Кинетическое уравнение Больцмана

В результате всех столкновений изменение числа молекул в единицу времени в элементарном объёме определяется разностью между числом актов ухода и числом актов прихода:

                                                                                                                        (9)        , где

                                                                        и         

Интеграл столкновений может быть определён как:

                                                                                                                        (10)

(изменение числа частиц в единицу времени в фазовом объёме dVdГ )

Из соотношений (8) и (9) получим вид интеграла столкновений

                                                                                                                        (11)

Заметим, что во втором члене подынтегрального выражения интегрирование по                  имеет

отношение только к функции                                    . Множители             и          не зависят от переменных                . Преобразовав эту часть интеграла с помощью соотношения   (4) , получим окончательный вид интеграла столкновений

                                                                                                                                                (12)

и кинетического уравнения

                                                                                                                                                (13)

Полученное интегрально - дифференциальное уравнение носит название уравнения Больцмана.

Рассмотрим не зависящее от времени распределение в состоянии равновесия системы в отсутствии внешних воздействий. Такое распределение является стационарным (не зависит от времени) и однородным (не изменяется в области пространства, занимаемой системой). Наложенные условия обнуляют производную функции распределения по времени и трём координатам; левая часть кинетического уравнения обращается в нуль. Подынтегральное выражение обращается в нуль вследствие равенства (3). Следовательно, равновесное распределение  в отсутствии внешних полей удовлетворяет кинетическому уравнению тождественным образом. Если газ находится в равновесном состоянии под действием внешнего потенциального (например, гравитационного) поля, то функция распределения и в этом случае удовлетворяет кинетическому уравнению. Действительно, равновесное распределение выражается через интеграл движения – полную энергию молекулы                . Левая часть кинетического уравнения представляет собой полную производную                         , которая равна нулю как производная от функции, зависящей только от интегралов движения. Правая часть уравнения, как уже было указано, есть нуль.  Таким образом, кинетическому уравнению удовлетворяет и функция распределения газа, находящегося в равновесии во внешнем потенциальном поле.

К указанным во “Введении” допущениям добавим ещё одно: столкновения молекул рассматриваются как мгновенные акты, происходящие в одной “точке” пространства. Кинетическое уравнение описывает процес, который протекает в интервале времени, много большем по сравнению с длительностью столкновений.  В то же время, рассматриваемая область системы должна значительно превышать область столкновения частиц, которая имеет размеры порядка величины радиуса действия молекулярных сил d. Время столкновения по порядку величины может быть определено как                (      - средняя скорость движения молекул в газе). Полученные значения представляют собой нижний предел расстояния и времени, при рассмотрении которых допускается применение кинетического уравнения. Реальные физические задачи не требуют столь детального описания процесса; размеры системы и время наблюдения значительно превышают требуемый минимум.

Для качественного рассмотрения кинетических явлений, протекающих в газе, используют грубые оценки интеграла столкновений через два параметра: длины свободного пробега    и времени свободного пробега   . Пусть при движении молекула прошла единицу длины, столкнувшись при этом с молекулами, находящимися в объеме прямого цилиндра единичной длины и площадью основания           (               - эффективное сечение молекулы). В этом объёме имеется                молекул.

-         среднее расстояние между молекулами;

Величина                   - время свободного пробега. Для грубой оценки интеграла столкновений можно использовать:

Записанная в числителе разность               учитывает тот факт, что интеграл столкновений обращаются в нуль для равновесной функции распределения, а знак “минус” говорит о том, что столкновения являются механизмом установления статистического равновесия, т.е. стремятся уменьшить отклонение функции распределения от равновесной ( иными словами, любая система, выведенная из состояния равновесия, отвечающего минимальной внутренней энергии системы, и предоставленная самой себе, стремится вернуться в равновесное состояние). 

§3 Переход к макроскопическим уравнениям. Гидродинамическое уравнение непрерывности.

Кинетическое уравнение Больцмана  даёт микроскопическое описание эволюции состояния газа. Но на практике часто не требуется столь детально описывать процессы, поэтому при рассмотрении задач гидродинамики, задач о протекании процессов в неоднородных или сильно разреженных газах, задач о теплопроводности и диффузии газов  и ряда других имеет смысл переходить к  менее детальным (а следовательно более простым ) макроскопическим уравнениям. Такое описание применимо к газу, если его макроскопические свойства (температура, плотность, концентрация частиц, давление и т.п.) достаточно медленно меняются вдоль любого, произвольно выбранного направления в газе. Расстояния, на которых происходит существенное изменение макрокскопических параметров, должны значительно превышать длину свободного пробега молекул.

В качестве примера рассмотрим рассмотрим способ получения гидродинамического уравнения.

Выражение                                         определяет плотность распределения молекул газа в пространстве (концентрацию молекул газа). Произведение массы одной молекулы (предполагается, что газ состоит из одинаковых частиц) на плотность распределения молекул даёт массовую плотность газа:                                . Обозначим через                   макроскопическую скорость движения газа как целого, а через             микроскопическую скорость молекул. Макроскопическая скорость (скорость движения центра масс) может быть определена как средняя величина от микроскопических скоростей молекул

Столкновения не изменяют ни количества сталкивающихся частиц ни их суммарной энергии или импульса (столкновение молекул считается абсолютно упругим ударом). Столкновительная часть изменения функции распределения не может привести к изменению плотности, внутренней энергии,  скорости      и любых других макроскопических параметров газа в каждом его элементе объёма. Действительно, столкновительная часть изменения полного числа молекул в единице объёма газа даётся равным нулю интегралом:

                                                                                                            (14)

Убедимся в справедливости  этого равенства следующим способом:  

Интегрирование производится по каждой из переменых                             , а значит можно, не меняя интеграла, произвести переобозначение переменных, например, во втором интеграле :

Последнее выражение, очевидно, равно нулю и, следовательно, справедливым является равенство (14).

Запишем кинетическое уравнение                                                  и, предварительно умножив обе его части на массу частицы m , интегрируем его по       :

Отсюда немедленно получаем гидродинамическое уравнение непрерывности:

Задав в этом дифференциальном уравнении изменение плотности жидкости и считая жидкость несжимаемой, можно получить векторное поле направлений скоростей в любой точке  жидкости.

§4. Слабо неоднородный газ. Теплопроводность газа.

Все реальные физические процессы обязательно протекают с некоторыми потерями энергии     (т.е. происходит диссипация энергии – переход энергии упорядоченного движения в энергию хаотического движения, например, в тепловое движение молекул газа). Для рассмотрения диссипативных процессов (теплопроводности или вязкости) в слабо неоднородном газе необходимо использовать следующее приближение: функцию распределения                 в малом участке газа следует считать не локально равновесной, как в случае однородного газа,  а отличающейся от равновесной           на некоторую достаточно малую (т.к. газ слабо неоднородный) величину           . Функция распределения       примет вид                                    , а саму поправку запишем в виде                                       . Функция         должна удовлетворять определённым условиям.  Если заданным плотностям числа частиц, энергии и импульса газа

т.е. интегралам                                              отвечает равновесная функция         ,  то неравновесная функция должна приводить к тем же значениям этих величин (интегралы с         и         должны совпадать ), что имеет место только когда

Преобразуем интеграл столкновений в кинетическом уравнении (13): подстановка выражений функции распределения и поправки , обнуление интегралов столкновений,содержащих равновесную функцию распределения, сокращение членов , не содержащих малой поправки   . Члены первого порядка дадут                                  . Символ           введен для обозначения линейного интегрального оператора          

Указанный интеграл обращается в нуль для функций вида

Запишем (без вывода) кинетическое уравнение для слабо неоднородного газа.,  сохранив для рассмотрения задачи о теплопроврдности в левой части уравнения только одно слагаемое с градиентом температуры

*************************************************

§4. Вычисление коэффициента теплопроводности одноатомного газа

Для вычисления коэффициента теплопроводности газа необходимо решать записанное выше уравнение с градиентом температуры       .

Пусть        - вектор-функция только величин        . Тогда решение уравнения () будем искать в виде                             . При подстановке этого решения в уравнение () получаем множитель          . Уравнение () справедливо при совершенно произвольных значениях вектора градиента температуры                   , тогда должны быть равными коэффициенты при            в обеих частях равенства. В итоге для        получаем уравнение

Уравнение не содержит градиента температуры и значит не имеет явной зависимости от координат. Функция         обязательно должна удовлетворять указанным ранее условиям (). Первые два условия, очевидно, выполняются ( уравнение () не содержит никаких векторных параметров, вдоль которых могли бы быть направлены постоянные векторы- интегралы                                          

                                    И                                 ). Третий интеграл                            представляет из себя дополнительное условие на функцию g. Если кинетическое уравнение решено и функция

определена, то можно определить  коэффициент теплопроводности, вычисляя поток энергии, точнее - его диссипативную часть, не связанную с конвективным переносом энергии (обозначим эту часть потока энергии через             ). В отсутствии макроскопического движения в газе Q совпадает с полным потоком энергии Q, который может быть выражен через интеграл              

Если система находится в рановесии , то                          и этот интеграл равен нулю за счёт интегрирования по всем возможным направлениям            в газе. При подстановке        в () остаётся

В компонентах

Ввиду изотропии среды равновесного газа какие либо избранные направления в нём отсутствуют и тензор              может выражаться лишь через единичный тензор ,т.е. сводится к скаляру

Таким образом поток энергии выражается как                              , где величина            есть скалярный коэффициент теплопроводности

Поток Q должен быть направлен в сторону, противоположную градиенту температуры, а величина             соответственно должна быть положительна, что автоматически обеспечивается кинетическим уравнением (). В одноатомных газах скорость v- единственный вектор от которого зависит функция g ( в многоатомных газах имеет место зависимость g не только от скорости v , но и отмомента M). Для одноатомных газов функция g имеет вид:

                                                                                                                                    .

§5.Пример решения кинетического уравнения

Молекулы газа взаимодействуют по достаточно сложным законам. Это особенно касается реальных многоатомных газов. Сделанные допущения относительно характера поведения молекул газа позволяют упростить рассуждения (или даже сделать их в принципе возможными), но несколько удаляют нас от реальности. Сложные законы взаимодействия молекул, определяющие  функцию     в интеграле столкновений, не позволяют даже записать уравнение Больцмана для конкретных газов в точном виде. Даже при упрощении характера молекулярного взаимодействия математическая структура кинетического уравнения остаётся достаточно сложной, и нахождение его решения в аналитическом виде затруднительно. В кинетической теории газов применяют особые, более эффективные, чем попытка аналитического решения,  методы приближенного решения уравнения Больцмана. В качестве примера рассмотрим одноатомный газ и задачу о теплопроводности.

Для одноатомного газа теплоёмкость                      . Положив                             уравнению ( ) придадим вид

Линейный интегральный оператор, соответствующий интегралу столкновений (  )  ,определяется формулой

 а равновесная функция распределения примет вид                                                         .

Эффективный метод приближённого решения уравнения ( ) основан на разложении искомых функций по полной системе взаимно ортогональных функций. В качестве таких функций рассмотрим полиномы Сонина, определяемые формклами :

В этой формуле r – произвольное, а s – целое положительное число либо нуль. В честноти

Свойство ортогональности этих полиномов при заданном индексе r  и различных индексах s выаглядит следующим образом

Решение уравнения ищем в виде  следующего разложения

Опустив в разложении член с s=0 , получим выражение адовлетворяющее () (нтеграл обнуляется в силу ортогональности полиномов с различными s ). Выражение в скобках в левой стороне ()

есть                     . Уравнение () принимает вид

Умножим его  с обеих сторон на                                          и проинтегрируем по           . Получим систему алгебраических уравнений, которая может быть решена на ЭВМ:

Причём

Для последнего выражения введены обозначения

Уравнение с l=0 отсутствует, поскольку                  в силу сохранения импульса

Коэффициент теплопроводности вычисляется подстановкой выражения () в интеграл (). С учётом условия () интеграл ( с                   ) может быть представлен в виде

В результате находим                       .

Об эффективности численного метода с применением разложения по полиномам Сонона можно судить по простоте правой части () и окончательному выражению (). Полученная в ходе решения басконечная система линейных алгбраических уравнений решается после искусственного усечения.

Заключение.

Рассмотренный метод вывода кинетического уравнения Больцмана вполне удовлетворителен с физической точки зрения. Однако кинетическое уравнение может быть так же получено из математического аппарата, применяемого для описания движения частиц газа. В 1946 году такой вывод, получивший название динамического, бал дан Н. Н. Боголюбовым. Метод Боголюбова позволяет не только получить уравнение Больцмана, но и поправки к нему, т.е. члены следующих порядков по малому параметру газовости               . Например, в указанном выводе учитывается одновременное столкновение только двух молекул и предполагается, что столкновения происходят в одной точке, т.е. являются локальными, и нет более или менее очевидного рецепта, позволяющего учесть столкновения групп из трёх, четырёх и большего числа частиц. Между тем ясно, что учёт подобных столкновений принципиально важен при рассмотрении плотных газов. В связи с этим целесообразно более строго подойти к выводу кинетического уравнения и к его возможным обобщениям. Метод Боголюбова позволяет учесть

“нелокальность” столкновения и столкновения более, чем двух частиц при помощи определённых поправочных членов, возникающих при выводе. Пренебрежение поправками приводит кинетическое уравнение к виду, полученному в простейшем случае.

Список литературы.

1. Е.М.Лифшиц, Л.П.Питаевский. Физическая кинетика. Наука, М., 1979 г.

2. Ю.Б.Румер, М.Ш.Рывкин. Термодинамика, статистическая физика и кинетика.

    Наука, М., 1972 г.

Страницы: 1, 2