2.3.2. ЦЕЛИ РАБОТЫ
1) Исследование и моделирование движения ЦМ МКА при воздействии на КА возмущающих ускорений.
2) Разработка алгоритмов проведения коррекции траектории МКА, моделирования процесса, и расчет потребного топлива для проведения коррекции траектории.
3) Исследование динамики системы коррекции траектории при стабилизации углового положения в процессе проведения коррекции траектории МКА.
2.4. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ЦЕНТРА МАСС МКА
2.4.1.УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ КА
Рассмотрим невозмущенное движение материальных точек М и m в некоторой инерциальной системе координат. Движение совершается под действием силы притяжения Fz. Сила Fz для материальной точки m определяется формулой:
,
где ¦ - постоянная притяжения,
ro - единичный вектор, направленный от М к m,
,
где - радиус-вектор, проведенный из т.М до т.m.
r - относительное расстояние от М до m.
На точку М действует сила Fz, равная по величине и направленная в противоположную сторону.
На основе второго закона Ньютона уравнения движения материальных точек М и m имеют вид:
(1), (2)
или
(3), (4)
где p1 - радиус-вектор, проведенный из начала инерциальной системы координат в точку m.
p2 - радиус-вектор, проведенный из начала инерциальной системы координат в точку М.
.
Вычитая из уравнения (3) уравнение (4), получим уравнение движения материальной точки m относительно притягивающего центра М:
Так как m<<М, следовательно, можно пренебречь ускорением, которое КА с массой m сообщает притягивающему центру М. Тогда можно совместить начало инерциальной системы координат с притягивающим центром М. Следовательно, .
Таким образом, уравнение невозмущенного движения КА относительно притягивающего центра М в инерциальной системе координат, центр которой находится в М, имеет вид
,
где m = fM - гравитационная постоянная Земли.
Рассмотрим возмущенное движение КА в геоцентрической экваториальной (абсолютной) системе координат OXYZ:
- начало О - в центре масс Земли.
- ось X направлена в точку весеннего равноденствия g.
- ось Z совпадает с осью вращения Земли и направлена на Северный полюс Земли.
- ось Y дополняет систему до правой.
Движение КА в абсолютной системе координат OXYZ происходит под действием центральной силы притяжения Земли Fz, а также под действием возмущающих сил Fв. Уравнение движения имеет вид
или
где m = 597 кг - масса КА.
В проекциях на оси абсолютной системы координат OXYZ получим
или
или
или
где axв, ayв, azв - возмущающиеся ускорения.
Основные возмущающиеся ускорения вызываются следующими причинами:
- нецентральностью поля притяжения Земли.
- сопротивлением атмосферы Земли.
- влиянием Солнца.
- влиянием Луны.
- давлением солнечного света.
2.4.2. ВОЗМУЩАЮЩИЕ УСКОРЕНИЯ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА МКА
1) Возмущающееся ускорение, вызванное нецентральностью гравитационного поля Земли.
Рассмотрим потенциал поля притяжения Земли. При точном расчете параметров орбиты спутников, в качестве хорошего приближения к действительной поверхности Земли принимают геоид. Геоид - это гипотетическая уровенная поверхность, совпадающая с поверхностью спокойного океана и продолженная под материком.
Иногда в баллистике под геоидом понимают не поверхность, а тело, которое ограничено поверхностью мирового океана при некотором среднем уровне воды, свободной от возмущений. Во всех точках геоида потенциал притяжения имеет одно и то же значение.
Потенциал притяжения Земли можно представить в виде разложения по сферическим функциям.
где mz = fMz - гравитационная постоянная Земли.
r0 - средний экваториальный радиус Земли.
сnm, dnm - коэффициенты, определяемые из гравиметрических данных, а также по наблюдениям за движением ИСЗ.
L - долгота притягивающей точки.
j - широта притягивающей точки.
Pnm(sinj) - присоединенные функции Лежандра степени m и порядка n (при m ¹ 0).
Pnm(sinj) - многочлен Лежандра порядка n (при m = 0).
Составляющие типа (mz/r)(r0/r)ncn0Pn0(sinj) - называют зональными гармониками n-порядка. Т.к. полином Лежандра n-го порядка имеет n действительных корней, функция Pn0(sinj) будет менять знак на n широтах, сфера делится на n+1 широтную зону, где эти составляющие имеют попеременно «+» или «-» значения. Поэтому их называют зональными гармониками.
Составляющие типа
(mz/r)(r0/r)ncnmcos(mL)Pnm(sinj) и (mz/r)(r0/r)ndnmsin(mL)Pnm(sinj)
- называют тессеральными гармониками n-порядка и степени m. Они обращаются в 0 на 2m меридианах, где cos(mL) = 0 и sin(mL) = 0 и на n-m параллелях, где Pnm(sinj) = 0 или dmPnm(sinj)/d(sinj)m = 0, сфера делится на n+m+1 трапецию, где эти составляющие сохраняют знак.
Составляющие типа и
(mz/r)(r0/r)ncnncos(nL)Pnn(sinj) и (mz/r)(r0/r)ndnnsin(nL)Pnn(sinj)
- называют секториальными гармониками n-порядка и степени m. Эти составляющие меняю знак только на меридианах, cos(nL) = 0 и sin(nL) = 0, на сфере выделяют 2n меридиональных секторов, где эти составляющие сохраняют знак.
Многочлен Лежандра степени n находится по следующей формуле:
Pn0(z) = 1/(2nn!)´(dn(z2 - 1)n/dzn)
Присоединенная функция Лежандра порядка n и степени m находится по следующей формуле:
Pnm(z) = (1-z2)m/2´dmPn0(z)/dzm
Возмущающая часть гравитационного потенциала Земли равна
Uв = U’ + DU’ = (U - mz/r) + DU’
где DU’ - потенциал аномалий силы тяготения Земли.
U’ - часть потенциала Земли, которая учитывает несферичность Земли.
Следовательно,
Первая зональная гармоника в разложении потенциала учитывает полярное сжатие Земли.
Зональные гармоники нечетного порядка и тессеральные гармоники, где n-m нечетное число - учитывают ассиметрию Земли относительно плоскости экватора.
Секториальные и тессеральные гармоники - учитывают ассиметрию Земли относительно оси вращения.
Первая зональная гармоника имеет порядок 10-3, а все остальные - порядок 10-6 и выше. Поэтому будем учитывать в разложении потенциала притяжения только зональную гармонику (n=2, m=0) и секторальную гармонику (n=2, m=2). Также не будем учитывать потенциал аномалий силы тяготения Земли DU’.
Таким образом,
Uв = (mz/r)(r0/r)2[c20P20(sinj) + (c22cos(2L) + d22sin(2L))P22(sinj)],
где c20 = - 0,00109808,
c22 = 0,00000574,
d22 = - 0,00000158.
P20(x) = 1/222!´d2(x2 - 1)2/dx2.
Следовательно P20(x) = (3x2 - 1)/2.
Так как sinj = z/r, следовательно P20(sinj) = (3(z/r)2 - 1)/2.
P22(x) = (1 - x2)2/2´d2P20(x)/dx2 = 1/2´(1 - x2)´d2(3x2 - 1)/dx2
Следовательно P22(x) = 3(1 - x2).
Так как sinj = z/r, следовательно P22(sinj) = 3(1 - (z/r)2).
Значит
Чтобы найти возмущающее ускорение от нецентральности поля тяготения Земли в проекциях на оси абсолютной системы координат OXYZ, надо взять производные от возмущающего потенциала Uв по координатам X, Y, Z, причем r = Ö(x2 + y2 + z2).
Следовательно,
2) Возмущающее ускорение, вызванное сопротивлением атмосферы.
При движении в атмосфере на КА действует сила аэродинамического ускорения Rx, направленная против вектора скорости КА относительно атмосферы:
где Cx = 2 - коэффициент аэродинамического сопротивления.
Sм = 2,5 м2 - площадь миделевого сечения - проекция КА на плоскость, перпендикулярную направлению скорости полета.
V - скорость КА.
r - плотность атмосферы в рассматриваемой точке орбиты.
Так как исследуемая орбита - круговая с высотой Н = 574 км, будем считать, что плотность атмосферы одинакова во всех точках орбиты и равна плотности атмосферы на высоте 574 км. Из таблицы стандартной атмосферы находим плотность наиболее близкую к высоте Н = 574 км. Для высоты Н = 580 км r = 5,098´10-13 кг/м3.
Сила аэродинамического ускорения создает возмущающее касательное ускорение aa:
Найдем проекции аэродинамического ускорения на оси абсолютной системы координат axa, aya, aza:
aa направлено против скорости КА, следовательно единичный вектор направления имеет вид
ea = [Vx/|V|, Vy|V|, Vz/|V|], |V| = Ö(Vx2+Vy2 +Vz2)
Таким образом,
Значит
, ,
3) Возмущающее ускорение, вызванное давлением солнечного света.
Давление солнечного света учитывается как добавок к постоянной тяготения Солнца - Dmc. Эта величина вычисляется следующим образом:
Dmc = pSмA2/m
где p = 4,64´10-6 Н/м2 - давление солнечного света на расстоянии в одну астрономическую единицу А.
A = 1,496´1011 м - 1 астрономическая единица.
m - масса КА.
Sм = 8 м2 - площадь миделевого сечения - проекция КА на плоскость, перпендикулярную направления солнечных лучей.
Таким образом,
Dmc = 1,39154´1015 м3/c2.
4) Возмущающее ускорение, возникающее из-за влияния Солнца.
Уравнение движения КА в абсолютной системе координат OXYZ относительно Земли при воздействии Солнца:
где mz - постоянная тяготения Земли.
mc - постоянная тяготения Солнца.
r - радиус-вектор от Земли до КА.
rc - радиус-вектор от Земли до Солнца.
Таким образом, возмущающее ускорение, возникающее из-за влияния Солнца:
.
Здесь первое слагаемое есть ускорение, которое получил бы КА, если он был непритягивающим, а Земля отсутствовала.
Второе слагаемое есть ускорение, которое сообщает Солнце Земле, как непритягивающему телу.
Следовательно, возмущающее ускорение, которое получает КА при движении относительно Земли - это разность двух слагаемых.
Так как rc>>r, то в первом слагаемом можно пренебречь r. Следовательно
| rc - r| = Ö((xc-x)2+(yc-y)2+(zc-z)2)
где xc, yc, zc - проекции радиуса-вектора Солнца на оси абсолютной системы координат.
Моделирование движения Солнца проводилось следующим образом: за некоторый промежуток времени t Солнце относительно Земли сместится на угол J = Jн + wct,
где Jн = W + (90 - D) - начальное положение Солнца в эклиптической системе координат.
W = 28,1° - долгота восходящего узла первого витка КА.
D = 30° - угол между восходящим узлом орбиты КА и терминатором.
wc - угловая скорость Солнца относительно Земли.
wc = 2p/T = 2p/365,2422´24´3600 = 1,991´10-7 рад/c = 1,14´10-5 °/c
Таким образом, в эклиптической системе координат проекции составляют:
xce = rccosJ
yce = rcsinJ
zce = 0
rc = 1,496´1011 м (1 астрономическая единица) - расстояние от Земли до Солнца
Плоскость эклиптики наклонена к плоскости экватора на угол e = 23,45°, проекции rc на оси абсолютной системы координат можно найти как
xc = xce = rccosJ
yce = ycecose = rccosJcose
zce = rcsinJsine
Таким образом, проекции возмущающего ускорения на оси абсолютной системы координат:
axc = - mcx/(Ö((xc-x)2+(yc-y)2+(zc-z)2))3
ayc = - mcy/(Ö((xc-x)2+(yc-y)2+(zc-z)2))3
azc = - mcz/(Ö((xc-x)2+(yc-y)2+(zc-z)2))3
С учетом солнечного давления
axc = - (mc-Dmc)x/(Ö((xc-x)2+(yc-y)2+(zc-z)2))3
ayc = - (mc-Dmc)y/(Ö((xc-x)2+(yc-y)2+(zc-z)2))3
azc = - (mc-Dmc)z/(Ö((xc-x)2+(yc-y)2+(zc-z)2))3
5) Возмущающее ускорение, возникающее из-за влияния Луны.
Уравнение движения КА в абсолютной системе координат OXYZ относительно Земли при воздействии Луны:
где mл = 4,902´106 м3/c2- постоянная тяготения Луны.
rл - радиус-вектор от Земли до Луны.
Таким образом, возмущающее ускорение, возникающее из-за влияния Луны:
Так как rл>>r, то в первом слагаемом можно пренебречь r. Следовательно
|rл - r| = Ö((xл-x)2+(yл-y)2+(zл-z)2)
где xл, yл, zл - проекции радиуса-вектора Луны на оси абсолютной системы координат.
Движение Луны учитывается следующим образом: положение Луны в каждый момент времени рассчитывается в соответствии с данными астрономического ежегодника. Все данные заносятся в массив, и далее этот массив считается программой моделирования движения КА. В первом приближении принимается:
- орбита Луны - круговая.
- угол наклона плоскости орбиты Луны к плоскости эклиптики i = 5,15°.
- период обращения линии пересечения плоскостей лунной орбиты и эклиптики (по ходу часовой стрелки, если смотреть с северного полюса) = 18,6 года.
Угол между плоскостями экватора Земли и орбиты Луны можно найти по формуле
cos(hл) = cos(e)cos(i) - sin(e)sin(i)cos(Wл)
где Wл - долгота восходящего узла лунной орбиты, отсчитывается от направления на точку весеннего равноденствия.
e - угол между плоскостями эклиптики и экватора Земли.
Величина hл колеблется с периодом 18,6 лет между минимумом при hл = e - i = 18°18’ и максимумом при hл = e + i = 28°36’ при W = 0.
Долгота восходящего узла лунной орбиты Wл изменяется с течением времени t на величину Wл = t´360/18,6´365,2422´24´3600.
Положение Луны на орбите во время t определяется углом
J л = t´360/27,32´24´3600.
По формулам перехода найдем проекции вектора положения Луны на оси абсолютной системы координат:
xл = rл(cosJлcosWл - coshлsinJлsinWл)
yл = rл(cosJлsinWл + coshлsinJлcosWл)
zл = rлsinhлsinJл
rл = 3,844´108 м - среднее расстояние от Земли до Луны
Таким образом, проекции возмущающего ускорения на оси абсолютной системы координат:
axл = - mлx/(Ö((xл!-x)2+(yл-y)2+(zл-z)2))3
ayл = - mлy/(Ö((xл!-x)2+(yл-y)2+(zл-z)2))3
azл = - mлz/(Ö((xл!-x)2+(yл-y)2+(zл-z)2))3
Уравнения возмущенного движения при действии корректирующего ускорения имеют вид:
или
d2x/dt2 = - (mz/r2)x + axu + axa + axc + axл + axк
d2y/dt2 = - (mz/r2)y + ayu + aya + ayc + ayл + ayк
d2z/dt2 = - (mz/r2)z + azu + aza + azc + azл + azк
2.4.3. РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ ТЕКУЩЕЙ ОРБИТЫ КА
Полученная система уравнений движения ЦМ КА интегрируется методом Рунге-Кутта 5-го порядка с переменным шагом. Начальные условия x0, y0, z0, Vx0, Vy0, Vz0 - в абсолютной системе координат, соответствуют начальной точке вывода при учете ошибок выведения. После интегрирования мы получаем вектор состояния КА (x, y, z, Vx, Vy, Vz) в любой момент времени.
По вектору состояния можно рассчитать параметры орбиты. соответствующие этому вектору состояния.
а) Фокальный параметр - р.
р = C2/mz, где С - интеграл площадей.
C = r ´ V, |C| = C = Ö(Cx2+Cy2+Cz2)
Cx = yVz - zVy
Cy = zVx - xVz - проекции на оси абсолютной СК
Cz = xVy - yVx
б) Эксцентриситет - е.
e = f/mz, где f - вектор Лапласа
f = V ´ C - mzr/r, |f| = f = Ö(fx2+fy2+fz2)
fx = VyCz - VzCy - mzx/r
fy = VzCx - VxCz - mzy/r - проекции на оси абсолютной СК
fz = VxCy - VyCx - mzz/r
в) Большая полуось орбиты.
a = p/(1 - e2)
г) Наклонение орбиты - i.
Cx = Csin(i)sinW
Cy = - Csin(i)cosW
Cz = Ccos(i)
можно найти наклонение i = arccos(Cz/C)
д) Долгота восходящего узла - W.
Из предыдущей системы можно найти
sinW = Cx/Csin(i)
cosW = - Cy/Csin(i)
Так как наклонение орбиты изменяется несильно в районе i = 97,6°, мы имеем право делить на sin(i).
Если sinW => 0, W = arccos (-Cy/Csin(i))
Copyright © 2012 г.
При использовании материалов - ссылка на сайт обязательна.