А вот электрон в атоме может иметь какое-то значение En, которое можно заранее предсказать, и никаких других значений быть не может.3) Формально это проявляется так: уравнение Шрёдингера для стационарных связанных состояний имеет разумные решения лишь при определённых значениях E. Это факт математический, а его физическая интерпретация такая, что только эти значения энергии E могут наблюдаться. Мы сейчас убедимся на простом примере.

Частица в ящике

Мы сейчас смоделируем самое простое связанное состояние. Какое можно придумать самое простое связанное состояние? А вот такое – имеем ящик с абсолютно непробиваемыми стенками, с дверцей. Кинули туда частицу и дверцу захлопнули.1) Как это дело задать теперь математически? Потенциальная энергия в ящике равна нулю, вне ящика потенциальная энергия бесконечно велика, именно это и означает, что стенки ящика абсолютно непробиваемы (самый радикальный вариант связанного состояния). Дальше математика.  

Мы рассматриваем стационарное состояние, волновая функция  имеет вид: , а для функции  (пространственная часть волновой функции) должно выполняться уравнение . В уравнение окружающая обстановка заводится посредством потенциальной энергии. Наша потенциальная энергия задана таким условием:

.

            Из того, что стенки ящика абсолютно непробиваемы следует, что частица вне ящика не может находиться, мы тогда пишем сразу  вне ящика. А внутри ящика мы получим такое уравнение:

, где .

Это уравнение в частных производных. Будем искать решение в виде

,

то есть пытаемся разделить переменные.

Тогда

,  

подставим это в уравнение:

Теперь делим всё это дело на XYZ, получаем тогда уравнение такое:

.

Первое слагаемое зависит только от x, а второе только от y, а третье только от z, и утверждается, что в сумме они равны константе. Тогда всё это дело разбивается на такие уравнения:

А это уже знакомые уравнения и мы немедленно находим решения:

Это решение в ящике, мы должны получить решение для всёго пространства, чтобы оно было непрерывным. Это означает, что волновая функция в ящике должна быть устроена так, чтобы она на стенках ящика занулялась. Это условие накладывает такие ограничения:

Займёмся иксом:  даёт B1=0, то есть константу B1 мы выкинем сразу,  даёт , это означает, что , nx=1, 2, 3… (значения A1=0  и nx=0 брать нельзя, потому что тогда мы убиваем всё решение). Таким образом, мы получаем такое условие: , поскольку для остальных функций мы имеем то же самое, то  и . Для всей функции u мы получаем множество решений такого вида:

                           (10)

При этом .

И окончательно результат такой: состояние частицы в ящике задаётся тремя целыми числами, которым соответствует функция (10), и этому состоянию соответствует энергия , где a, b, c это рёбра ящика. Вот что такое квантование, имеем дискретные состояния (тройка чисел задаёт волновую функцию определённой конфигурации) и этим состояниям соответствует энергия. Важно, что нет никаких промежуточных состояний, переходных форм нет. Состояние (1,1,1) называется основным, оно имеет минимальную энергию, а максимальная вероятность найти частицу в ящике [для этого состояния] – в середине, то есть вот частица большую часть времени проводит в середине ящика вместо того, чтобы бегать от стенки к стенке.

8

Продолжаем ту же тему. Если ящик кубический, то формулка для энергии делается симпатичнее:

Возможны различные состояния, которым отвечает одна и та же энергия. Состояниям (2,1,1), (1,2,1), (1,1,2) отвечают различные волновые функции, то есть вероятности обнаружения частицы в точках ящика разные в этих состояниях, но понятно, что им отвечает одна и та же энергия. Уровень энергии, которому отвечают несколько различных состояний, называется вырожденным, в частности, уровень, отвечающий этим трём состояниям, называется трёхкратно вырожденным.

1) Почему мы считаем, что уравнения Максвелла справедливы? Потому что работает теория: радиоприёмники говорят, телевизоры картинку показывают, и, вообще, всё, что называется электричеством, железно из этих уравнений следует.

1) В чём состоит функционирование физика? Он должен уметь слова обычного языка переводить в какие-то математические формулы, вот и всё. Допустим, человек обычным языком описывает проблему, а специалист должен будет потом, зная законы природы, сказать, что будет. Так вот, специалист должен будет перевести эту, может быть, и несвязанную речь на язык математики. На этом функция физика кончается, потому что, как только он перевёл, он может пойти к знакомому математику и дать ему математическую проблему и сказать, вот решай. Математик его не будет спрашивать, что такое буква Ψ, буква t, математику важно знать, что это некоторая функция от переменных x, y, z, ему не надо знать, что эти переменные представляют. Математик это всё продолбит и даст решение, не понимая, что всё это означает. Дальше, опять физик может это проинтерпретировать. Значит, физик работает только на стадии перевода. Но такого разделения труда между физиками и математиками нет, и физикам всегда приходится работать по совместительству математиками, более того, математика в XVIII, XIX веке развивалась в основном физиками, потому что проблемы брались из физики. Вклад чистых математиков в эту науку оказался удивительным, и при случае, если не забуду, я об этом поговорю.

2) Чем замечательны экспоненты – их дифференцировать приятно.

3) Есть рецепт дивергенции от произведения скалярной функции на вектор: , так как .

1) Луи де Бройль, кстати, недавно умер, хотя это придумал в 20-х годах. Он из королевской семьи, это один из последних Бурбонов.

1) В классической физике тоже понималось, что, когда мы наблюдаем объект, то мы с ним взаимодействуем: надо объект осветить и смотреть, по крайней мере, отражённый свет. Но в классической физике считалось, что это взаимодействие можно сделать настолько малым, что оно не меняет состояния объекта, но это оказалось большим заблуждением: в области атомных масштабов наблюдение нельзя сделать таким, чтобы оно не меняло состояния объекта. Наблюдение само по себе это вовсе не невинное дело: когда мы взаимодействуем с объектом в атомных масштабах, его состояние меняется.

2) Мы обсуждали в своё время разрешающую способность оптических инструментов, к сожалению, на экзамене я убедился, что многие эту вещь проигнорировали. Совершенно дифракционное явление: в микроскоп мы можем разрешить две близкие точки, то есть воспринять их как две различные точки, если расстояние между ними не меньше длины волны. Длина волны света, который используется в микроскопе, определяет разрешающую способность.

1) Любая реальная волна, согласно теореме Фурье, может быть представлена как суперпозиция монохроматических волн с различными амплитудами и частотами ω в некотором интервале Δω. Суперпозицию волн, мало отличающихся друг от друга по частотам , называют волновым пакетом или группой волн. //И.Е. Иродов. Волновые процессы. М.1999. стр. 223.

2) Простейший наглядный пример – звуковая волна. Кто-нибудь издаст сейчас кратковременный вопль, и побежит звуковая волна длиной , где τ – длительность вопля. Кстати, если длительность вопля полсекунды, то длина этого пакета будет 150м. И побежит такое возмущение длиной 150м, оно, конечно, не монохроматическое, там уже появится целый спектр частот, и чем кратковременнее вопль, тем больший набор частот требуется для этого.

1) Поясним эту формулу на примере суперпозиции двух волн с одинаковой амплитудой и несколько отличными друг от друга длинами волн (и частотами). На рис.3.2, а показано их относительное расположение в некоторый момент времени, а на рис.3.2, б – результат их суперпозиции. Нас будет интересовать скорость, с которой перемещается место с максимальной амплитудой – это и будет скорость волнового пакета – групповая скорость.

//И.Е. Иродов. Волновые процессы. М.1999. стр.224.

1) Наглядный пример. Приходилось, наверное, наблюдать забеги на длинные дистанции. Вот группа бегунов стартует, эта компактная куча начинает бежать. Отдельный бегун – это отдельная синусоидальная составляющая. Потом, поскольку бегуны все разные, бегут с разными скоростями, это начинает размазываться: сначала бегут компактной группой, потом эта группа разбивается, потом, вообще, оказывается, один на круг отстаёт, и всё начинает путаться. Вот расплывание пакета.

2) Теперь понятно, почему существует классическая механика, почему она оказалась правильной. Например, масса пули m=10-2, допустим центр масс пули был локализован в интервале Δx0=10-5м. На сколько увеличится неопределённость в координате пули за какое-то время? Δx~10-27t. За сутки полёта пули (t=10-5) мы получим Δx~10-22. 10-10 – размер атома водорода. Потому-то пули и летают как компактные объекты, потому что у них масса достаточная, потому и справедлива классическая механика. Если мы в формулу подставим массу электрона me~10-30, то мы видим, что для электрона волновой пакет мгновенно расплывается, и его координата сразу теряется через относительно короткое время.

1) Можно жидкость, например, нагреть в обычных условиях до температуры выше 100о, и она не будит кипеть, если греть очень чистую жидкость без всяких примесей, греть осторожно. Кстати, если потом эту кастрюлю с такой жидкостью немножко тряхнуть, она взрывается, она мгновенно испаряется. Точно так же можно аккуратно охлаждать водяной пар в чистом воздухе до состояния с температурами ниже той, при которой он должен был бы сконденсироваться и превратиться в воду и даже в лёд.

1) Понятно, что вовсе не всякая функция представляется в таком виде, скажем, не всякая функция f(x, y) представляется в виде g(x)h(y), поэтому, если мы найдём такие решения, то это будут какие-то специальные решения.

1) Немедленно вопрос может возникнуть, почему планеты вращаются вокруг Солнца? Мы детально не обсуждали, как выглядит настоящая полевая теория для гравитационного поля, но, когда Земля вращается вокруг Солнца, то поле должно меняться синхронно, а поскольку синхронно меняться не может, то должны излучаться гравитационные волны. Почему тогда Земля не падает на Солнце? Ответ простой – мощность мала. Волны излучается, энергия уносится, но гравитационное взаимодействие примерно на 40 порядков слабее электромагнитного, это самое слабое взаимодействие. Энергия уносимая волнами просто очень мала, и, скажем, Земля за 4 млрд. лет, сколько она существует, сделала 4 млрд. оборотов, но приблизилась к Солнцу ничтожно мало.

1) Если кинетическая энергия электрона меньше, чем работа по преодолению тормозящего поля, то налетающий электрон внутри останавливается и выбрасывается обратно. Это по здравым представлениям, ну, и по классической физике. Посмотрим, что даёт наша теория.

2) Непрерывность гарантирует, что вероятность не прыгает резко при малом смещении, то есть вероятность меняется непрерывно.

1) Вот, кстати, на счёт предела в рекордах. Вы, наверное, анализ изучали, там сказано, что всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел. Когда я был на вашем месте, как только услыхал такую теорему, меня пронзило – это означает, что любые рекорды имеют предел. Рост рекордов в прыжках, в беге это заведомо ограниченная последовательность, стало быть, есть предел, то есть когда-то все эти спортивные соревнования упрутся в смысле рекордов. Конечно, прыгать можно всегда, потому что это личные соревнования, но рекорды расти перестанут. Такая вот эта теорема.

2) Если бы человек выскочил из ямы, так сказать, прыгнул выше головы, то нарушился бы закон сохранения энергии (у него нет энергии, чтобы подскочить на 3м). Но если он оказывается за стеной, его энергия в начальном состоянии и в конечном одна и та же, просто произошло действие, несколько запрещённое с точки зрения классической физики, но нарушения закона сохранения энергии нет.

3) Если бы не было туннельного эффекта, то с электричеством было бы не так просто. Это означает, что вы должны были бы, например, провода, ведущие к вашему чайнику, впаять в него, а другие два конца привести на электростанцию и впаять туда, чтобы было сплошное металлическое тело. Просто при механическом контакте ток не потёк бы, если б не было туннельного эффекта.

1) Земля, движущаяся вокруг солнца, находится в связанном состоянии, камни, которые мы на земле можем наблюдать, - в связанном состоянии (они не могут  уйти на бесконечность). В этом смысле все окружающие нас объекты в пределах солнечной системы это частицы в связанном состоянии. Единственные объекты, которые отражают несвязанные состояния, это два американских аппарата, которые были запущены лет пятнадцать назад

2) Когда переменная принимает определённые значения (счётное множество дискретных значений), говорят, что эта переменная квантуется.

3) Строго говоря, если быть очень аккуратным, при измерении энергии могут быть получены лишь определённые значения. Это важный нюанс. Квантовая теория не считает, что объект обладает какой-то характеристикой сам по себе, пока мы не пытаемся её измерить. Вот когда мы измеряем ту или иную характеристику, она появляется. Этому есть экспериментальное подтверждение. Если объект имеет сам по себе какие-то характеристики, то можно привести примеры, когда в определённых ситуациях будут получаться определённые следствия, а если он не обладает сам по себе, тогда следствия в тех же ситуациях будут другими. Это положение теории, очень интригующее, неоднократно проверялось – если мы будем считать, что система обладает сама по себе какой-то характеристикой, то из этого можно получить следствия, противоречащие наблюдаемому в действительности. Значит, при измерении энергии могут быть получены лишь определённые значения.

1) Вот сейчас кто-нибудь снаружи дверь закроет на ключ, и мы все в связанном состоянии. И будем рассматривать нас тут сейчас с точки зрения квантовой теории.

Страницы: 1, 2