Физика

других физических тел.

В случаях, когда всё-таки удобно или необходимо рассматривать

механическую систему в неинерциальной системе отсчёта ,нужно поэтому иметь

какое-то исходное основное механическое уравнение вместо уравнения второго

закона Ньютона.

Такое уравнение можно, разумеется, получить специальным математическим

пересчётом из уравнения второго закона Ньютона, составленного для какой-

нибудь инерциальной системы отсчёта, в данную удобную неинерциальную

систему.

Результаты пересчета представляют, однако, снова в форме уравнения

второго закона Ньютона, который теперь записывается следующим образом:

[pic]

[pic],

где Fин. обозначают возникающие при пересчете дополнительные

математические члены, которые называют силами инерции. Это название,

однако, не должно вводить нас в заблуждение: силы инерции никоим образом не

являются настоящими физическими силами, так как нельзя указать никакого

реального тела, или тел, действиями которых обусловлены указанные

"мифические" силы. Они целиком определяются механическими свойствами

рассматриваемой конкретной неинерциальной системы отсчета, характером ее

движения.

Следует хорошо усвоить, что силы инерции действительно мифические, так

как они не связаны ни с какими физическими взаимодействиями реальных

физических тел.

К силам инерции относятся, в частности, так называемые центробежные

силы и силы Кориолиса.

Пример 1. Определим силу F, стремящуюся растянуть, а потом и разорвать

круговой обруч радиуса R массы M, равномерно вращающийся вокруг своей оси с

угловой скоростью w .

[pic]

Рассмотрение проведем в неинерциальной системе отсчета, вращающейся

вместе с обручем с угловой скоростью w, в которой обруч покоится. В этой

системе любая малая часть обруча тоже покоится. Рассмотрим бесконечно малый

элемент обруча, стягиваемый центральным углом da. Кроме реальных физических

сил, действующих на этот элемент обруча (к которым относятся силы F,

действующие со

[pic]

стороны примыкающих к обоим концам элемента остальных частей обруча и

стремящиеся растянуть этот элемент обруча), надо рассмотреть теперь также и

мифическую центробежную силу Fцб., действующую на элемент нашего обруча.

При этом, согласно закону центробежной силы, на бесконечно малый элемент

обруча, стягиваемый центральным углом da, действует сила

[pic],

где k- масса в расчете на единицу длины обруча, или линейная плотность

массы, т.е. k=M/2pR .

Сумма трех векторов сил, действующих на рассматриваемый бесконечно

малый элемент, должна равняться нулю, так как этот элемент обруча в

рассматриваемой неинерциальной системе отсчета покоится. Другими словами,

[pic]

или

[pic]

и окончательно получаем

[pic]

Пример 2. Найти угол наклона к горизонтали свободной поверхности

жидкости, налитой в сосуд прямоугольной формы, скатывающийся с наклонной

плоскости, имеющей угол наклона к горизонту a.

Рассмотрение снова удобно вести в неинерциальной системе отсчета,

жестко связанной с сосудом с жидкостью, в которой жидкость покоится. Эта

неинерциальная система равномерно ускоренно движется вниз вдоль наклонной

плоскости с ускорением a=g sin a.

Таким образом, на каждую малую жидкую частицу массы m в этой

инерциальной системе действует не только сила тяжести F=mg, направленная

вертикально вниз, но и сила инерции Fин.=ma, направленная в противоположную

сторону движения, т.е. вверх вдоль наклонной плоскости.

Жидкость в прямоугольном сосуде как бы находится в однородном поле

новых сил тяжести, имеющих ускорение g’, которое составляет некоторый угол

b с вертикалью. Следовательно, свободная поверхность жидкости в

скатывающемся сосуде, перпендикулярная направлению нового ускорения g’,

будет составлять такой же угол b с горизонтальной плоскостью. Найдем угол

b. Имеем косоугольный треугольник

[pic]

Применим к нему теорему синусов

[pic],

[pic],

sin b(1-sin2a)=cos b sin a cos a,

sin b cos a =cos b sin a,

tg b=tg a.

Следовательно, искомый угол b равен углу a, т.е. свободная по верхность

жидкости в скатывающемся по наклонной плоскости сосуде будет параллельна

наклонной плоскости.

4.4. Астрономические и земные измерения скорости света

Впервые скорость света была измерена в конце XVII в. в 1675 г. датским

астрономом О.Ремером (1644-1710), который смог найти ее значение из

наблюдений за спутниками Юпитера- четырьмя "медичейскими звездами",

открытыми Галилеем в 1610 г. В настоящее время открыто 11 спутников

Юпитера.

Периоды обращений этих спутников порядка нескольких дней; они малы по

сравнению с периодом обращения Юпитера (12 лет) и Земли (1 год) вокруг

Солнца. Ремер наблюдал за первым спутников Юпитера с периодом обращения 42

час 28 мин. Он заметил, что когда Земля двигалась по своей орбите, удаляясь

от Юпитера, период обращения спутника становился длиннее. Когда Земля,

наоборот, приближалась к Юпитеру, период обращения спутника становился

короче. Ремер из этих наблюдений сделал правильный вывод, - что разность

максимального и минимального периодов обращений спутника равна времени,

необходимого свету для прохождения расстояния равного диаметру земной

орбиты.

Орбита Юпитера, как и других планет, лежит приблизительно в плоскости

орбиты Земли - в плоскости эклиптики; все планеты вращаются в одну сторону.

[pic]

На рисунке L обозначает расстояние между Землей и спутником Юпитера в

тот момент, когда он входит в тень Юпитера. Момент затмения наблюдается на

Земле с запаздыванием, равным Dt=L/c, где c - скорость распространения

света в межзвездной среде - эфире. Очевидно время запаздывания минимально

или максимально, когда расстояние между Юпитером и Землей, соответственно,

минимально или максимально.

Рассмотрим сначала наблюдаемый с Земли интервал времени T между двумя

последовательными затмениями спутника, т.е. период обращения спутника

вокруг Юпитера. Обозначим через T0 истинный интервал времени между двумя

последовательными затмениями, или истинный период обращения спутника вокруг

Юпитера.

Рассмотрим, например, для определенности случай, когда Земля движется

по направлению к Юпитеру со скоростью v. Тогда первое затмение спутника мы

зафиксируем на Земле с запаздыванием, равным l/c, где l - расстояние от

Земли до Юпитера в момент первого затмения, c - скорость света. Второе

затмение спутника мы зафиксируем на Земле немного с другим запаздыванием,

равным (l-Dl)/c, где Dl - расстояние, пройденное Землей к Юпитеру за время

T0, прошедшее между двумя последовательными затмениями. Таким образом,

отличие наблюдаемого периода T между двумя затмениями и истинного периода

T-0 между ними равно

[pic];

но очевидно [pic], а потому

[pic],

т.е. наблюдаемый с Земли период обращения T оказывается меньше

истинного периода T0 .

Если теперь Земля удаляется от Юпитера со скоростью v , то отличие

наблюдаемого периода T обращение спутника от истинного периода T0 будет

равно

[pic],

т.е. наблюдаемый с Земли период обращения спутника T окажется больше

истинного периода T0.

Предположим теперь, что мы будем наблюдать затмения спутника Юпитера в

течение полугода, когда Земля перемещается из точки A в точку C.

[pic]

Если наблюдать два последовательных затмения с Земли, находящейся в

некоторой промежуточной точке M на своей орбите, то очевидно

[pic]

[pic]

где f - угол ASM, который равен f =2pt/T3 , где t- время, протекающее с

момента, когда Земля находилась в точке A своей орбиты, T3 - период

обращения Земли вокруг своей орбиты. В течение полугода, когда Земля

перемещается вдоль пути ABC, изменение периода варьируется от DT=0 в точке

A до максимального значения DT=T0v/c в точке B и вновь до значения DT=0 в

точке C .

Возьмем сумму изменений периода DT за полгода:

[pic][pic]

где k-номер наблюдаемого периода.

Очевидно сумму

[pic]

можно рассматривать как интегральную сумму для следующего интеграла

[pic]

так как tk=kT0, Dtk=T0. Вычисляя приведенный интеграл , находим

[pic]

Следовательно приходим к формуле

[pic]

т.е. сумма изменений наблюдаемых с Земли периодов обращения спутника за

полгода равна времени, которое требуется свету для прохождения диаметра

земной орбиты.

Если в первую половину года, когда Земля двигалась по пути ABC, т.е.

удаляясь от Юпитера, наблюдаемые с Земли периоды Tk обращения спутника были

больше истинного периода T0, то во вторую половину года, когда Земля будет

двигаться по пути CDA, т.е. приближаясь к Юпитеру, наблюдаемые периоды Tk

обращения спутника будут меньше истинного периода T0 причем для второй

половины года

[pic]

Таким образом, истинное значение периода T0 обращения спутника вокруг

Юпитера можно определить, составив сумму наблюдаемых периодов TК обращения

спутника за год и разделив её на полное число N наблюдаемых за год

периодов:

[pic]

Сам Ремер получил заниженное значение скорости света, равное

приблизительно с=214000км/с, при этом его ошибка в основном объяснялась

неточным знанием значения диаметра земной орбиты. Фактически Ремер привел

не значение для скорости света, а значение для времени требующемуся для

свету на прохождение расстояния от Солнца до Земли, которое он считал

равным 11 мин=660 сек (на самом деле это время равно примерно 8 мин 20

сек=500 сек). Позднее, уже в 18 и 19 веках Деламбр (1790 г.) дал значение

времени 493,2 сек. и Глазенап (1874 г.) - значение 500,8 сек. Сэмпсон в

1909 г. приводит значение 498,79[pic]0,02 сек. Неровности поверхности

Юпитера ведут к неизбежным ошибкам времени наблюдений затмений спутника.

Следующее, тоже астрономическое измерение скорости света было

произведено английским астрономом Дж.Д.Брэдли (1692-1762). В 1728 г. он

нашел правильное объяснение увиденного им необычного явления в движении

звезд, которое было названо вскоре аберрацией.

Одной из важнейших задач наблюдательной астрономии последних

десятилетий XVII в. и первых десятилетий XVIII в. было обнаружение

параллаксов звёзд, необходимость наблюдений которых непосредственно

вытекала из коперниковой системы мироздания, а их отсутствие служило

существенным доводом против этой системы; здесь речь идет, конечно, не о

суточных, а о так называемых годичных параллаксах (“суточный” - это угол,

под которым виден радиус Земли с небесного тела; “годичный” - это угол, под

которым виден с небесного тела радиус орбиты Земли вокруг Солнца). Брэдли

как раз и стремился обнаружить эти так называемые “годичные параллаксы”, то

есть углы растворов конусов, отбрасываемых на небесную сферу линиями

визирования, направленными на звезду с различных точек земной орбиты.

Однако вместо параллаксов (которые вследствие их чрезвычайной малости из-за

огромной удаленности звезд от Земли впервые были измерены только в конце

XIX в. Бесселем, то есть через 100 лет после Брэдли ), Брэдли открыл не

параллакс, а аберрацию.

[pic]

[pic]

На рисунке показано, как образуются звездой круговые траектории на

небесной сфере для звезды, расположенной точно в полюсе эклиптики. На левом

рисунке проиллюстрировано явление годичного параллакса, на правом - явление

аберрации. Видим, что положения звезды на круге при параллаксе и при

аберрации для фиксированного положения Земли на орбите разные; они

различаются поворотом на 900.

Брэдли наблюдал за ежесуточными проходами через меридиан звезды g в

голове созвездия Дракона, находящейся вблизи полюса эклиптик. Начав

наблюдения в декабре 1725 г., Брэдли заметил, что эта звезда всё более

отклонялась к югу. Её смещение достигло 20`` к началу марта. Затем звезда

на несколько дней остановилась, а затем стала снова двигаться, но теперь в

обратную сторону - к северу. К июню звезда заняла свое прежнее положение,

какое у неё было в декабре, прошла его и в течение второго полугодия

проделала точно такой же путь на север и обратно. Это движение звезды

нельзя было объяснить как результат параллакса (если бы это было годовое

параллактическое движение, то движение звезды к югу должно начаться не в

декабре, а в марте, а движение её к северу не в июне, - а в сентябре) и

Брэдли догадался, что наблюдаемый им эффект обязан конечности скорости

распространения света и годичному движению Земли по своей орбите.

Брэдли пишет : “Наконец я догадался, что если свет распространяется во

времени, то кажущееся положение неподвижного предмета, когда глаз находится

в покое, будет иное, чем когда глаз движется в направлении, уклоняющемся от

линии, соединяющей предмет с глазом, и что когда глаз движется в различных

направлениях, то и кажущееся положение объекта будет различным”.

Объяснение Брэдли эффекта аберрации было следующее.

Пусть прямая CA - путь луча света, идущего от источника C, по которому

движется световая корпускула. Пусть глаз наблюдателя движется вдоль прямой

BA со скоростью v, которая относится к скорости света c, как BA относится к

CA. Корпускула света, которая обеспечивает видение глазом источника C в

точке A, должна была быть испущена источником C в тот момент, когда глаз

находился в точке B.

[pic]

Трубу телескопа, которую Брэдли мысленно представил себе движущейся

параллельно самой себе вдоль прямой BA надо направить вдоль прямой BC,

чтобы получить свет от источника C. Трубу телескопа, Брэдли взял такого

диаметра, чтобы она пропускала только одну световую корпускулу. Угол BCA =

a характеризует угол наклона линии визирования на источник к линии, вдоль

которой движется глаз. Очевидно sin a = (v/c)sinj ,при j = 900, то есть для

звезды в полюсе эклиптики, имеем sin a = v/c ;при j = 00, то есть для

звезды на эклиптике, имеем sin a = 0.

Скорость v - это скорость движения Земли на орбите. Она Брэдли была

известна, так как радиус земной орбиты был уже к тому времени давно точно

измерен. Зная длину пути, пройденного Землей за год, можно было вычислить,

что v = 30 км/с. Зная эту скорость и угол аберрации a, по приведенной

формуле можно было легко рассчитать скорость света c. Создав теорию для g

Дракона, Брэдли перешел к её подтверждению путем наблюдений за другими

звездами. В 1726-28 гг. он наблюдал аберрацию ещё для 7 звёзд вблизи полюса

эклиптики и для всех них полная амплитуда углового смещения на небе

составила величину 40``-41`` (среднее 40``,4). Таким образом, угол

аберрации a оказался равным 20``,2. Этот угол даёт значение скорости света

301000 км/с, но Брэдли на самом деле приводит не это значение, а значение

для времени распространения света от Солнца до Земли, которое он считал

равным 8 мин 12 сек.

Брэдли объяснил открытую им в 1728 г. аберрацию неподвижных звёзд на

основе корпускулярной теории света. В 1804 г. Юнг показал, однако что

аберрацию можно объяснить и на основе волновой теории света. При этом Юнг

сделал следующее предположение. Земля и все тела на Земле пронизаны,

пропитаны эфиром, но при движении Земли и тел на её поверхности они не

могут этот эфир увлечь за собой или сколь-либо существенным образом его

возмутить. Поэтому возникает “эфирный ветер”, пронизывающий все тела на

движущейся Земле. Тела не способны задерживать эфир, как “неспособны

удерживать ветер кроны деревьев”, как писал Юнг.

Таким образом, световые волны, идущие от звезды, не будут принимать

участия в движении телескопа, и если считать что телескоп направлен на

истинное положение звезды, а Земля, для простоты, пусть движется

перпендикулярно направлению на звезду, то изображение звезды будет смещено

от центрального перекрестья в фокусе на расстояние, равное тому, которое

пройдет Земля за время, пока свет будет идти через трубу телескопа.

[pic]

На рисунке MN = ct, KN = vt, где t - время, требующееся свету, чтобы

пройти через трубу телескопа. Таким образом, угол аберрации [pic]

Здесь рассматривается для простоты случай, когда направление движения

Земли составляет точно прямой угол с направлением на звезду.

В земных условиях скорость света сумели измерить только в середине XIX

в. Это сделали Физо (1849 г.) и Фуко (1865 г.) двумя различными методами (с

использованием быстро вращающегося зубчатого колеса и с использованием

быстро вращающегося многогранного зеркала), при этом было подтверждено

значение скорости света c = 300000 км/с, полученное астрономическим

методом.

5. Теория Френеля частичного увлечения эфира движущимся телом и его

теория аберрации. Опыты Араго и Физо.

Аберрационной константой называется отношение v/c, скорости v Земли на

орбите (v=30 км/с) к скорости c света в пустоте (c=300000км/с).Она очень

мала : [pic]

Вопрос о том, преломляются ли по-разному стеклянной призмой лучи,

идущие от звезды и от земного источника, был поставлен в первой четверти

XIX в. Араго. Рассуждения его были следующие. Так как Земля движется в

неподвижном эфире со скоростью v, то скорость света, идущего от звезды, в

стекле призмы при приближении к звезде будет c - v , а при удалении от

звезды (через полгода) будет c + v. Таким образом, показатель преломления n

призмы, через которую наблюдается звезда, для света звезды должен в течение

года периодически изменяться от значения n ( c - v ) до значения n ( c + v

), а потому луч от звезды должен периодически отклоняться от своего

начального положения и по прошествии года должен возвращаться в свое

начальное положение.

Араго в 1810 г. произвёл такой эксперимент со стеклянной призмой,

направленной на определенную звезду. Он наблюдал преломление луча света

звезды в призме, когда Земля двигалась к звезде (через полгода), когда

Земля удалялась от звезды. Араго ожидал получить угловое смещение 2`. Но

получил отрицательный результат - никакого смещения не было. Так он пришёл

к заключению, что преломление в движущейся призме идентично преломлению в

покоящейся призме.

Получив такой результат, Араго обратился к Френелю с просьбой объяснить

его. В письме к Араго от 1818 г., опубликованном во французском научном

журнале в том же 1818 г., Френель не только нашел объяснение отрицательного

результата опыта Араго, но и сделал принципиально новый шаг в теории

аберрации. Фактически с этого письма Френеля начинается вся оптика

движущихся сред. Френель поставил более широкий вопрос - как влияет

движение Земли на оптические явления на Земле? Аберрация, таким образом, у

Френеля перестала быть изолированным астрономическим оптическим явлением,

требующим для своего объяснения особых рассуждений.

Френель сразу отказался от объяснения опыта Араго тем, что эфир

полностью увлекается Землёй, так как тогда, как пишет Френель, невозможно

объяснить явление аберрации, ибо её объяснение он видел, следуя Юнгу, в

том, что эфир не увлекается движущейся Землёй.

В отличие от Юнга Френель, однако, предположил, что Земля сообщает

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5