О взаимосвязи философии и математики

религии, в средство очищения души, достижения бессмертия. И наконец,

пифагорейцы ограничивают область математических объектов наиболее

абстрактными типами элементов и сознательно игнорируют приложения

математики для решения производственных задач. Но чем же обусловлены такие

глобальные расхождения в понимании природы математических объектов у школ,

существовавших практически в одно и то же время и черпавших свою мудрость,

по-видимому, из одного и того же источника - культуры Востока? Впрочем,

Пифагор, скорее всего, пользовался достижениями милетской школы, так как у

него, как и у Фалеса, обнаруживаются основные признаки умственной

деятельности, отличающиеся от догреческой эпохи; однако математическая

деятельность этих школ носила существенно различный характер.

Аристотель был одним из первых, кто попытался объяснить причины

появления пифагорейской концепции математики. Он видел их в пределах самой

математики: «Так называемые пифагорейцы, занявшись математическими науками,

впервые двинули их вперед и, воспитавшись на них, стали считать их началами

всех вещей»[9]. Подобна точка зрения не лишена основания хотя бы в силу

применимости математических положений для выражения отношений между

различными явлениями. На этом основании можно, неправомерно расширив данный

момент математического познания, прийти к утверждению о выразимости всего

сущего с помощью математических зависимостей, а если считать числовые

отношения универсальными, то «число есть сущность всех вещей»[10]. Кроме

того, ко времени деятельности пифагорейцев математика прошла длинный путь

исторического развития; процесс формирования ее основных положений терялся

во мраке веков. Таким образом, появлялось искушение пренебречь им и

объявить математические объекты чем-то первичным по отношению к

существующему миру. Именно так и поступили пифагорейцы.

В советской философской науке проблема появления пифагорейской

концепции математики рассматривалась, естественно, с позиций марксистско-

ленинской философии. Так, О.И. Кедровский пишет: «...Выработанная им

(Пифагором) концепция объективно оказалась идеологией вполне определенных

социальных слоев общества. Это были ...представители аристократии, теснимые

демосом... Для них характерно стремление уйти от тягот земной жизни,

обращение к религии и мистике»[11]. Эта точка зрения, как и первая, не

лишена смысла; истина же, вероятно, находится где-то посередине. Однако, на

мой взгляд, крах пифагорейского учения следует связывать, в первую очередь,

не с вырождением аристократии как класса, а с попыткой пифагорейцев

извратить саму природу процесса математического познания, лишив математику

таких важных источников прогресса, как приложения к производству, открытое

обсуждение результатов исследований, коллективное творчество, удержать

прогресс математики в рамках рафинированного учения для посвященных.

Кстати, сами пифагорейцы подорвали свой основополагающий принцип «число

есть сущность всех вещей», открыв, что отношение диагонали и стороны

квадрата не выражается посредством целых чисел.

Таким образом, уже в исходном пункте своего развития теоретическая

математика была подвержена влиянию борьбы двух типов мировоззрения -

материалистического и религиозно-идеалистического. Мы же убедились, что

наряду с влиянием мировоззрения на развитие математического познания, имеет

место и обратное воздействие.

ЭЛЕЙСКАЯ ШКОЛА

Элейская школа довольно интересна для исследования, так как это одна

из древнейших школ, в трудах которой математика и философия достаточно

тесно и разносторонне взаимодействуют. Основными представителями элейской

школы считают Парменида (конец VI - V в. до н.э.) и Зенона (первая половина

V в. до н.э.).

Философия Парменида заключается в следующем: всевозможные системы

миропонимания базируются на одной из трех посылок: 1) есть только бытие,

небытия нет; 2) существует не только бытие, но и небытие; 3) бытие и

небытие тождественны. Истинный Парменид признает только первую посылку.

Согласно ему, бытие едино, неделимо, неизменяемо, вневременно, закончено в

себе, только оно истинно сущее; множественность, изменчивость, прерывность,

текучесть - все это удел мнимого.

С защитой учения Парменида от возражений выступил его ученик Зенон.

Древние приписывали ему сорок доказательств для защиты учения о единстве

сущего (против множественности вещей) и пять доказательств его

неподвижности (против движения). Из них до нас дошло всего девять.

Наибольшей известностью во все времена пользовались зеноновы доказательства

против движения; например, «движения не существует на том основании, что

перемещающееся тело должно прежде дойти до половины, чем до конца, а чтобы

дойти до половины, нужно пройти половину этой половины и т.д.»[12].

Аргументы Зенона приводят к парадоксальным, с точки зрения «здравого

смысла», выводам, но их нельзя было просто отбросить как несостоятельные,

поскольку и по форме, и по содержанию удовлетворяли математическим

стандартам той поры. Разложив апории Зенона на составные части и двигаясь

от заключений к посылкам, можно реконструировать исходные положения,

которые он взял за основу своей концепции. Важно отметить, что в концепции

элеатов, как и в дозеноновской науке, фундаментальные философские

представления существенно опирались на математические принципы. Видное

место среди них занимали следующие аксиомы:

1. Сумма бесконечно большого числа любых, хотя бы и бесконечно малых,

но протяженных величин должна быть бесконечно большой;

2. Сумма любого, хотя бы и бесконечно большого числа непротяженных

величин всегда равна нулю и никогда не может стать некоторой заранее

заданной протяженной величиной.

Именно в силу тесной взаимосвязи общих философских представлений с

фундаментальными математическими положениями удар, нанесенный Зеноном по

философским воззрениям, существенно затронул систему математических знаний.

Целый ряд важнейших математических построений, считавшихся до этого

несомненно истинными, в свете зеноновских построений выглядели как

противоречивые. Рассуждения Зенона привели к необходимости переосмыслить

такие важные методологические вопросы, как природа бесконечности,

соотношение между непрерывным и прерывным и т.п. Они обратили внимание

математиков на непрочность фундамента их научной деятельности и таким

образом оказали стимулирующее воздействие на прогресс этой науки.

Следует обратить внимание и на обратную связь - на роль математики в

формировании элейской философии. Так, установлено, что апории Зенона

связаны с нахождением суммы бесконечной геометрической прогрессии. На этом

основании советский историк математики Э. Кольман сделал предположение, что

«именно на математический почве суммирования таких прогрессий и выросли

логико-философские апории Зенона»[13]. Однако такое предположение, по-

видимому, лишено достаточных оснований, так как оно слишком жестко

связывает учение Зенона с математикой при том, что имеющие исторические

данные не дают основания утверждать, что Зенон вообще был математиком.

Огромное значение для последующего развития математики имело повышение

уровня абстракции математического познания, что произошло в большей степени

благодаря деятельности элеатов. Конкретной формой проявления этого процесса

было возникновение косвенного доказательства («от противного»), характерной

чертой которого является доказательство не самого утверждения, а

абсурдности обратного ему. Таким образом, был сделан шаг к становлению

математики как дедуктивной науки, созданы некоторые предпосылки для ее

аксиоматического построения.

Итак, философские рассуждения элеатов, с одной стороны, явились мощным

толчком для принципиально новой постановки важнейших методологических

вопросов математики, а с другой - послужили источником возникновения

качественно новой формы обоснования математических знаний.

ДЕМОКРИТ

Аргументы Зенона вскрыли внутренние противоречия, которые имели место

в сложившихся математических теориях. Тем самым факт существования

математики был поставлен под сомнение. Какими же путями разрешались

противоречия, выявленные Зеноном ?

Простейшим выходом из создавшегося положения бал отказ от абстракций в

пользу того, что можно непосредственно проверить с помощью ощущений. Такую

позицию занял софист Протагор. Он считал, что «мы не можем представить себе

ничего прямого или круглого в том смысле, как представляет эти термины

геометрия; в самом деле, круг касается прямой не в одной точке»[14]. Таким

образом, из математики следует убрать как ирреальные: представления о

бесконечном числе вещей, так как никто не может считать до бесконечности;

бесконечную делимость, поскольку она неосуществима практически и т.д. Таким

путем математику можно сделать неуязвимой для рассуждений Зенона, но при

этом практически упраздняется теоретическая математика. Значительно сложнее

было построить систему фундаментальных положений математики, в которой бы

выявленные Зеноном противоречия не имели бы места. Эту задачу решил

Демокрит, разработав концепцию математического атомизма.

Демокрит был, по мнению Маркса, «первым энциклопедическим умом среди

греков»[15]. Диоген Лаерций (III в. н.э.) называет 70 его сочинений, в

которых были освещены вопросы философии, логики, математики, космологии,

физики, биологии, общественной жизни, психологии, этики, педагогики,

филологии, искусства, техники и другие. Аристотель писал о нем: «Вообще,

кроме поверхностных изысканий, никто ничего не установил, исключая

Демокрита. Что же касается его, то получается такое впечатление, что он

предусмотрел все, да и в методе вычислений он выгодно отличается от

других»[16].

Вводной частью научной системы Демокрита была «каноника», в которой

формулировались и обосновывались принципы атомистической философии. Затем

следовала физика, как наука о различных проявлениях бытия, и этика.

Каноника входила в физику в качестве исходного раздела, этика же строилась

как порождение физики. В философии Демокрита прежде всего устанавливается

различие между «подлинно сущим» и тем, что существует только в «общем

мнении». Подлинно сущими считались лишь атомы и пустота. Как подлинно

сущее, пустота (небытие) есть такая же реальность, как атомы (бытие).

«Великая пустота» безгранична и заключает в себе все существующее, в ней

нет ни верха, ни низа, ни края, ни центра, она делает прерывной материю и

возможным ее движение. Бытие образуют бесчисленные мельчайшие качественно

однородные первотельца, различающиеся между собой по внешним формам,

размеру, положению и порядку, они далее неделимы вследствие абсолютной

твердости и отсутствия в них пустоты и «по величине неделимы». Атомам самим

по себе свойственно непрестанное движение, разнообразие которого

определяется бесконечным разнообразием форм атомов. Движение атомов вечно и

в конечном итоге является причиной всех изменений в мире.

Задача научного познания, согласно Демокриту, состоит в том, чтобы

наблюдаемые явления свести к области «истинного сущего» и дать им

объяснение исходя из общих принципов атомистики. Это может быть достигнуто

посредством совместной деятельности ощущений и разума. Гносеологическую

позицию Демокрита Маркс сформулировал следующим образом: «Демокрит не

только не удалялся от мира, а, наоборот, был эмпирическим

естествоиспытателем»[17]. Содержание исходных философских принципов и

гносеологические установки определили основные черты научного метода

Демокрита:

а) в познании исходить от единичного;

б) любые предмет и явление разложимы до простейших элементов (анализ)

и объяснимы исходя из них (синтез);

в) различать существование «по истине» и «согласно мнению»;

г) явления действительности - это отдельные фрагменты упорядоченного

космоса, который возник и функционирует в результате действий чисто

механической причинности.

Математика по праву должна считаться у Демокрита первым разделом

собственно физики и следовать непосредственно за каноникой. В самом деле,

атомы качественно однородны и их первичные свойства имеют количественный

характер. Однако было бы неправильно трактовать учение Демокрита как

разновидность пифагореизма, поскольку Демокрит хотя и сохраняет идею

господства в мире математической закономерности, но выступает с критикой

априорных математических построений пифагорейцев, считая, что число должно

выступать не законодателем природы, а извлекаться из нее. Математическая

закономерность выявляется Демокритом из явлений действительности, и в этом

смысле он предвосхищает идеи математического естествознания. Исходные

начала материального бытия выступают у Демокрита в значительной степени как

математические объекты, и в соответствии с этим математике отводится видное

место в системе мировоззрения как науке о первичных свойствах вещей. Однако

включение математики в основание мировоззренческой системы потребовало ее

перестройки, приведения математики в соответствие с исходными философскими

положениями, с логикой, гносеологией, методологией научного исследования.

Созданная таким образом концепция математики, называемая концепцией

математического атомизма, оказалась существенно отличной от предыдущих.

У Демокрита все математические объекты (тела, плоскости, линии, точки)

выступают в определенных материальных образах. Идеальные плоскости, линии,

точки в его учении отсутствуют. Основной процедурой математического

атомизма является разложение геометрических тел на тончайшие листики

(плоскости), плоскостей - на тончайшие нитки (линии), линий - на мельчайшие

зернышки (атомы). Каждый атом имеет малую, но ненулевую величину и далее

неделим. Теперь длина линии определяется как сумма содержащихся в ней

неделимых частиц. Аналогично решается вопрос о взаимосвязи линий на

плоскости и плоскостей в теле. Число атомов в конечном объеме пространства

не бесконечно, хотя и настолько велико, что недоступно чувствам. Итак,

главным отличием учения Демокрита от рассмотренных ранее является отрицание

им бесконечной делимости. Таким образом он решает проблему правомерности

теоретических построений математики, не сводя их к чувственно

воспринимаемым образам, как это делал Протагор. Так, на рассуждения

Протагора о касании окружности и прямой Демокрит мог бы ответить, что

чувства, являющиеся отправным критерием Протагора, показывают ему, что чем

точнее чертеж, тем меньше участок касания; в действительности же этот

участок настолько мал, что не поддается чувственному анализу, а относится к

области истинного познания.

Руководствуясь положениями математического атомизма, Демокрит проводит

ряд конкретных математических исследований и достигает выдающихся

результатов (например, теория математической перспективы и проекции). Кроме

того, он сыграл, по свидетельству Архимеда, немаловажную роль в

доказательстве Евдоксом теорем об объеме конуса и пирамиды. Нельзя с

уверенностью сказать, пользовался ли он при решении этой задачи методами

анализа бесконечно малых. А.О. Маковельский пишет: «Демокрит вступил на

путь, по которому дальше пошли Архимед и Кавальери. Однако, подойдя

вплотную к понятию бесконечно малого, Демокрит не сделал последнего

решительного шага. Он не допускает безграничного увеличения числа

слагаемых, образующих в своей сумме данный объем. Он принимает лишь

чрезвычайно большое, не поддающееся исчислению вследствие своей огромности

число этих слагаемых»[18].

Выдающимся достижением Демокрита в математике явилась также его идея о

построении теоретической математики как системы. В зародышевой форме она

представляет собой идею аксиоматического построения математики, которая

затем была развита в методологическом плане Платоном и получила логически

развернутое положение у Аристотеля.

ПЛАТОНОВСКИЙ ИДЕАЛИЗМ

Сочинения Платона (427-347 гг. до н.э.) - уникальное явление в

отношении выделения философской концепции. Это высокохудожественное,

захватывающее описание самого процесса становления концепции, с сомнениями

и неуверенностью, подчас с безрезультатными попытками разрешения

поставленного вопроса, с возвратом к исходному пункту, многочисленными

повторениями и т.п. Выделить в творчестве Платона какой-либо аспект и

систематически изложить его довольно сложно, так как приходится

реконструировать мысли Платона из отдельных высказываний, которые настолько

динамичны, что в процессе эволюции мысли порой превращаются в свою

противоположность.

Платон неоднократно высказывал свое отношение к математике и она

всегда оценивалась им очень высоко: без математических знаний «человек с

любыми природными свойствами не станет блаженным»[19], в своем идеальном

государстве он предполагал «утвердить законом и убедить тех, которые

намереваются занять в городе высокие должности, чтобы они упражнялись в

науке счисления»[20]. Систематическое широкое использование математического

материала имеет место у Платона, начиная с диалога «Менон», где Платон

подводит к основному выводу с помощью геометрического доказательства.

Именно вывод этого диалога о том, что познание есть припоминание, стал

основополагающим принципом платоновской гносеологии.

Значительно в большей мере, чем в гносеологии, влияние математики

обнаруживается в онтологии Платона. Проблема строения материальной

действительности у Платона получила такую трактовку: мир вещей,

воспринимаемый посредством чувств, не есть мир истинно существующего; вещи

непрерывно возникают и погибают. Истинным бытием обладает мир идей, которые

бестелесны, нечувственны и выступают по отношению к вещам как их причины и

образы, по которым эти вещи создаются. Далее, помимо чувственных предметов

и идей он устанавливает математические истины, которые от чувственных

предметов отличаются тем, что вечны и неподвижны, а от идей - тем, что

некоторые математические истины сходна друг с другом, идея же всякий раз

только одна. У Платона в качестве материи началами являются большое и

малое, а в качестве сущности - единое, ибо идеи (они же числа) получаются

из большого и малого через приобщение их к единству. Чувственно

воспринимаемый мир, согласно Платону, создан Богом. Процесс построения

космоса описан в диалоге «Тимей». Ознакомившись с этим описанием, нужно

признать, что Создатель был хорошо знаком с математикой и на многих этапах

творения существенно использовал математические положения, а порой и

выполнял точные вычисления.

Посредством математических отношений Платон пытался охарактеризовать и

некоторые явления общественной жизни, примером чего может служить трактовка

социального отношения «равенство» в диалоге «Горгий» и в «Законах». Можно

заключить, что Платон существенно опирался на математику при разработке

основных разделов своей философии: в концепции «познание - припоминание»,

Страницы: 1, 2, 3