Рациональные методики поиска оптимальных путей сетевых графиков и их автоматизация на ЭВМ

сейчас он не требуется в специальном рассмотрении. Важно другое – из смысла

полного резерва времени работы следует истинность следующего утверждения,

на котором основаны некоторые, приводимые ниже доказательства, – полный

резерв времени работы может появиться только за счёт существования другого

более длительного пути, нежели путь, в состав которого входит

рассматриваемая работа. Это утверждение становится очевидным, если подумать

– за счёт чего, у некоторой работы, может появиться возможность отсрочить

начало её выполнения или увеличить её продолжительность без изменения срока

свершения завершающего события сетевого графика? Естественно, только за

счёт того, что этот срок свершения определяется другим, более

продолжительным путём.

Начнём с доказательства методики поиска критического пути сетевого

графика. Для этого рассмотрим ряд вспомогательных теорем.

Теорема 3.1 – Для того, чтобы некоторый путь сетевого графика был бы

критическим, необходимо и достаточно, чтобы полные резервы времени всех

входящих в него работ были бы равны нулю.

Необходимость – Если некоторый путь является критическим, то полные

резервы времени всех входящих в него работ равны нулю.

Докажем это утверждение методом от противного.

Пусть известно, что некоторый рассматриваемый путь заведомо

критический. Теперь предположим противное – на нём лежит хотя бы одна

работа с ненулевым резервом времени. Это означает, что есть другой путь, с

большей продолжительностью, чем рассматриваемый, за счёт чего и получается

данный резерв времени. Но, раз имеется более продолжительный путь, то

рассматриваемый путь уже не может быть критическим. Полученное противоречие

доказывает невозможность существования на критическом пути работы с

ненулевым полным резервом времени, так как в противном случае, он уже не

будет являться критическим. Тогда, для любой работы критического пути

остаётся другая возможная ситуация – её полный резерв времени равен нулю.

Утверждение доказано.

Поскольку любой сетевой график имеет критический путь, то есть путь с

наибольшей продолжительностью, то, на основании только что доказанного, в

любом сетевом графике можно найти путь, работы которого имеют только

нулевые полные резервы времени.

Достаточность – Если все работы некоторого пути имеют нулевые полные

резервы времени, то этот путь обязательно является критическим.

Если некоторый путь имеет работы только с нулевыми полными резервами

времени, то это означает, что ни одну работу, указанного пути, нельзя

увеличить по длительности без изменения срока свершения завершающего

события сетевого графика. Это возможно, только когда сумма длительностей

работ, рассматриваемого пути равна сроку свершения завершающего события, то

есть длительности критического пути. Тогда, рассматриваемый путь и является

критическим, в силу того, что он равен критическому пути по длительности.

Утверждение доказано.

Теорема 3.2 – Если в некоторое событие сетевого графика входит работа

с нулевым полным резервом времени, то среди всех исходящих из данного

события работ, обязательно найдётся хотя бы одна, имеющая также нулевой

резерв времени. То есть, работы с нулевыми резервами времени следуют друг

за другом непрерывно.

Для доказательства данной теоремы рассмотрим обобщенный пример на

рисунке 3.1 , где, в целях удобства, событиям присвоены условные номера.

Докажем теорему методом от противного.

Пусть для работы, входящеё в событие 2, полный резерв времени [pic].

Предположим противное – среди всех работ, исходящих из события 2, нет ни

одной работы с нулевым полным резервом времени.

Для начала найдём, чему равен поздний срок свершения события 2. Он, в

соответствии с формулой (2.2), определяется как минимальное время позднего

начала работы среди всех работ, исходящих из рассматриваемого события.

Пусть поздний срок свершения события 2 равен позднему началу работы,

входящей, например, в событие 4:

[pic],

или, в соответствии с выражением (2.8) для полного резерва времени,

[pic]. (3.1)

Теперь рассмотрим, какое может иметь значение полный резерв времени

работы, исходящей из события 1 и входящей в событие 2. В соответствии с

формулой (2.8):

[pic]. (3.2)

Из формулы (3.2) видно, что минимально возможное значение полного

резерва времени работы, исходящей из события 1 и входящей в событие 2,

достигается тогда, когда величина [pic] достигает своего максимального

значения. Из правила определения раннего срока свершения события,

задаваемого формулой (2.1), следует, что максимальное значение этой

величины может быть равно только раннему сроку свершения события 2, когда

ранний срок окончания рассматриваемой работы самый большой из всех ранних

сроков окончания работ, входящих в событие 2. Тогда, минимально возможное

значение полного резерва времени работы, исходящей из события 1 и входящей

в событие 2 равно:

[pic],

или, исходя из формулы (3.1):

[pic]. (3.3)

Поскольку мы предположили от противного, что среди всех исходящих из

события 2 работ нет работ с нулевым полным резервом времени, то отсюда

сразу вытекает, что и работа, исходящая из события 1 и входящая в событие

2, также не может иметь нулевой полный резерв времени, уж если его

минимальное значение заведомо неравно нулю, в соответствии с полученным

равенством (3.3). Последнее противоречит условию теоремы. Из этого

противоречия следует то, что невозможна ситуация, когда при нулевом резерве

времени работы, входящей в событие 2, все исходящие из этого события работы

имели бы ненулевые резервы времени. Если бы это имело место, то в

соответствии с приведённым доказательством, работа, входящая в событие 2

также бы имела ненулевой полный резерв времени. Но ведь это не так по

условию теоремы. Тогда для работ, исходящих из события 2 остаётся другая

возможная ситуация – хотя бы одна из них имеет также нулевой полный резерв

времени. Теорема доказана.

Из доказанных выше теорем, непосредственно, следует методика поиска

критического пути, приводимая ниже.

Рациональная методика поиска критического пути сетевого графика:

Просмотр сетевого графика ведётся от его начального события к конечному;

При рассмотрении начального события сетевого графика, в качестве работы,

лежащей на критическом пути, выбирается та, которая имеет нулевой полный

резерв времени. В соответствии с теоремой 3.1 (утверждение-необходимость),

такая работа обязательно будет существовать;

При рассмотрении работ, исходящих из события, к которому привила работа с

нулевым полным резервом времени, выбирается работа, также имеющая нулевой

полный резерв времени. В соответствии с теоремой 3.2, такая работа

существует;

Если, среди исходящих из некоторого события работ, есть несколько работ с

нулевыми полными резервами времени, то выбирается любая. При этом, согласно

теореме 3.2, процесс построения критического пути в тупик зайти не может, и

рано или поздно дойдет до завершающего события сетевого графика.

Реализация указанных правил даёт путь, состоящий только из работ с

нулевыми полными резервами времени. Тогда, на основании теоремы 3.1

(утверждение-достаточность), этот путь и будет являться критическим.

В целях проверки, доказанная методика применена для сетевого графика,

представленного на рисунке 2.1 . Здесь, найденные критические пути,

выделены жирными стрелками. Как видно, таких путей два, благодаря тому, что

среди работ, исходящих из события 0, есть две работы с нулевыми полными

резервами времени. Проверить то, что найденные пути являются критическими

легко, просуммировав длительности принадлежащих им работ. Суммы окажутся:

во-первых, равными между собой, а во-вторых, наибольшими среди аналогичных

сумм других возможных путей.

Теперь рассмотрим вопрос поиска наикратчайшего пути сетевого графика.

Оказывается, для его поиска можно применять, методику поиска критического

пути, если использовать идею, высказываемую в следующей теореме.

Теорема 3.3 – Если произвести расчёт параметров заданного сетевого

графика по установленным правилам, но заменяя известные длительности работ

на те же значения с отрицательным знаком (длительности всех работ будут

меньше нуля), то наикратчайший путь сетевого графика станет подчиняться

всем свойствам критического пути.

Эту теорему легко доказать, используя правило сравнения отрицательных

чисел. Данное правило заключается в том, что одно отрицательное число

считается большим другого, если абсолютное значение первого меньше

абсолютного значения второго. Поскольку длительность наикратчайшего пути,

по абсолютному значению наименьшая, среди длительностей всех других путей

сетевого графика, то, на основании указанного правила, отрицательная

длительность наикратчайшего пути будет наибольшей среди отрицательных

длительностей остальных путей. Тогда, наикратчайший путь, состоящий из

работ с отрицательными длительностями, будет критическим, при условии, что

все остальные пути, также состоят из работ с отрицательными длительностями.

Теорема доказана.

Для проверки доказанной теоремы, параметры сетевого графика на рисунке

2.1 пересчитаны заново, при отрицательных значениях длительностей работ, и

представлены на рисунке 3.2 . Как видно, сетевой график на рисунке 3.2

содержит путь, работы которого имеют только нулевые полные резервы времени.

Данный путь выделен жирными стрелками. Этот путь, являясь критическим для

сетевого графика на рисунке 3.2 , в тоже время является наикратчайшим путем

для сетевого графика на рисунке 2.1 . Последнее можно проверить простым

суммированием длительностей его работ. Полученная сумма должна быть

наименьшей по абсолютному значению, среди аналогичных сумм других путей

сетевого графика на рисунке 2.1 .

Вообще говоря, для нахождения продолжительности наикратчайшего пути,

необходимой при анализе оптимальности сетевого графика по критерию (1.1),

не обязательно суммировать длительности всех, принадлежащих ему работ. Она

уже известна из рассчитанных, при отрицательных длительностях работ,

параметров сетевого графика, и равна, как и для любого критического пути,

сроку свершения завершающего события. Естественно, что данный срок

свершения имеет отрицательное значение, и поэтому, для нахождения

фактической длительности наикратчайшего пути, требуется менять это значение

на противоположное.

Необходимо сказать, что можно поставить и решить общую задачу поиска

пути заданной продолжительности. Но данная задача принципиальной важности,

при анализе сетевого графика, не несёт. Для анализа оптимальности сетевого

графика и осуществления его оптимизации, достаточно знать лишь, как

проходят особые пути, и какова их продолжительность. Ответы на эти вопросы

и дают рациональные методики поиска особых путей, доказанные в этом

разделе.

Автоматизация анализа оптимальности сетевых графиков на ЭВМ

1 Представление сетевого графика в машинной форме

Любая ЭВМ нуждается в преобразовании различных абстрактных понятий,

ясных для человека, в удобную для неё форму. Сетевой график, как

графическое изображение упорядоченных кружков и стрелок само по себе для

ЭВМ нечего не значить. Для того, чтобы ЭВМ могла понимать структуру

сетевого графика и, главное, обрабатывать её, необходимо представить эту

структуру в эквивалентной машинной форме.

Наиболее удобный способ представления структуры сетевого графика в

машинной форме, основан на понятии матрицы смежностей [pic]. Пример данной

матрицы для структуры сетевого графика на рисунке 2.1 представлен на

рисунке 4.1 .

Матрица смежностей квадратная и имеет размерность [pic], где [pic] –

число событий сетевого графика. Номера строк матрицы задаются номерами

событий [pic], из которых работы сетевого графика исходят, номера столбцов

матрицы задаются номерами событий [pic], в которые работы сетевого графика

входят. На пересечении строки и столбца [pic], в матрице смежностей, может

быть только одно из двух значений: 0 или 1. Если [pic], то это означает,

что на сетевом графике существует работа, исходящая из события с номером

[pic] и входящая в событие с номером [pic]. Если [pic], то такой работы на

сетевом графике нет.

Матрица смежностей будет верно отражать структуру сетевого графика,

если сетевой график построен по всем, узаконенным стандартом правилам.

Здесь, наиболее важны следующие:

Событиям присваиваются номера с таким расчётом, что старший номер

соответствует более позднему по времени событию. То есть, если рассмотреть

некоторое событие и все входящие в него работы, то номер этого события

должен быть больше номеров всех событий, из которых эти работы исходят. В

этом случае первая строка и первый столбец матрицы смежностей соответствует

начальному событию сетевого графика [pic], а последние строка и столбец –

завершающему событию сетевого графика [pic], где [pic] – число всех событий

в сетевом графике.

Два события сетевого графика может соединять только одна работа. Если все

же имеет место факт соединения двух событий несколькими работами, то, для

выполнения указанного правила, необходимо ввести дополнительные события,

разрывающие лишние работы и дополняющие их фиктивными работами с нулевой

длительностью (см. пример на рис. 4.2 ). Дополнительные события также

должны иметь свои уникальные, в сетевом графике, номера, присвоенные им в

соответствии с первым правилом.

Верно построенная матрица смежностей обладает радом полезных свойств:

Если задаться некоторым номером события [pic], то единицы в соответствующей

строке укажут на номера событий [pic], с которыми событие [pic] соединено,

исходящими из него работами. Это свойство следует из правила построения

матрицы смежностей.

Если задаться некоторым номером события [pic], то единицы в соответствующем

столбце укажут на номера событий [pic], с которыми событие [pic] соединено,

входящими в него работами. Это свойство, также, следует из правила

построения матрицы смежностей.

Если некоторое событие [pic] указывает единицами в соответствующей строке

матрицы смежностей на соединённые с ним события [pic], то номера этих

событий [pic] могут быть только больше номера [pic], что ясно из правила

присвоения номеров событиям сетевого графика. Из этого свойства следует,

что матрица смежностей носит диагональный характер, то есть, единицы в

матрице смежностей могут присутствовать только в верхней диагональной части

матрицы (см. рис. 4.1 ).

Любопытно заметить, что если последнее из перечисленных свойств не

выполняется, то в сетевом графике есть петли, то есть, работы, концы

которых являются началами других работ, предшествующих первым по времени,

при условии, что все события занумерованы, верно. Из этого следует

возможность легкой автоматизации на ЭВМ процесса проверки правильности

построения сетевого графика. Данный процесс проверки, алгоритмически,

представляется в виде блок-схемы 4.1 .

Суть алгоритма проверки заключается в определении содержимого

элементов нижней диагональной части матрицы смежностей. Если там встретится

хотя бы одна единица, то это будет означать, что сетевой график построен

неправильно – либо в нем есть петли, либо события занумерованы не верно.

Блок-схема 4.1 – Алгоритм тестирования матрицы смежностей

2 Автоматизация расчёта параметров сетевого графика

Анализ оптимальности сетевого графика возможно провести, только после

расчёта всех, присущих ему параметров. Исходными данными для расчёта

являются длительности всех, входящих в сетевой график работ. Результатами

расчёта являются значения, описанных в разделе 2, параметров. И первое и

второе, можно объединить в одной таблице исходных данных и результатов 4.1

.

Данная таблица – есть двумерная матрица с пронумерованными строками и

столбцами. Номера строк изменяются от 0 до [pic] (см. таб. 4.1 ), где [pic]

– число работ в сетевом графике, которое можно найти, подсчитав все единицы

в матрице смежностей. Номера столбцов изменяются от 0 до 13, где каждый

номер соответствует своему параметру сетевого графика. Нумерация строк и

столбцов необходима для представления таблицы исходных данных и результатов

в машинной форме.

Столбцы под номерами 0,1 и 2 определяют часть таблицы 4.1 ,

отведённую под хранение исходных данных, к которым относятся коды работ и

длительности работ. Как видно, коды работ задаются ячейками двух столбцов

под номерами 0 и 1. Здесь индекс [pic] (столбец 0) определяет номер

события, из которого работа исходит, а индекс [pic] (столбец 1) определяет

номер события, в которое она входит. Найти все возможные коды работ

сетевого графика легко по матрице смежностей [pic], если, просматривая её

строки, номера которых соответствуют индексу [pic], выбирать в качестве

индекса [pic] номера тех столбцов, для которых будут отыскиваться единицы.

Алгоритм заполнения таблицы 4.1 исходными данными представлен в виде

блок-схемы 4.2 , где ячейки самой таблицы обозначены символом [pic]. Для

данного обозначения: [pic] – номер строки таблицы исходных данных и

результатов, [pic] – номер столбца той же таблицы. Алгоритм предполагает,

что таблица исходных данных и результатов [pic] уже зарезервирована и имеет

размерность [pic], [pic] – число работ в сетевом графике.

Блок-схема 4.2 – Алгоритм заполнения

исходными данными таблицы исходных данных и

результатов

После заполнения таблицы 4.1 исходными данными для расчёта, идёт

следующая стадия, – непосредственно, сам расчёт параметров сетевого

графика. Данная стадия выполняется в три этапа. На первом этапе

осуществляется расчёт сетевого графика в порядке – от начального события до

завершающего, и определяются ранние сроки свершения событий, ранние начала

и окончания работ. На втором этапе осуществляется расчёт сетевого графика в

обратном порядке – от завершающего события до начального, и определяются

поздние сроки свершения событий, поздние начала и окончания работ. На

третьем этапе осуществляется расчёт резервов времени событий и работ, в

произвольном порядке.

Рассмотрим расчёт параметров сетевого графика на первом этапе.

Ясно, что в общем случае, при попытке определить ранний срок свершения

некоторого события, как максимальный из ранних окончаний всех работ,

входящих в это событие, может быть неудача, так как к этому моменту не все

ранние сроки окончаний работ могут быть известны. Тогда, встает задача

найти такой порядок расчёта сетевого графика, при котором, переходя от

события к событию, всегда удаётся находить их ранние сроки свершения.

Оказывается, для всех сетевых графиков, с правильно занумерованными

событиями этот порядок один и тот же, и основывается на следующей теореме.

Теорема 4.1 – Если события сетевого графика занумерованы так, что

любая его работа исходит из события с меньшим номером и входит в событие с

большим номером, то расчёт ранних сроков свершения событий в порядке: 0-е

Страницы: 1, 2, 3