Оптимизация показателей

Для вирішення задачі лінейного програмування, потрібно записати вихідну

задачу в формі задачі лінейного програмування, а потім застосовувати

симплекс-метод . Основною задачею лінійного програмування – задача для

якої:

1. потрібно визначити максимальне значення ф-ції

2. всі обмеження записані в вигляді рівностей

3. для всіх змінних виконується умова невідємності

Якщо обмеження має вид нерівності зі знаком >=, то шляхом множення його на

(-1) переходять до нерівності зі знаком |-5|

4. Знаходимо визначальний рядок. Визанчальним назівається такий рядок,

який відповідає найменшому з відношень компонентів стовпця Ро до

додатніх компонентів визначального стовпця. (Рядок оцінок до уваги

не приймається)

Min = ( 60/6; 36/9) = 4 – рядок 2.

5. Будують наступну с-т .

Для цього кожний елемент таблиці перераховуємо за формулою

aij=aij- (аіk* аnj)/ank де k-номер розв’язувального стовпця, а n- номер

розв’язувального рядка

aij—елемент строки- і, стовпця- j нової сиплекс таблиці

aij—елемент строки- і, стовпця-j попередньої симплекс-таблиці

аіk-- елемент що знаходиться у визначальному стовпці попер. с-т.

аnj-- елемент що знаходиться у визначальному рядку попер с-т.

ank – элемент що стоїть на перехресті визн рядка и строки у попер сим-т.

a10= 60 – (36*6)/9 = 36

a11= 10 +(6*4)/9 = 38/3

№ рядка |Базис |Сб |Р0 |Р1 |Р2 |Р3 |Р4 |Р5 | |1 |Р3 |0 |36 | |0 |0 |-1 1/5

|0 | |2 |Р2 |6 |4 |-4/9 |1 |1 |1/5 |0 | |3 |Р5 |0 |16 |28/9 |0 |0 |3/5 |1 |

|4 |F | |24 |-23/3 |0 |0 |1 1/5 |0 | |Таблиця № 2

Х1=(0;4;36;0;16) F(X1) = 24

В рядку оцінок є одне відємне число. Тому Р1 – визначальний стовпець

Min = ( 36/38*3;16/4;9) = 54/19 – визначальний рядок Р3

Таблиця № 3

№ рядка |Базис |Сб |Р0 |Р1 |Р2 |Р3 |Р4 |Р5 | |1 |Р1 |5 |54/19 |1 |0 |3/38 |-

1/19 |0 | |2 |Р2 |6 |100/19 |0 |1 |2/57 |5/57 |0 | |3 |Р5 |0 |136/19 |0 |0

|-14/57 |22/57 |1 | |4 |F | |870/19 |0 |0 |21/38 |5/19 |0 | |X3= (

54/19;100/19;0;0;136/19) F3(X3) = 45 15/19

В рядку оцінок нема відємних значень, тому даний опорний план є

оптимальним. Але не виконується умова цілочисельності, тому слід

застосувати відсічення по методу Гоморі.

2. Застосування і побудова відсічення по методу Гоморі

х1=54/19, х2=100/19

До системи обмежень основного завдання добавляємо ще одну нерівність виду:

F(a*ij)*xij>= F(b*ij), де a*ij і b*ij дробови частини чисел.

Під дробовою частиною числа а розуміють найменше невідємне число в і таке,

що а – в є цілим числом.Якщо в оптимальному плані вихідного завдання

дробового значення приймають декілька змінних, то додаткова нерівність

будується для змінної, в якої найбільша дробова частина.

F(x1)>F(x2) (16/19 >5/19)

-3/38х3-18/19х4 + х6 = -16/19

таблиця № 4

№ рядка |Базис |Сб |Р0 |Р1 |Р2 |Р3 |Р4 |Р5 |Р6 | |1 |Р1 |5 |54/19 |1 |0

|3/38 |-1/19 |0 |0 | |2 |Р2 |6 |100/19 |0 |1 |2/57 |5/57 |0 |0 | |3 |Р5 |0

|136/19 |0 |0 |-14/57 |22/19 |1 |0 | |4 |Р6 |0 |-16/19 |0 |0 |-3/38 |-18/19

|0 |1 | |5 |F | |870/19 |0 |0 |23/38 |5/19 |0 |0 | |

Х4 = ( 54/19;100/19;0;0;135/19;-16/19) F(X4) = 45 15/19

Т.к. опорний план містить відємну змінну то треба застосувати подвійний

с. м.

Відшукання розвязку ЗЛП подвійним с-м включає слідуючі етапи:

1. Знахдять опорне рішення

Х4 = ( 54/19;100/19;0;0;135/19;-16/19) F(X4) = 45 15/19

2. Перевіряють знайдений опорний розвязок на оптимальність.

Розвязок не оптимальний, тому слід перейти до нового опорного рішення.

3. Вибираемо визначальний рядок. Визначальним називається той, який

відповідає найбільшому за модулем відємному значенню в стовпцю Ро

Рядок № 4

4. Вибираємо визначальний стовпчик. Той, який відповідає найменшему

відношенню рядка оцінок до ньгого. (по модулю)

Min = (23/38*38/3;5/19*19/18) = 5/18 стовпець Р4

Таблиця № 5

№ рядка |Базис |Сб |Р0 |Р1 |Р2 |Р3 |Р4 |Р5 |Р6 | |1 |Р1 |5 |26/9 |1 |0

|1/12 |0 |0 |-1/18 | |2 |Р2 |6 |140/27 |0 |1 |1/36 |0 |0 |5/54 | |3 |Р5 |0

|1048/171 |0 |0 |-13/38 |0 |1 |11/9 | |4 |Р4 |0 |8/9 |0 |0 |1/12 |1 |0 |-

19/18 | |5 |F | |410/9 |0 |0 |7/12 |0 |0 |5/18 | |

Х5= (26/9;140/27;0;0;8/9;1048/171) F5 = 45 5/9

F(x1) = f ( 2 8/9) = 8/9

F (x2) = f ( 5 5/27) = 5/27

-1/12х3 – 17/18х6 + х7 = -8/9

таблица № 6

№ рядка |Базис |Сб |Р0 |Р1 |Р2 |Р3 |Р4 |Р5 |Р6 |Р7 | |1 |Р1 |5 |26/9 |1 |0

|1/12 |0 |0 |-1/18 |0 | |2 |Р2 |6 |140/27 |0 |1 |1/36 |0 |0 |5/54 |0 | |3

|Р5 |0 |1048/171 |0 |0 |-13/38 |0 |1 |11/9 |0 | |4 |Р4 |0 |8/9 |0 |0 |1/12

|1 |0 |-19/18 |0 | |5 |Р7 |0 |-8/9 |0 |0 |-1/12 |0 |0 |-17/18 |1 | |6 |F |

|410/9 |0 |0 |7/12 |0 |0 |5/18 |0 | |

Таблица № 7

№ рядка |Базис |Сб |Р0 |Р1 |Р2 |Р3 |Р4 |Р5 |Р6 |Р7 | |1 |Р1 |5 |50/17 |1 |0

|3/34 |0 |0 |0 |-1/17 | |2 |Р2 |6 |260/51 |0 |1 |1/57 |0 |0 |0 |5/57 | |3

|Р5 |0 |1608/323 |0 |0 |-436/969 |0 |1 |0 |11/17 | |4 |Р4 |0 |32/17 |0 |0

|3/17 |1 |0 |0 |-19/17 | |5 |Р6 |0 |16/17 |0 |0 |3/34 |0 |0 |1 |-18/17 | |6

|F | |770/17 |0 |0 |19/34 |0 |0 |0 |5/17 | |

Х6= ( 50/17;260/51;0;32/17;1608/323;16/17) F6 = 45 5/17

Будуємо нове відсічення:

F(x1) = f(2 16/17) = f(16/17) = 16/17

F(x2) = f (5 5/51) = f(5/51) = 5/51

F(x1)> F(x2)

-3/34x3 – 16/17x7 + x8 = -16/17

таблица №8

№ рядка |Базис |Сб |Р0 |Р1 |Р2 |Р3 |Р4 |Р5 |Р6 |Р7 |Р8 | |1 |Р1 |5 |50/17

|1 |0 |3/34 |0 |0 |0 |-1/17 |0 | |2 |Р2 |6 |260/51 |0 |1 |1/57 |0 |0 |0

|5/57 |0 | |3 |Р5 |0 |1608/323 |0 |0 |-436/969 |0 |1 |0 |22/17 |0 | |4 |Р4

|0 |32/17 |0 |0 |3/17 |1 |0 |0 |-19/17 |0 | |5 |Р6 |6 |16/17 |0 |0 |3/34 |0

|0 |1 |-18/17 |0 | |6 |Р8 |0 |-16/17 |0 |0 |-3/34 |0 |0 |0 |-16/17 |1 | |7

|F | |770/17 |0 |0 |19/34 |0 |0 |0 |5/17 |0 | |

Таблица №9

№ рядка |Базис |Сб |Р0 |Р1 |Р2 |Р3 |Р4 |Р5 |Р6 |Р7 |Р8 | |1 |Р1 |5 |3 |1 |0

|3/32 |0 |0 |0 |0 |0 | |2 |Р2 |6 |5 |0 |1 |1/96 |0 |0 |0 |0 |0 | |3 |Р5 |0

|70/19 |0 |0 |-521/912 |0 |1 |0 |0 |0 | |4 |Р4 |0 |3 |0 |0 |9/32 |1 |0 |0

|0 |0 | |5 |Р6 |0 |2 |0 |0 |3/16 |0 |0 |1 |0 |0 | |6 |Р7 |0 |1 |0 |0 |3/32

|0 |0 |0 |1 |1 | |7 |F | |45 |0 |0 |17/32 |0 |0 |0 |0 |0 | |

Х*=(3; 5) F*=45

4. Геометирчна интерпретація процесу розвязку.

Геометирчна интерпретація процесу розвязку дозволяє наглядно

проілюстровати процесс знаходження оптимального плану.

1) Будують прямі, рівняння яких отримують в результаті заміни в

обмеженнях знаків нерівностей на знаки =.

10x1 + 6x2 =60 (1)

-4x1 + 9x2 = 36 (2)

4x1 - 2x2 = 8 (3)

x1=0, (4)

x2=0 (5)

Графіком рівняння x1 = 0 є вісь ординат, x2 =0 – вісь абсцисс.

Графіки решти рівнянь будують так. Оскільки графіки – це прями, то

достатньо для кожного рівняння знайти дві точки, задовільнюючі йому, і

через них провести пряумю.

2) Визначають область допустимих значень.

Область допустимих значень знаходиться в перший чверті координат, т.к.

x1,x2(0 x1,x2-цілі числа

На коорд. Площині вибирають довільну точку і перевіряють виконання

тотожністів рівняннях-обмеженнях. Якщо тотожність вірна, то дана

нпівплощина – площина напівплощина допустимих рішень.

3) Будують радіус-вектор.

(2)

-9

(3)

(1)

-4

В М

( I )

(2)

-9

(3)

(1)

-4

В точці В, що є оптимальною за даних умов, перетикаються (I) відсічення та

(1) обмеження. Знайдемо координати т.В

-3х1 + 9х2 = 38 х1=26/9

т.В (26/9; 140/27)

10х1+ 6х2 = 60 х2=140/27 F ( B) = 45 5/9

-1/12х3 – 17/18х6 = -8/9 – второе отсечение.

-1/12х3*(60 – 10х1- 6х2) – 17/18*(38 + 3х1 – 9х2) = -8/9

-2х1 + 9х2 = 40 – уравнение 2-го отсечения.

Х7= 40 + 2х1 - 92

В М

( II ) (I)

(2)

-9

2 16/17

-20 (II) (3)

(1)

-4

В М

(III)

( II ) (I)

(2)

-9

2 16/17

-20 (II) (3)

(1)

-4

Уравнение третьего отсечения:

-3/34х3 – 16/17х7 = -16/17

х7 находится из 2 го ограничения

-3/34 * ( 60 – 10х1 – 6х2) – 16/17*(40 + 2х1 – 9х2) = -16/17

-х1 + 9х2 = 42 – ур. Третьего отсечения

В т. D пересекаются (1) и (III)

10х1 + 6х2 = 60

-х1 + 9х2 = 42

х1=3; х2=5. F(D)=45

т.D (3;5)

Вывод:

экономико-матем. модел. испольузется в экономике для решения различного

рода заданий, для оптимизации их. В данной к.р. использованы симплекс

метод,….. отсечения Гомори, двойной симплекс метод. Геометрическая

интерпретация показывает весь ход решения.

Список використаної літератури:

1. Кузнецов Ю.Н. “Математическое програмирование:(учебное пособие для

экономических специальностей ”

2. Оптимізація єкономічних показників з врахуванням умови

цілочисленності: “Методичні вказівки до виконання курсової роботи з

дисципліни “Економіко математичне моделювання для студентів

економічних спеціальностей”(Викладач Іванов Л.П. –Чернігів: ЧТІ,1998-

20с)”

-----------------------

38/3

-38/3

МЕНЮ

Оптимизация показателей

Оптимизация показателей