Прогнозирование макроэкономических переменных с помощью дублирующих портфелей

где p- количество расчетных коэффициентов уравнения тренда.

Затем делают расчет точечной и интервальной оценки прогноза:

[pic] (1.12)

[pic] (1.13)

где yn+1 – прогнозируемая величина.

С помощью этих методов экстраполируются количественные параметры

больших систем, количественные характеристики экономического, научного,

производственного потенциала, данные о результативности научно-технического

прогресса, характеристики соотношения отдельных подсистем, блоков,

элементов в системе показателей сложных систем и др .

Анализ показывает, что ни один из существующих методов не может дать

достаточной точности прогнозов на 20—25 лет. Применяемый в прогнозировании

метод экстраполяции не дает точных результатов на длительный срок прогноза,

потому что данный метод исходит из прошлого и настоящего, и тем самым

погрешность накапливается. Этот метод дает положительные результаты на

ближайшую перспективу прогнозирования тех или иных объектов — на 5—7 лет.

При экстраполяции часто используются линейные модели. Они требуют

относительно небольшого количества вычислений и по тому, в частности,

широко распространены в практике прогнозирования. Их недостаток,

заключающийся в том, что лишь немногие явления в экономике могут быть

адекватно описаны в линейном виде, отчасти преодолевается с помощью кусочно-

линейной аппроксимации.

2 ДУБЛИРУЮЩИЕ ПОРТФЕЛИ

2.1 Понятие дублирующего портфеля

Изменение доходности активов, помимо прочих вещей, отражает изменения

информации об экономических условиях в будущем. Изучение влияния различных

экономических шоков на цены активов важно также и потому, что это помогает

выявить природу экономических колебаний, оценить премию за риск и

предсказать экономические колебания в будущем. Звеном, связывающим цены

активов с новостями о состоянии экономики, является «дублирующий портфель»

(tracking portfolio). Данный портфель представляет собой портфель активов,

доходности которых максимально коррелированны с такими экономическими

переменными как ожидаемые объем производства, инфляция или доходность.

В прикладных финансах давно сформировался подход связывать текущие

доходности одного актива с доходностью других. Второй подход состоит в

попытке объяснить поведение доходностей с помощью текущих или будущих

экономических переменных. Портфель, дублирующий экономические переменные,

сочетает в себе оба эти подхода. С одной стороны, экономический дублирующий

портфель отражает доходность активов. С другой стороны, данный портфель

получает доходность, которая имеет экономическую интерпретацию.

Формирование портфеля, дублирующего экономические переменные, является

способом использования текущей доходности активов в качестве инструментов

для измерения будущих переменных.

Дублирующие портфели применяются при решении нескольких вопросов.

Одной из проблем является измерение премии за риск. Если дублирующий

портфель приносит премию за риск, то тогда знак этой премии и тождество

премии, сгенерированной экономическим параметром, могут указать на то,

какие экономические параметры значимо влияют на ожидаемую доходность, и

могут помочь оценить модель оценки финансовых активов.

Дублирующие портфели имеют как минимум еще три сферы применения,

которые не основываются на портфелях, приносящих ненулевую премию за риск.

Во-первых, эти портфели могут служить средством хеджирования для

индивидуальных инвесторов, которые желают застраховать себя на случай

какого-либо определенного экономического риска (например, снижение

потребления). Во-вторых, на основе дублирующего портфеля можно строить

прогноз поведения какой-либо экономической переменной. Т.к. доходности

активов могут быть рассчитаны на каждый день, дублирующие портфели могут

предоставить информацию по поводу ожиданий рынка на счет будущего

экономики. В-третьих, путем измерения ожиданий, портфели следования

выявляют структуру экономики и объясняют реакцию цен на новости, касающиеся

экономической сферы.

Эти три сферы приложения дублирующих портфелей могут быть проверены на

практике и не зависят от конкретной модели оценки активов. Например, если

предположить, что CAPM-модель верна, то в этом случае дублирующий портфель

имел бы ожидаемую доходность, имеющую тесную ковариацию с рынком. Но тогда

неожидаемая часть доходности была бы все равно отражением новостей о

будущем состоянии экономики. Напротив, если предположить, что рынок

неэффективен, иррациональные настроения влияют на цены, и доходность

частично предсказуема, то в этом случае до тех пор пока цены отражают

информацию о будущем состоянии экономических детерминант, доходность

дублирующего портфеля также будет применима для хеджирования,

прогнозировании и понимания экономики.

2.2 Простые дублирующие портфели

Дублирующий портфель для любой переменной у может быть определен как

регрессия у на доходности некоторого набора базовых активов. Доли активов,

входящих в дублирующий портфель для у, идентичны коэффициентам в регрессии,

построенной с помощью метода наименьших квадратов. Если у является

переменной, влияющей на ценообразование базового актива, тогда

мультифакторная модель выполняется с одним фактором, который отслеживает

портфель, дублирующий переменную у. Однако, даже если у не является

значимой переменной для ценообразования активов, то портфель, дублирующий

эту переменную, также остается интересным объектом с экономической точки

зрения, т.к. он отражает изменения рыночных ожиданий относительной у.

Следующие три утверждения эквивалентны определения дублирующего

портфеля. Среди всех возможных линейных комбинаций доходностей базовых

активов дублирующий портфель имеет:

А) минимальную вариацию среди всех портфелей с заданной бетой

(коэффициентом регрессии) в регрессии доходности портфеля на у;

Б) доходность, максимально возможно коррелирующую с у;

В) наибольший R2 в регрессии у на доходность активов.

Эквивалентность данных трех утверждений может быть доказана и с

помощью матричной алгебры, и с помощью более простых выкладок. Обозначим:

r – доходность портфеля базовых активов, r = bR,

b – вектор весов активов в портфеле,

R – вектор доходностей данных активов.

Дублирующим портфелем является портфель с весами, которые минимизируют

вариацию данного портфеля на у. Другими словами, b подбирается таким

образом, чтобы минимизировать [pic] при заданной [pic] (где [pic] -

коэффициент регрессии r на у). Т.к. [pic], минимизация [pic] эквивалентна

минимизации [pic], что эквивалентно максимизации [pic] (где ? – коэффициент

корреляции между у и r). Т.к. R2 в простой регрессии является [pic] и т.к.

метод наименьших квадратов максимизирует R2 , решение данной задачи

максимизации идентично уравнению регрессии, построенному с помощью МНК.

2.3 Дублирующие портфели для непредвиденных изменений

На основе данной теории можно сформировать портфель с непредвиденными

доходностями, которыми максимально коррелируют с непредвиденным компонентом

будущего значения переменной у. Таким образом, основной переменной являются

«новости» о yt+k, где yt+k – макроэкономическая переменная, например темп

инфляции в период t+k. Новости являются чем-то новым в ожиданиях

относительно yt+k , причем [pic]. Например, [pic] может представлять собой

новости, о которых уведомлен рынок в июле 2002 года о темпе инфляции между

июлем 2002 и июлем 2003 года.

[pic] – доходность дублирующего портфеля, где [pic] и [pic] –

доходности с конца периода t-1 до конца периода t. Дублирующий портфель

формируется на основе непредвиденных доходностей базовых активов.

Непредвиденная доходность – это действительная доходность за вычетом

ожидаемой доходности с учетом того, что [pic]. Веса b в портфеле выбираются

таким образом, что [pic] максимально коррелирует с [pic].

Оценивание дублирующих новости портфелей является немного более

сложным процессом, чем оценивание простых дублирующих портфелей. Всегда

можно написать проектное уравнение новостей на неожиданную составляющую

доходности. Ключевым предположением является то, что изменения в

доходностях отражают изменения в ожиданиях относительно значений переменных

в будущем, т.е. ненулевое решение в уравнении:

[pic], (2.1)

где (t – составляющая новостей, ортогональная неожиданному компоненту

доходности.

Т.к. неожиданная составляющая доходности активов отражает новости по

поводу будущего денежного потока и дисконтных ставок, вектор а будет

ненулевым для любой переменной, коррелированной с будущими денежными

потоками и дисконтными ставками.

Из уравнения (2.1) может показаться, что необходимо определить [pic]

для того, чтобы построить регрессию. К счастью, этого можно избежать, и

все, что необходимо для оценивания регрессии, – это [pic] (непредвиденный

компонент доходности в период t).

Реализация переменной yt+k может быть переписана как сумма ожиданий в

период t-1, непредвиденных изменений в ожиданиях в период t и с периода t

до t+k.

[pic] (2.2)

Здесь следует сделать второе предположение о том, что ожидаемые

доходности базовых активов в период t являются линейной функцией от Zt-1 –

вектора контрольных переменных, значения которых известны в период t-1:

[pic] (2.3)

Т.к. предположение, содержащиеся в уравнении (2.3) является

потенциальной причиной ошибки спецификации модели, можно ожидать, что

эмпирические результаты применения данной ошибочной модели будут

относительно грубы, т.к. доходности активов достаточно непредсказуемы на

коротком горизонте прогнозирования.

Таким образом, для дальнейшего удобства определим проектное уравнение

лагированных ожиданий у как лагирование контролируемые переменных:

[pic] (2.4)

Объединяя уравнения (2.1) – (2.4), получаем:

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic] (2.5)

где b = a, c = f – ad и [pic].

Уравнение (2.5) является уравнением регрессии с будущим значением у в

левой части и доходностью в период t и значением контрольных переменных в

период t-1 в правой. Это уравнение состоятельно, т.к. все три составляющие

[pic] по определению ортогональны как [pic], так и [pic].

МНК-регрессия, обозначенная уравнением (2.5), приводит к b[pic] –

портфелю, непредвиденный компонент которого максимально коррелирует с

[pic]. . В диссертации я предполагаю оценивать уравнение (2.5) и объяснить

свойства получившихся дублирующих портфелей. Уравнение (2.5) практически не

имеет теоретического смысла и зависит только от предположения, что

изменения в ожиданиях на счет будущего значения у находят отражение в

доходности активов, и то, что ожидаемая доходность активов является

функцией лагированных контрольных переменных.

Здесь можно сделать несколько комментариев на счет практического

применения уравнения (2.5). Во-первых, предполагается использование

доходности портфеля с нулевыми издержками [pic]. Использование портфеля с

нулевыми издержками означает, что нет необходимости накладывать ограничения

на веса портфеля. Конечный дублирующий портфель является незатратным, т.к.

является линейной комбинацией портфелей с нулевыми издержками.

Во-вторых, предполагается использовать в качестве базы доходности

активов за месяц. Используя более длинные горизонты для базовых активов (к

примеру, годовые доходности) следует быть более осторожным, т.к. с

увеличением интервала повышается предсказуемость доходностей и оценки

регрессии могут стать более чувствительными к отклонению от уравнения

(2.3).

В-третьих, может показаться, что следует отобраться только такие

базовые активы, доходности которых является наиболее информативными в плане

объяснения ожиданий будущего значения у. Но в данном случае важным моментом

является то, что различные активы имеют разные чувствительности к будущему

значению у. Таким образом, регрессия должна являться линейной комбинацией

доходностей активов, которые хеджируют общую составляющую вариации

доходности, которая некоррелирована с будущим значением у.

В-четвертых, главной причиной выбора контролируемых переменных должна

являться модель ожидаемой доходности, т.е. [pic] должна включать

переменные, которые прогнозируют доходность базовых активов. Если же

доходности активов полностью непредсказуемы, или если [pic] некоррелирована

с [pic], не следует включать вообще никаких контролируемых переменных.

Вспомогательной ролью лагированной контролируемой переменной в уравнении

(2.5) является помощь в объяснении будущего значения у. Включая в [pic]

переменные, коррелирующие с [pic], можно уменьшить вариацию остатков в

уравнении (2.5) и, таким образом, более точно оценить параметр b.

В-пятых, добавление переменных в [pic] и [pic] сопряжено с издержками,

т.к. чем больше переменных включается, тем более остро встает проблема

практического объяснения и ложных выводов.

3 ОБЗОР ПОДХОДОВ В ИССЛЕДОВАНИИ ДИНАМИКИ ДОХОДНОСТИ

Одним из применений дублирующих портфелей является хеджирование

экономического риска существующих активов. Альтернативный подход – это

создание абсолютно новых активов, соотносящихся с экономическими

переменными. Экономические дублирующие портфели, использующие существующие

ликвидные активы, облегчают данную задачу, т.к. дублирующие портфели

помогают эмитентам новых ценных бумаг частично хеджировать себя от

экономического риска.

Другим практическим применением экономических дублирующих портфелей

является анализ взаимосвязи экономических переменных и цен активов.

Исследования этого вопроса в экономике проходили по трем направлениям: с

использованием текущих экономических параметров, с использованием будущих

значений данных параметров и с использованием и тех и других в векторной

авторегрессии.

3.1 Использование текущих значений показателей

Первый подход включает в себя доходности активов современные значения

экономических параметров. Примером данного подхода является работа Chen,

Roll and Ross (1986), в которой делается вывод, что ковариация с ростом

промышленного производства, инфляции и доходности облигаций приводит к

премии за риск.

К сожалению, попытки составить факторный портфель (factor mimicking

portfolio) для макроэкономических показателей не увенчались успехом. Chan,

Karceski и Lakonishok (1998) сконструировали портфели путем сортировки

ценных бумаг по месячной текущей корреляции за пятилетний период. Они

сформировали портфели, основанные на инфляции и промышленном производстве.

После изучения доходности портфелей был сделан вывод, что

макроэкономические факторы являются шумом и неразличимы со случайно

генерируемыми портфелями.

3.2 Использование будущих макроэкономических переменных

Второй подход представляет собой исследование регрессии текущих

доходностей активов на будущие значения экономических показателей. Примером

данного подхода служат работы Fama (1981, 1990), где проводится оценка

того, насколько сильно вариация доходности на какой-то тестовый актив [pic]

зависит от новостей о будущих экономических условиях.

Соотношение, которое данный подход исследует, следующее:

[pic] (3.6)

где [pic] также измеряет ожидаемую доходность тестируемого актива.

Ошибка [pic] отражает доходность тестируемого актива, которая не

связана с изменениями в ожиданиях относительно у.

Т.к. [pic] неизмеримо, регрессия, которой действительно следует данный

подход, – это замена реального значения переменной у в будущем в терминах

новостей в уравнении (3.1):

[pic] (3.2)

Используя уравнение (2.2), получаем [pic]. Т.к. vt коррелированна с

регрессором в уравнении (3.2), оценивание данного уравнения приведет к

ошибочным выводам о а1 и оценочным свойствам ut.

Применение экономического дублирующего портфеля в данном вопросе – это

построение регрессии тестируемого актива на дублирующий портфель для

новостей и отслеживаемой переменной для ожидаемой доходности. Т.е.

экономический дублирующий портфель, являющийся аналогом уравнения (3.2),

выглядит следующим образом:

[pic] (3.3)

где b определяется из уравнения (2.5).

Очевидно и соотношение между этими двумя подходами: уравнение (3.3)

является не чем иным как оцениванием уравнения (3.2) с использованием

инструментальной переменной, где в качестве инструмента выступает [pic].

В уравнении (2.5), хорошим инструментом является что-либо,

одновременно коррелированное с [pic] и некоррелированное с vt. Доходность

дублирующего портфеля удовлетворяет первому критерию, т.к. коррелированна с

исследуемым объектом. Частично также эта доходность удовлетворяет и второму

критерию, т.к. она некоррелирована с [pic]. К сожалению, доходность

дублирующего портфеля не является абсолютно подходящей инструментальной

переменной, т.к. возможна корреляция с [pic] . [pic] может коррелировать с

[pic], потому что обе составляющие извлекаются из доходности активов и

могут отражать общую вариацию доходности, которая некоррелирована с

новостями о состоянии исследуемого объекта.

3.3 Применение векторной авторегрессии

Данное направление в исследовании факторов, влияющих на доходность

активов представлено серией работ (на пример Campbell (1991), Cambell и

Ammer (1993), Campbell и Mei (1993)). Как и в первом подходе, используются

непредсказанные изменения в текущих значениях переменных для объяснения

текущих доходностей активов. Аналогично второму подходу, данное направление

сосредоточено на том, как изменения ожиданий будущих значений экономических

параметров влияют на доходность. Качественно новым здесь является

применение векторной авторегрессии (VAR) для оценивания изменения в

прогнозируемых будущих переменных и использование оценок изменений в

прогнозировании доходности активов.

Кэмпбелл для объяснения поведения доходности использует текущие

значения различных экономических переменных. Он применяет как доходность

прогнозируемых переменных, так и значения этих переменных (в качестве таких

переменных взяты уровень инфляции, ставка процента, трудовой доход и

будущая доходность); а затем тестирует являются ли непредвиденные изменения

в данных переменных факторами доходности активов.

Процедура векторной авторегрессии для определения влияния факторов

представляет собой специальную динамическую модель, включающую все

переменные системы. Это требование приводит к потенциально возможной

неправильной спецификации модели. В то время как применение дублирующих

Страницы: 1, 2, 3