Современная научная космология

2.4. Неевклидовы геометрии

Мы привыкли, что в двухмерном пространстве, то есть на плоскости, есть своя, присущая только плоскости геометрия. Так, сумма углов в любом треугольнике равна 180°. Через точку, лежащую вне прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной. Это - постулаты Евклидовой геометрии. По аналогии предполагается, что и реальное трехмерное пространство, в котором мы с вами существуем, есть евклидово пространство.
И все аксиомы плоскостной геометрии остаются верными и для пространства трех измерений. Такой вывод на протяжении многих веков не подвергался сомнению. Лишь в прошлом веке независимо друг от друга русский математик
Николай Лобачевский и немецкий математик Георг Риман усомнились в общепризнанном мнении. Они доказали, что могут существовать и иные геометрии, отличные от евклидовой, но столь же внутренне непротиворечивые.

Итак, пятый постулат Евклида утверждает, что через точку вне прямой можно провести лишь одну прямую, параллельную данной. Логически рассуждая, легко увидеть еще две возможности:

- через точку вне прямой нельзя провести ни одной прямой, параллельной данной (постулат Римана);

- через точку вне прямой можно провести бесчисленное множество прямых, параллельных данной (постулат Лобачевского).

На первый взгляда эти утверждения звучат абсурдно. На плоскости они и в самом деле неверны. Но ведь могут существовать и иные поверхности, где имеют место постулаты Римана и Лобачевского.

Представьте себе, например, поверхность сферы. На ней кратчайшее расстояние между двумя точками отсчитывается не по прямой (на поверхности сферы прямых нет), а по дуге большого круга (так называют окружности, радиусы которых равны радиусу сферы). На земном шаре подобными кратчайшими, или, как их называют, геодезическими, линиями служат меридианы. Все меридианы, как известно, пересекаются в полюсах, и каждый из них можно считать прямой, параллельной данному меридиану. На сфере выполняется своя, сферическая геометрия, в которой верно утверждение: сумма углов треугольника всегда больше 180°. Представьте себе на сфере треугольник, образованный двумя меридианами и дугой экватора. Углы между меридианами и экватором равны 90°, а к их сумме прибавляется угол между меридианами с вершиной в полюсе. На сфере, таким образом, нет непересекающихся прямых.

Существуют и такие поверхности, для которых оказывается верным постулат Лобачевского. К ним относится, например, седловидная поверхность, которая называется псевдосферой. На ней сумма углов треугольника меньше
180°, и невозможно провести ни одной прямой, параллельной данной.

После того, как Риман и Лобачевский доказали внутреннюю непротиворечивость своих геометрий, возникли законные сомнения в евклидовом характере реального трехмерного пространства. Не является ли оно искривленном наподобие сферы или псевдосферы? Конечно, наглядно представить себе искривленность трехмерного пространства невозможно. Можно лишь рассуждать по аналогии. Поэтому, если реальное пространство не евклидово, а сферическое, не следует воображать его себе в виде некоторой обычной сферы.
Сферическое пространство есть сфера, но сфера четырехмерная, не поддающаяся наглядному представлению. По аналогии можно сделать вывод, что объем такого пространства конечен, как конечна поверхность любого шара - ее можно выразить конечным числом квадратных сантиметров. Поверхность всякой четырехмерной сферы также выражается в конечном количестве кубометров.
Такое сферическое пространство не имеет границ и в этом смысле - безгранично. Летя в таком пространстве по одному направлению, мы в конце концов вернемся в исходную точку. Так же и муха, ползущая по поверхности шара, нигде не найдет границ. В этом смысле и поверхность любого шара безгранична, хотя и конечна. То есть безграничность и бесконечность - разные понятия.

3. ТЕОРИИ ХХ В. О ПРОИСХОЖДЕНИИ ВСЕЛЕННОЙ

Наиболее общепринятой в космологии является модель однородной изотропной нестационарной горячей расширяющейся Вселенной, построенная на основе общей теории относительности и релятивистской теории тяготения, созданной Альбертом Эйнштейном в 1916 году. В основе этой модели лежат два предположения: 1) свойства Вселенной одинаковы во всех ее точках
(однородность) и направления (изотропность); 2) наилучшим известным описанием гравитационного поля являются уравнения Эйнштейна. Из этого следует так называемая кривизна пространства и связь, кривизны с плотностью массы. Космологию, основанную на этих постулатах называют релятивистской.
Важным пунктом данной модели является ее нестационарность, это означает, что Вселенная не может находиться в статическом, неизменном состоянии.

3.1. Саморазвивающаяся вселенная А.А. Фридмана

Новый этап в развитии релятивистской космологии был связан с исследованиями русского ученого А.А. Фридмана (1888-1925), который математически доказал идею саморазвивающейся Вселенной. Работа А.А.
Фридмана в корне изменила основоположения прежнего научного мировоззрения.
По его утверждению космологические начальные условия образования Вселенной были сингулярными. Разъясняя характер эволюции Вселенной, расширяющейся начиная с сингулярного состояния, Фридман особо выделял два случая: а) радиус кривизны Вселенной с течением времени постоянно возрастает, начиная с нулевого значения; б) радиус кривизны меняется периодически: Вселенная сжимается в точку
(в ничто, сингулярное состояние), затем снова из точки, доводит свой радиус до некоторого значения, далее опять, уменьшая радиус своей кривизны, обращается в точку, и т.д.

3.2. Открытие красного смещения Э. Хаббла

На этот вывод не было обращено внимания вплоть до открытия американским астрономом Эдвином Хабблом в 1929 году так называемого
«красного смещения». Красное смещение — это понижение частот электромагнитного излучения: в видимой части спектра линии смещаются к его красному концу. Обнаруженный ранее эффект Доплера гласил, что при удалении от нас какого-либо источника колебаний, воспринимаемая вами частота колебаний уменьшается, а длина волны соответственно увеличивается. При излучении происходит «покраснение», т. е. линии спектра сдвигаются в сторону более длинных красных волн.

Так вот, для всех далеких источников света красное смещение было зафиксировано, причем, чем дальше находился источник, тем в большей степени. Красное смещение оказалось пропорционально расстоянию до источника, что и подтверждает гипотезу об удалении их, т. е. о расширении
Метагалактики — видимой части Вселенной.

3.3. Концепция "Большого взрыва"

Составной частью модели расширяющейся Вселенной является представление о Большом Взрыве, происшедшем где-то примерно 12 - 18 млрд. лет назад.

Джордж Лемер был первым, кто выдвинул концепцию «Большого взрыва» из так называемого «первобытного атома» и последующего превращения его осколков в звезды и галактики. Конечно, со стороны современного астрофизического знания данная концепция представляет лишь исторический интерес, но сама идея первоначального взрывоопасного движения космической материи и ее последующего эволюционного развития неотъемлемой частью вошла в современную научную картину мира.

3.4. Модель "Горячей вселенной"

Принципиально новый этап в развитии современной эволюционной космологии связан с именем американского физика Г.А.Гамова (1904-1968), благодаря которому в науку вошло понятие горячей Вселенной. Согласно предложенной им модели «начала» эволюционирующей Вселенной «первоатом»
Леметра состоял из сильно сжатых нейтронов, плотность которых достигала чудовищной величины - один кубический сантиметр первичного вещества весил миллиард тонн. В результате взрыва этого «первоатома» по мнению Г.А.Гамова образовался своеобразный космологический котел с температурой порядка трех миллиардов градусов, где и произошел естественный синтез химических элементов. Осколки первичного яйца - отдельные нейтроны затем распались на электроны и протоны, которые, в свою очередь, соединившись с нераспавшимися нейтронами, образовали ядра будущих атомов. Все это произошло в первые 30 минут после «Большого Взрыва.

Горячая модель представляла собой конкретную астрофизическую гипотезу, указывающую пути опытной проверки своих следствий. Гамов предсказал существование в настоящее время остатков теплового излучения первичной горячей плазмы, а его сотрудник Герман еще в 1948 г. довольно точно рассчитал величину температуры этого остаточного излучения уже современной Вселенной. Однако Гамову и его сотрудникам не удалось дать удовлетворительное объяснение естественному образованию и распространенности тяжелых химических элементов во Вселенной, что явилось причиной скептического отношения к его теории со стороны специалистов. Как оказалось, предложенный механизм ядерного синтеза не мог обеспечить возникновение наблюдаемого ныне количества этих элементов.

3.5. Модель "Холодной вселенной"

Ученые стали искать иные физические модели «начала». В 1961 году академик Я.Б. Зельдович выдвинул альтернативную холодную модель, согласно которой первоначальная плазма состояла из смеси холодных (с температурой ниже абсолютного нуля) вырожденных частиц - протонов, электронов и нейтрино. Три года спустя астрофизики И.Д. Новиков и А.Г. Дорошкевич произвели сравнительный анализ двух противоположных моделей космологических начальных условий - горячей и холодной и указали путь опытной проверки и выбора одной из них. Было предложено с помощью изучения спектра излучений звезд и космических радиоисточников попытаться обнаружить остатки первичного излучения. Открытие остатков первичного излучения подтверждало бы правильность горячей модели, а если таковые не существуют, то это будет свидетельствовать в пользу холодной модели.

3.6. Открытие реликтового излучения

В конце 60-х годов группа американских ученых во главе с Р. Дикке приступила к попыткам обнаружить реликтовое излучение. Но их опередили Л.
Пепзиас и Р. Вильсон, получившие в 1978 г. Нобелевскую премию за открытие микроволнового фона (это официальное название реликтового излучения) на волне 7,35 см.

Примечательно, что будущие лауреаты Нобелевском премии не искали реликтовое излучение, а в основном занимались отладкой радиоантенны, для работы по программе спутниковой связи. С июля 1964 г. по апрель 1965 г они при различных положениях антенны регистрировали космическое излучение, природа которого первоначально была им не ясна. Этим излучением и оказалось реликтовое излучение.

Таким образом, в результате астрономических наблюдений последнего времени удалось однозначно решить принципиальный вопрос о характере физических условий, господствовавших на ранних стадиях космической эволюции: наиболее адекватной оказалась горячая модель «начала». Сказанное, однако, не означает, что подтвердились все теоретические утверждения и выводы космологической концепции Гамова. Из двух исходных гипотез теории - о нейтронном составе «космического яйца» и горячем состоянии молодой
Вселенной - проверку временем «выдержала «только «последняя, указывающая на количественное преобладание излучения над веществом у истоков ныне наблюдаемого космологического расширения.

СОВРЕМЕННАЯ НАУКА О ПРОИСХОЖДЕНИИ ВСЕЛЕННОЙ

4.1. Тепловая история или сценарий образования крупномасштабной структуры Вселенной

На нынешней стадии развития физической космологии на передний план выдвинулась задача создания тепловой истории Вселенной, в особенности сценария образования крупномасштабной структуры Вселенной. Последние теоретические изыскания физиков велись в направлении следующей фундаментальной идеи: в основе всех известных типов физических взаимодействий лежит одно универсальное взаимодействие; электромагнитное, слабое, сильное и гравитационное взаимодействия являются различными гранями единого взаимодействия, расщепляющегося по мере понижения уровня энергии соответствующих физических процессов. Иначе говоря, при очень высоких температурах (превышающих определенные критические значения) различные типы физических взаимодействий начинают объединяться, а на пределе все четыре типа взаимодействия сводятся к одному единственному протовзаимодействию, называемому «Великим синтезом».

Согласно квантовой теории то, что остается после удаления частиц материи (к примеру, из какого-либо закрытого сосуда с помощью вакуумного насоса), вовсе не является пустым в буквальном смысле слова, как это считала классическая физика. Хотя вакуум не содержит обычных частиц, он насыщен «полуживыми», так называемыми виртуальными тельцами. Чтобы их превратить в настоящие частицы материи, достаточно возбудить вакуум, например, воздействовать на него электромагнитным полем, создаваемым внесенными в него заряженными частицами.

Но что же все таки явилось причиной «Большого Взрыва»? Судя по данным астрономии физическая величина космологической постоянной, фигурирующей в эйнштейновских уравнениях тяготения, очень мала, возможно близка к нулю. Но даже будучи столь ничтожной, она может вызвать очень большие космологические последствия. Развитие квантовой теории поля привело к еще более интересным выводам. Оказалось, что космологическая постоянная является функцией от энергии, в частности зависит от температуры. При сверхвысоких температурах, господствовавших на самых ранних фазах развития космической материи, космологическая постоянная могла быть очень большой, а главное, положительной по знаку. Говоря другими словами, в далеком прошлом вакуум мог находиться в чрезвычайно необычном физическом состоянии, характеризуемом наличием мощных сил отталкивания. Именно эти силы и послужили физической причиной «Большого Взрыва» и последующего быстрого расширения Вселенной.

Рассмотрение причин и последствий космологического «Большого Взрыва» было бы не полным без еще одного физического понятия. Речь идет о так называемом фазовом переходе (превращении), т.е. качественном превращении вещества, сопровождающимся резкой сменой одного его состояния другим.
Советские ученые-физики Д.А. Киржниц и А.Д. Линде первыми обратили внимание на то, что в начальной фазе становления Вселенной, когда космическая материя находилась в сверхгорячем, но уже остывающем состоянии, могли происходить аналогичные физические процессы (фазовые переходы).

Дальнейшее изучение космологических следствий фазовых переходов с нарушенной симметрией привело к новым теоретическим открытиям и обобщениям.
Среди них обнаружение ранее неизвестной эпохи в саморазвитии Вселенной.
Оказалось, что в ходе космологического фазового перехода она могла достичь состояния чрезвычайно быстрого расширения, при котором ее размеры увеличились во много раз, а плотность вещества оставалась практически неизменной. Исходным же состоянием, давшим начало раздувающейся Вселенной, считается гравитационный вакуум. Резкие изменения, сопутствующие процессу космологического расширения пространства характеризуются фантастическими цифрами. Так предполагается, что вся наблюдаемая Вселенная возникла из единственного вакуумного пузыря размером меньше 10 в минус 33 степени.
Вакуумный пузырь, из которого образовалась наша Вселенная, обладал массой, равной всего-навсего одной стотысячной доле грамма.

4.2. Теория о раздувающейся Вселенной

В настоящее время еще нет всесторонне проверенной и признанной всеми теории происхождения крупномасштабной структуры Вселенной, хотя ученые значительно продвинулись в понимании естественных путей ее формирования и эволюции. С 1981 года началась разработка физической теории раздувающейся
(инфляционной) Вселенной. К настоящему времени физиками предложено несколько вариантов данной теории. Предполагается, что эволюция Вселенной, начавшаяся с грандиозного общекосмического катаклизма, именуемого «Большим
Взрывом», в последующем сопровождалась неоднократной сменой режима расширения.

Согласно предположениям ученых, спустя 10 в минус сорок третьей степени секунд после «Большого Взрыва» плотность сверхгорячей космической материи была очень высока (10 в 94 степени грамм/см кубический). Высока была и плотность вакуума, хотя по порядку величины она была гораздо меньше плотности обычной материи, а поэтому гравитационный эффект первобытной физической «пустоты» был незаметен. Однако в холе расширения Вселенной плотность и температура вещества падали, тогда как плотность вакуума оставалась неизменной. Это обстоятельство привело к резкому изменению физической ситуации уже спустя 10 в минус 35 степени секунды после
«Большого Взрыва». Плотность вакуума сначала сравнивается, а затем, через несколько сверхмгновений космического времени, становится больше ее. Тогда и дает о себе знать гравитационный эффект вакуума - его силы отталкивания вновь берут верх над силами тяготения обычной материи, после чего Вселенная начинает расширяться в чрезвычайно быстром темпе (раздувается) и за бесконечно малую долю секунды достигает огромных размеров. Однако этот процесс ограничен во времени и пространстве. Вселенная, подобно любому расширяющемуся газу, сначала быстро остывает и уже в районе 10 в минус 33 степени секунды после «Большого Взрыва» сильно переохлаждается. В результате этого общевселенческого «похолодания» Вселенная от одной фаза переходит в другую. Речь идет о фазовом переходе первого рода - скачкообразном изменении внутренней структуры космической материи и всех связанных с ней физических свойств и характеристик. На завершающей стадии этого космического фазового перехода весь энергетический запас вакуума превращается в тепловую энергию обычной материи, а в итоге вселенческая плазма вновь подогревается до первоначальной температуры, и соответственно происходит смена режима ее расширения.

4.3. Обоснование отсутствия начальной сингулярности в развитии

Вселенной

Не менее интересен, а в глобальной перспективе более важен другой результат новейших теоретических изысканий – принципиальная возможность избегания начальной сингулярности в ее физическом смысле. Речь идет о совершенно новом физическом взгляде на проблему происхождения Вселенной.

Оказалось, что вопреки некоторым недавним теоретическим прогнозам (о том, что начальную сингулярность не удастся избежать и при квантовом обобщении общей теории относительности) существуют определенные микрофизические факторы, которые могут препятствовать беспредельному сжатию вещества под действием сил тяготения.

Еще в конце тридцатых годов было теоретически обнаружено, что звезды с массой, превышающей массу Солнца более чем в три раза, на последнем этапе своей эволюции неудержимо сжимаются до сингуляторного состояния. Последнее в отличие от сингулярности космологического типа, именуемой фридмановской, называется шварцшильдовским (по имени немецкого астронома, впервые рассмотревшего астрофизические следствия энштейновской теории тяготения).
Но с чисто физической точки зрения оба типа сингулярности идентичны.
Формально они отличаются тем, что первая сингулярность является начальным состоянием эволюции вещества, тогда как вторая - конечным.

Согласно недавним теоретическим представлениям гравитационный коллапс должен завершиться сжатием вещества буквально «в точку» - до состояния бесконечной плотности. По новейшим же физическим представлениям коллапс можно остановить где-то в районе планковской величины плотности, т.е. на рубеже 10 в 94 степени грамм / см. кубический. Это значит, что Вселенная возобновляет свое расширение не с нуля, а имея геометрически определенный
(минимальный) объем и физически приемлемое, регулярное состояние.

4.4. Теория о пульсирующей Вселенной

Академик М.А. Марков выдвинул интересный вариант пульсирующей
Вселенной. В логической рамке этой космологической модели старые теоретические трудности, если не решаются окончательно, то, по крайней мере, освещаются под новым перспективным углом зрения. Модель основана на гипотезе согласно которой при резком уменьшении расстояния константы всех физических взаимодействий стремятся к нулю. Данное предположение - следствие другого допущения, согласно которому константа гравитационного взаимодействия зависит от степени плотности вещества.

Согласно теории Маркова, всякий раз, когда Вселенная из фридмановской стадии (конечное сжатие) переходит в стадию деситтеровскую (начальное расширение), ее физико-геометрические характеристики оказываются одними и теми же. Марков считает, что этого условия вполне достаточно для преодоления классического затруднения на пути физической реализации вечно осциллирующей Вселенной.

Что же ожидает нашу Вселенную в будущем, если она будет неограниченно расширяться? О процессе продолжающегося расширения нашей Вселенной свидетельствуют почти все данные наблюдений. По мере расширения пространства материя, становится все более разреженной, галактики и их скопления все более удаляются друг от друга, а температура фонового излучения приближается к абсолютному нулю. Со временем все звезды завершат свой жизненный цикл и превратятся либо в белых карликов, остывающих до состояния холодных черных карликов, либо в нейтронные звезды или черные дыры. Эра светящегося вещества закончится, и темные массы вещества, элементарные частицы и холодное излучение будут бессмысленно разлетаться в непрерывно разряжающейся пустоте.

Впрочем, черные дыры не останутся без работы. Имея на то достаточно времени, черные дыры поглотят огромное количество вещества вселенной.

Если теория Хокинга верна, то черные дыры будут продолжать испускать излучение, но черным дырам (с массой равной массе Солнца) потребуется очень длительное время, прежде чем это заметно изменит что-то. Фоновое излучение остынет гораздо раньше, чем черные дыры начнут излучать больше, чем они будут поглощать из этого фонового излучения. Такой момент настанет тогда, когда возраст Вселенной станет примерно в десять миллионов раз больше предполагаемого на сегодня Должно пройти около 10 66 лет, прежде чем черные дыры солнечной массы начнут взрываться, выбрасывая потоки частиц и излучения.

Дж. Берроу из Оксфордского университета и Ф. Типлер из Калифорнийского университета в своих работах нарисовали картину отдаленного будущего неограниченно расширяющейся Вселенной. Даже внутри старой нейтронной звезды сохраняется еще достаточно энергии. Чтобы время от времени сообщать частицам, находящимся вблизи ее поверхности, скорость, превышающую скорость убегания. Предполагается, что в результате этого через достаточно продолжительное время все вещество нейтронной звезды должно испариться.
Распадутся и черные дыры, вызвав рождение (в равных пропорциях) частиц и античастиц. По мнению Берроу и Типлера, если запас энергии во Вселенной достаточен только для того, чтобы обеспечить ее неограниченное расширение, то эффект электрического притяжения в электронно-позитронных парах перевесит и гравитационное притяжение и общее расширение Вселенной как целого. За определенное конечное время все электроны проаннигилируют со всеми позитронами. В конечном итоге последней стадии существующей материи окажутся не разлетающиеся холодные темные тела и черные дыры, а безбрежное море разреженного излучения, остывающего до конечной, повсюду одинаковой, температуры.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В литературе по космологии высказывается мнение, что различные космологические модели Вселенной, выдвинутые на основе решения уравнений общей теории относительности, могут характеризовать не просто одну нашу
Вселенную, но разные состояния Вселенной в разные периоды ее существования в прошлом и будущем, аналогично потенциально возможным мирам в концепции
Лейбница. Все, что не запрещено законами природы, где-нибудь и когда-нибудь может быть реализовано.

Второе начало термодинамики показывает, что конец эволюции Вселенной наступит, когда выровняется температура ее вещества. Так как тепло передастся от более теплых тел к более холодным, различие их температур со временем сглаживается, совершение дальнейшей работы становится невозможным.
Эта мысль о «тепловой смерти» Вселенной была высказана еще в 1854 г. Г.
Гельмгольцем (1821-1894) Интересно, что наше современное представление о неограниченно расширяющейся Вселенной вместе с концепцией квантового излучения черных дыр, которая основана на аналогии между гравитацией и термодинамикой, привели к тем же выводам, что сделал Гельмгольц. Мы не можем знать точно, каков будет исход противоборства расширения селенной и гравитационного притяжения ее вещества. Если победит тяготение, то
Вселенная когда-нибудь сколлапсирует в процессе Большого сжатия, которое может оказаться концом ее существования, либо прелюдией к новому расширению. Если же силы тяготения проиграют «сражение», то расширение будет продолжаться неограниченно долго, но тяготение будет продолжать играть существенную роль в определении окончательного состояния вещества.
Вещество может превратиться в безбрежное море однородного излучения, либо продолжится рассеивание темных холодных масс. В неясном далеком будущем прошедшая эпоха звездной активности может оказаться лишь кратчайшим мгновением в бесконечной жизни Вселенной.

Список использованной литературы

1. Астрономия и современная картина мира. – М., 1996. – 247 с.

2. Гинзбург В.И., Муханов В.Ф., Фролов В.П. О космологии сверхранней

Вселенной и „фундаментальной длине”. М. ЖЭТФ. 1988. Т. 94, в.4.

3. Еремеева А.И. Астрономическая картина мира и научные революции //

Вселенная, астрономия, философия. М., 1988. С. 169-180.

4. Зельманов А.Л. К постановке космологической проблемы // Труды 2-го съезда ВАГО (25-31 января 1955 г.). М., 1960. С. 72-84.

5. Идлис Г.М. Структурная бесконечность Вселенной и Метагалактика как типичная обитаемая космическая система // Труды 6-го совещания по вопросам космогонии (5-7 июня 1957 г.). М., 1959. С. 270-271

6. Казютинский В.В. Космическая философия – постнеклассическая наука – освоение космоса // Космос и общество (история и современность). М.,

1991. С. 82-119.

7. Марочник Л.С., НасельскиЙ П.Д. «Вселенная: вчера, сегодня, завтра», сборник «Космонавтика, астрономия», выпуск № 2 за 1983 г.

8. Павленко А.Н. К.Э. Циолковский о „Причине космоса” и современная космология // Труды ХХIY Чтений, посвященных научной разработке наследия К.Э. Циолковского. М., 1991. 165 с.

9. Степин В.С., Кузнецова Л.Ф. Научная картина мира в культуре техногенной цивилизации. - М., 1994.- 274 с.
10. Терлецкий Я.П. Космологическая концепция Больцмана, ее значение и дальнейшее развитие // История и методология естественных наук. Вып.

2. М., 1963. С. 114-120.
11. Турсунов А. Философия и современная космология. М., 1977. 221с.
12. Цицин Ф.А. Об альтернативных концепциях космогонического процесса //

Вселенная, астрономия, философия. М., 1988. С. 134-140.

Страницы: 1, 2