Физика

_ _

òr dV=òDdS

v s

_ _ _

6) òdiv DdV=ѓDdS - Остр. Г.

v s

согласован «

В теор. Остр. Гаусса содерж. связь между дивергенцией и потоком одного и того же вектора.

Работа сил. электростатич. поля.

Потенциал поля.

Силы электростатич. поля перемещая электрич. зар. соверш. работу.

Вычислим работу сил электростатич. поля для перемещения зар. по произвольной траектории.

q - созд. поле.

+q0 -перемещ. в поле заряда q.

Рассмотрим перемещение заряда на элементар. кчастке dl.

0) dA=Fldl =Fcos adl =Fdr

r - тек. расст. между q иq0.

Найдем полную работу.

2 2

А=òdA=òFdr

1 1

Поскольку Fdr cosa¢=1

_ _

Fdr=Fdr

r 2_ _

1) A=òFdr

r 1

Воспользуемся для получ. втор. формулы связью между

_ _ _ _ _ _

Е и F. E=F/q0 E=q0E

_ _

2) dA=q0Eldl =q0Edl =

=q0Ecos adl

интегрируем 2) лев. и прав. часть

2 _ _

3) A=q0òEdl

Получим еще одну формулу.

Воспольз. 1) в котор. подставим ур. Fкл.

A=òk(q0´q/r2)dr

A=q0((kq/r1) - (kq/r2))

Из 4)

5) A=q0(j1 - j2)

Работа при перемещении зар. q0 электростатич. силами равно произв. вел. этого заряда на разность потенциала в начальной и конечной точке.

Из 4) след. что работа сил поля независ. от формы траектор. Силы электростатич. явл. консервативными , поле электростатическое явл. потенциальным полем.

Используя 5) дадим второе опред. потенциала. Для этого рассм. перемещение полож. заряда q0 из данной т. в котор.

j1 = j в бесконечность j2=j¥=0.

Из 5) А¥=q0j

6) j = А¥/q0

Потенциал. поле в данн. т. числ. =работе соверш. сила электростатич. поле при перемещении единичного полож. заряда из данной т. в бесконечность. Потенц. скаляр. характеристика. Дж/Км=В

Теор. о циркуляции вектора напр.электростатич. поля.

Потенциальный характер поля.

Рассм. перемещ. зар. q0 в поле заряда q вдоль произвольной замкнутой траектор. А = 0.

Возмем для работы форм. 3)

_ _

q0ѓEldl=q0ѓEdl =0

L L

q0 ¹ 0

1) ѓEldl=0 - циркуляция Е

L _

Циркул. Е в доль произвольн. формы замкн. контура=0.

Теор. о циркул. свидетельствует о том что электростатич. поле - потенциальное.

Если циркул. не =0 то поле не потенциально.

Физ. смысл. циркул. численно равен работе по перемещ. единичн. полож. зар. по замкн. траектории.

Лекция.

Вычисление разности потенциала по напряж. поля.

1)A=q0òEldl

2)A=q0(j1 - j2)

j1 - j2=òEldl Связь между

1 разностью потенциала и напряженностью поля.

Вычислим разность потенциала для бесконеч. , равномер. заряженной нити с линейной плотностью t .

Пример:

t =dq/dl [ Кл/м]

t1, t2 e=1

(j1 - j2) - ?

El=Er dl=dr

r2 r2

j1 - j2=òErdr=òEdr

r1 r1

E=(t/2pe0r) напряженность поля в точке на расст. r от нити. 2

j1 - j2=(t/2pe0)òdr/r

j1 - j2=(t/2pe0)´ln(r2/r1)

Пример 2:

Вычисл. разности потенциала для равномер. заряж. сферы (проводящий шар).

Сфера R , q=1

1) r<R 2) r>R

Для точек вне сферы (r>R) из теор. Гаусса напряженность Е вычисляется Е=1/2pe0=q/r2

Внутри (r<R)

Е=0

r2 r2

j1 - j2=òErdr=òEdr=

r1 r1

=(q/4pe0)òdr/r2=(1/4pe0)(q/r1) -

- (1/4pe0)(q/r2)

из последнего выражения следует что потенц. поля не определ. как и у точечного зар. котор. нах. внутри.

r>R j =(1/4pe0)(q/r)

Внутри напряженность поля =0

поэтому j1 - j2=0

j1=j2=jR=(1/4pe0)(q/R)

j =const

Нарис. графики.

Связь между напряженностью поля и потенциалом в диффер. форме.

Градиент потенциал.

Для получения связи между Е и j в одной точке воспользуемся выраж. для элементарн. работы при перемещении q0 на dl по произвол. траектории.

dA=q0Eldl

В силу потенциального характера сил электростатического поля эта работа соверш. за счет убыли потенциальной энергии.

dA= - q0 dj = - П

Eldl = - dj

3) El= - (dj /dl )

Проэкция вектора напряж. поля на произвольном направлении (l) равна взятой с обратным знаком производной по этому направлению.

4) Ex= - (dj /dx)

Ey= - (dj /dy) Ez= - (dj /dz)

_ _ _

E= - ( i (¶/¶x)+j (¶/¶y)+

+k (¶/¶z))´j

E= -grad Напряженность

поля в данной т. равна взятому с обр. знаком градиенту потенцеала в этой точке.

Градиент сколяр. фукции явл. вектором.

Градиент показывает быстроту изменения потенцеала и направлен в стор. увелич потенцеала.

Напряж. поля всегда перпендикулярна к эквпотенцеальным линиям.

Пусть точечный заряд q0 перемещается в доль эквипотенцеала j =const , dl - на эквипотенцеали.

dA=q0Eldl dA=0 т.к. Dj =0

El=Ecosa q0Ecosa dl =0

q0¹0 E¹0 dl¹0 cosa=0 a=900

Проводники в электрич. поле.

Электроемкость проводников.

Конденсаторы.

Энергия поля.

§1 Условия равновесия заряда на проводнике. Электростатич. защита.

Внесем в электрич. поле напряженностью E0 тело.

При внесении проводника все электроны окажутся в электростатич поля.

В нутри проводника за короткое время призойдет разделение эл. зарядов (электростатич индукция) с накоплением их на концах.

_ _ _

E0 - внешнее E' ¯E0

E' внутри проводника

_ _ _ _ _

Е=E0+E'=0 E'=E0

E - результ. поле в нутри проводника.

В результате рассмотренныых процессов.

Усл. равновес. заряда.

1)Напр. поля во всех точках внутри проводника Е=0 .

2)Поверхность проводника

явл. эквипотенцеальной

j =const.

3) Напр. поля Е ^ эквипот.

j =const.

В силу Е=0 проводники люб. формы явл. защитой от электростатич. поля.

Поле у поверхн. заряж. проводника.

Рассм. произаольную форму проводника заряж. по поверх. с поверхностной плотностью s .

Воспольз. теор. Гаусса в интегральной форме.

_ _

ѓDdS=Sqi

На заряж. поверхности отсечем круг площадью S.

ѓe0EdS=e0EòdS

s s

e0E´S=s´S

в т. А E=s/e0

D=e0E D=s

Напр. поля прямопропорц. поверх. плотности заряда проводника в окрестностях этой точке.

Разделение зар. по проводнику завис. от его поверх. (у острых углов заряд больше , напряж. сильнее).

Электроемкость проводника.

Единица электроемкости.

Рассм. проводник произв. формы. В близи этого проводника других проводников нет. такой проводник назв. уединенным проводником.

Будем заряжать уединенный проводник. При увеличении заряда потенциал прямо пропорционально зависет от Q.

Связь между зарядом Q , потенциалом j , и формой проводника дает электроемкость С=Q/j .

Емкостью уединенного проводника - назв. физ вел. числ.= величине зар. сообщаемого этому проводнику при увеличении потенциала на 1В.

В Си 1Ф - фарад.

1Ф=1Кл/1В

Электроемкость зависет от размеров , формы и диэлектрической проницаемости среды.

С=4pee0R

j =(1/4pee0)´(Q/R)

Уединенные проводники при приближении к ним других проводников свою емкость существенно меняет (уменьш. за счет взаимного влияния электростотич. полей).

Лекция.

Конденсаторы.

Типы конденсаторов.

Конденсатор - устройство позволяющие получать стабильное значение емкости независящее от окружения.

Создание закрытого поля не влияющего на металлич. предметы достигается за счет двух металлич. разноимен. заряж. электродов.

В зависемости от формы обкладок различают плоские , цилиндрические , сферические конденсаторы.

Расчет емкости конденс. разл. типов.

Дано: s , ½+ s ½=½ - s ½ ,

e , S , d

C - ?

C=q/j уедин. проводника

Для конденс.

1) С= q/Dj =q/U

Dj =U - напряжние

С=sS/Ed=sS/[(s/ee0)´d]=

=ee0S/d 2)

Цилиндрич. конденсатор.

R1 , R2 , l , e

½+q ½=½ - q½

+t , -t

C - ?

Воспользуемся 1)

С= tl/(òEdr) E= t/2pee0r

Напряженность поля произвольной точки располож. между цилиндрами на расст. r от оси определяется только зарядами на внутреннем цилиндре (см. теор. Гаусса). Аналогично для тонкой нити.

С= tl/(ò(t/2pee0r)dr=

= [tl/(t /2pee0´ln R2/R1)]

3) C=[tl/(t /2pee0´ln R2/R1)]

емкость цилиндрич. конденс.

Сферич. конденсатор.

Сферич. конденс. - две концентрические сферы определ. радиуса.

Дано: e , R1 , R2

½+q ½=½ - q½

C - ?

Использ. 1) R2

С=q/= q/Dj =q/(òEdr)=

R2 R1

=q/(ò(q/4pee0r2)dr)

C=q/((q/4pee0)´(1/R1 - 1/R2))

C=4pee0R1R2/(R2 - R1)

Для всех видов конденс. видно что емкость зависит от параметров электродов. Всегда с помещением диэлектрика между электродов емкость увелич.

Соединение конденсаторов.

Батареи конденсаторов.

Конденсаторы часто приходится соединять вместе. Часто возник. необходимость соед. их в батареи (когда нужно иметь другую емкость).

1) Последовательное соед. - соед. при котор. отрицательные электроды соед. с полож.

У последовательно соед. Конденсаторов заряды всех обкладок равны по модулю , а разность потенциалов на зажимах батареи

Dj =åj i

i=1

Для любого из рассматриваемых конденс. Dj i=Q/Ci

С другой стороны ,

Dj =Q/C=Qå(1/Ci)

i=1

Откуда

1/C=å1/Ci

i=1

2) Параллельное соед. - соед. при котор. соедин. между собой обкладки одного знака.

С=åCi

i=1

У параллел. соед. конденсоторов разность потенциалов на обкладках конденсаторов одинакова и равна j а -j b. Если емкости конденсаторов С1 ,С2, ..., С3 то их заряды равны Q1=C1(j а -j b)

Q2=C2(j а -j b)

а заряд батареи конденсаторов

Q=åQi=(C1+C2+...+Cn)´

i=1

´(j а -j b)

Полная емкость батареи

С=Q/(j а -j b)= åCi

i=1

Энергия заряженного проводника и конденсатора.

Рассм. уедин. проводник произв. формы. Проведем зарядку этого проводника , при этом подсчитаем работу внеш. сил.

Пусть при перенесении dq из ¥ , проводник приобрел потенциал j . Элементар. работа dA=j dq.

Допустим зарядили до Q .

С=q/j j=q/C

Вся работа совершаемая при зарядке проводника до Q равна.

1) A=Q2/2C 2) A=Cj2/2

3) A=Qj/2

В окружающем пространстве после зарядки проводника возникло электростатическое поле, значит работа при зарядке проводника расходуется на создание поля. Значит работа переходит полностью в энергию электростатич. поля.

Wэл=1) или 2) или 3)

Из 1) , 2) ,3) не следует ответа что энерг. Wn локализована в самом поле поскольку в формуле стоят параметры заряж. проводника.

Конденсатор.

Рассм. зарядку конденсатора состоящего из двух обкладок

Первый путь - dq перенос. из ¥ на одну из обкладок , тогда на второй обкладке возникнет -.

Второй путь - элементарн. заряд dq перенести из одной обкладки на вторую.

Независимо от способа формулы 1) , 2) , 3) справедливы (только j изменяется на Dj).

Энергия электростатического поля.

Объемная плотность энергии.

Носителем энергии явл. само поле.

Для подтверждения этой идеи возьмем формулу 1).

Wэл=Q2/2C применим ее к плоск. конденсатору. (параметры известны).

Wэл=s2S2d/2ee0S=(s2/2ee0)´Sd=

=(ee0s2/2(ee0)2)´V

1) Wэл=(ee0E2/2)´V

Из 1) следует что носителем энергии явл. поле с напряженностью Е.

Из 1) следует что все стоящее перед объемом - это объемная плотность энерг. электростатического поля.

2) wэл=(ee0E2/2)

2') wэл=DE/2

В физике доказывается что 2) и 2') можно применять и для неоднородного поля, для котор. полная энерг. может быть вычесленна по формуле

3) Wэл=òwэлdV

Лекция.

Диэлектрики в эл. поле. Поляризация диэлектриков.

§1 Проводники и диэлектрики. сущность явл. поляризации.

У проводников электроны могут свободно перемещаться по всей толще образца.

явл. эле-

ктростатич

индукции

Диэлектрики - вещества плохо или совсем непроводящие эл. ток.

В диэлектрике свободные заряды отсутствуют. У диэлектрика очень большое сопротивление.

Во внешнем поле у диэлектриков происходят очень существенные изменения. Заряды находящиеся в атоме во внешнем поле Е0 смещаются или пытаются сместиться. Диэлектрик во внеш. эл. поле поляризуется.

поляризуется

При поляризации диэлектрика Е¹0.

У диэлектрика во внеш. эл. поле на поверхности образца появл. связнные некомпенсированные поляризованные заряды.

Явл. поляризации заключ. в появлении электрич. поля Е при внесении во внеш. поле Е0 появл. связанных поверхностных зар. и появлении в толще образца , в каждой единице объема дипольного момента.

Диполь во внеш. эл поле.

Рассм. электрический диполь образованный зарядом q.

Электрич. момент p=ql , где l- плечо диполя. Вносим диполь во внеш. поле.

Е=const

½+q½=½-q½=q

Запишем силы действующие на заряд.

_ _

На +q - F+ , на -q - F_

_ _ _

½F+½=½F_½=½F½=F

На электрич. момент действ. пара сил , при этом возник вращающий момент М.

М=Fd=Flsina=Eqlsina=

=Epsina

d - плечо силы

M=[P,E] -вращ. момент

(сколяр. произв.)

В однородн. эл поле электрический диполь поворачивается до тех пор пока эл. момент не станет направлен по внеш.

_ _

полю PE т.е. эл. диполь в полож. устойчивого равновеия.

В неоднородном эл. поле диполь наряду с поворотом испытывает поступательное движ. в область неоднородного поля.

Типы диэлектриков.

Виды (механизм) поляризации диэлектриков.

В зависимости от структуры молекул различ. два типа диэлектриков поляр. и неполяр.

неполяр. полярные

O2 , H2 , CO ... HCl ,...,CO2

Симметрич. Не симметри-

структура ма- чная структу-

лекул. ра.

Без внеш. поля.

(Е0=0)

В О центры Центры тяж.

тяж. (+) и (-) не совпадают

совпадают.

_ _

Pi=0 Pi¹0

åPi=0 åPi=0

i i

В силу хао-

тич. движ.

диполей.

У неполяр.

диэл. в отсу-

тств. внеш. по-

ля малекулы не

имеют собств.

эл.моментов.

(диполей нет)

Во внеш. поле

Pi¹0

Ориентация

_ диполи по

Pi¹0 внеш. пол. Е0

åPi¹0 åPi¹0

i i

диполи

Поляризация в завис. от вида

механизма назв.

Диформацион- Ориентаци-

ная (электрон- онная поля-

ная). ризация.

Независимо от вида поляризации у любого поляризованного диэлектрика появляется в эл. поле суммарный электрический дипольный момент.

Поляризованность.

Вектор поляризованности.

Связь его с поверхностными зарядами.

Явл. поляризации описывается с помощью важной характеристики поляризованностью или вектора

поляризации Ю.

Поляризованностью диэлектрика назв. физ. вел.численно равную суммарному электрическому (дипольному) моменту молекул заключенных в единице объема.

1) Ю=åPi/DV

в числителе суммарный момент всего образца , DV - объем всего образца.

В Си[Ю]=Кл/м2

_ _

2) Ю=жe0Е

ж -диэлектрическая восприимчевость вещества.

ж>0 ж>1

Из 2) ж -const

Покажем что вектор поляризации равен (для точек взятых внутри диэлектрика).

Ю= s '

Пусть во внеш. поле Е0 нах. массивный образец.

DV=Sl

Независимо от способа поляриз. справа будет +s ' , справа -s '.

åPi =ql=Ss 'l=

Ю=s 'Sl/Sl =s '

Эл. поле внутри диэлектрика.

Вектор эл. смещения.

Рассм. поляризацию однородного , изотропного диэлектрика (ж -const) внесенного во внеш. однородное поле поле Е0 образованное плоским конденс.

На образце появятся поверхностные связанные заряды.

+ s ' , - s '. _

Связ заряды созд. поле Е'

напр противополож. Е0.

_ _ _

Е=Е0+Е' Е= Е0+Е'

Е=Е0 - s '/e0=E0 - жe0E/e0

E+жE=E0

(1+ж)= E0

1+ж=e

E=E0/e - напряженность поля в диэлектрике внесенного во внеш. поле Е0.

Напряженность поля в диэлектр. Уменьшется в e раз при условии что s на обкладках конденс. остаются постоянными.

Если диэлектрик вносится в плоский конденс. подключенный к источнику напряжения , напряженность остается =Е0.

eЕ=Е0

ee0Е=e0Е0 D0=e0Е0

D=D0=s

В таком случае эл. смещение одинаково в вакууме и в диэл.

Лекция.

s =const E=Е0/e0

E созд. всеми видами зарядов как свободными так и связанными.

D = D0

диэл в возд

U=const

s =const

Е0=E

D=eD0

Связь между связанными и свободными и свободными зарядами (s и s' ).

Страницы: 1, 2, 3

МЕНЮ

Физика